構(gòu)造圖形在初中代數(shù)中的運(yùn)用

所謂構(gòu)造“幾何圖形”是指在解決某個(gè)問題時(shí)，根據(jù)所解問題的內(nèi)部聯(lián)系、數(shù)量特征，找出相應(yīng)的幾何圖形。“構(gòu)造”得好，解題就變得非常簡(jiǎn)潔，直觀明了。如果問題條件中有明顯的或隱含的幾何意義與背景，或能以某種方式與幾何圖形建立起聯(lián)系，則可考慮構(gòu)造幾何圖形，將題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系直接在圖形中得以實(shí)現(xiàn)。然后，借助于圖形的性質(zhì)在所構(gòu)造的圖形中尋求問題的結(jié)論。構(gòu)造的圖形，最好是簡(jiǎn)單而又熟悉其性質(zhì)的圖形。這些圖形包括平面幾何圖形、立體幾何圖形及通過建立坐標(biāo)系得到的解析幾何圖形。

用構(gòu)造法解題時(shí)，要運(yùn)用發(fā)散性思維，根據(jù)題目特點(diǎn)靈活處理，沒有固定的程序和模式。在運(yùn)用構(gòu)造法時(shí)，一要明確構(gòu)造目的，即為什么目的而構(gòu)造；二要弄清題目的特點(diǎn)，以便根據(jù)特點(diǎn)確定方案，實(shí)現(xiàn)構(gòu)造。

一、構(gòu)造圖形，求證乘法公式

初中數(shù)學(xué)教材介紹單項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法法則時(shí)，是運(yùn)用構(gòu)造長(zhǎng)方形以其面積來反映的（見圖1、圖2）（北師版教材七年級(jí)下第31頁）。而平方差公式、完全平方公式則是用構(gòu)造正方形，用其面積來反映（見圖3、4）（北師版教材七年級(jí)下第37頁、第40頁）。

同理，兩數(shù)和與差完全立方公式，可用正方體的體積來反映。在教學(xué)中結(jié)合實(shí)物模型演示，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，產(chǎn)生聯(lián)想，積極思維，獲得的教學(xué)效果是意想不到的。

二、構(gòu)造圖形，驗(yàn)證無理數(shù)

三、構(gòu)造圖形，證明不等式

四、構(gòu)造圖形，求距離

已知x，y均為正實(shí)數(shù)，且x+y=6.

五、構(gòu)造圖形，求解應(yīng)用題

在廣州——天津航線上，廣州遠(yuǎn)洋輪船公司每天中午有一艘輪船從廣州開往天津，并且在每天的同一時(shí)刻也有一艘輪船從天津開往廣州，輪船在途中往或返所花的時(shí)間都是六晝夜，問今天中午從廣州開往天津的船在整個(gè)航行途中將遇到幾艘本公司的船從對(duì)面開來？（即遇到本公司幾艘從天津開過來的輪船）

分析：此題極易造成錯(cuò)覺誤解。對(duì)于條件和結(jié)論之間聯(lián)系較隱蔽問題，要善于發(fā)掘題設(shè)條件中的幾何意義，可以通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)膱D形把其兩者聯(lián)系起來，從而構(gòu)造出幾何圖形，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決，增強(qiáng)問題的直觀性，使問題的解答事半功倍。不妨構(gòu)造若干條平行線直觀求解簡(jiǎn)捷。如圖10，設(shè)今天是x號(hào)，今天到達(dá)廣州的船是x-6號(hào)從天津出發(fā)的。所以，航行途中將遇到本公司從天津過來的船有11艘。

總之，構(gòu)造圖形法在解題中的有效運(yùn)用，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的和諧美，能把學(xué)生從枯燥的數(shù)學(xué)語言、符號(hào)引導(dǎo)到生動(dòng)形象的數(shù)字與圖形的游戲中去，從而積極引導(dǎo)學(xué)生去體會(huì)、理解和運(yùn)用這一數(shù)學(xué)思想方法，將會(huì)使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中得益匪淺。運(yùn)用構(gòu)造圖形法可以把一些復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，在較短的時(shí)間內(nèi)抓住問題的本質(zhì)，既防止無關(guān)信息的負(fù)面干擾，又能舉一反三、觸類旁通。因此，借圖發(fā)揮，更容易成就精彩。

（作者單位 新疆石河子第十九中學(xué)）

編輯 張耀華