從初中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)建模的實例中得到的啟示

摘 要：隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的不斷深入，建模思想已經(jīng)廣泛地體現(xiàn)在初中數(shù)學(xué)知識體系中。通過初中數(shù)學(xué)中的幾個數(shù)學(xué)建模的實例，改進(jìn)課堂教學(xué)方法，提高學(xué)生的解題能力。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模；解題能力

數(shù)學(xué)是學(xué)生從小學(xué)就開始學(xué)習(xí)的一門課程，也是在生活和科研中運(yùn)用極為廣泛的一門自然科學(xué)。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)階段逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣，有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。下面我結(jié)合幾個突例，談?wù)勗诔踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想，希望能從中得到啟發(fā)，有助于以后的教學(xué)。

一、建模思想在應(yīng)用題中的運(yùn)用

在現(xiàn)實生活中存在著各種等量關(guān)系，如增長率、行程、工程等問題，同時也存在著不等關(guān)系，如最優(yōu)方案、方案設(shè)計、市場營銷等問題。對于此類問題常常建議學(xué)生可以通過建模的思想，建立方程（組）或不等式（組）模型來解決實際問題。

例1.有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？

分析：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人。

開始有一人患了流感，第一輪的傳染源就是這個人，他傳染了x個人。

用代數(shù)式表示，第一輪后共有 人患了流感；第二輪傳染中，這些人中的每個人又傳染了x個人，用代數(shù)式表示，第二輪后共有 人患了流感。

列方程：1+x+x（1+x）=121.

解方程，得x1= ，x2= ，平均一個人傳染了

個人。

接著課本又提出思考：

如果按照這樣的傳染速度，三輪傳染后有多少人患流感？

這個問題引發(fā)學(xué)生更深層次的思考，可以得出這樣的結(jié)論：

通過這個思考我們可得到，經(jīng)過n次傳染的人數(shù)，對患病人數(shù)有個預(yù)測，有利于我們下一步該采取什么措施。

讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)與生活中的緊密聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的價值，從而有效地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

二、建模思想在作圖題中的運(yùn)用

例2.如下圖，一老農(nóng)有一塊平行四邊形的土地，地里有一個圓形池塘，老農(nóng)立下遺囑：要把這塊土地平分給他的兩個兒子，中間的池塘也要平分，但不知道怎么做，你能想個辦法嗎？

分析：這道題實際上是兩個中心對稱圖形的組合圖形，要將其面積等分，只要找到一條直線，使其既等分平行四邊形的面積，又等分圓的面積即可。

連接平行四邊形的兩條對角線，其交點就是平行四邊形的中心，找出圓的圓心，過這兩點的一條直線，這條直線就將地與池塘的面積平分了。

作圖題與實際生活聯(lián)系緊密，要求學(xué)生把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通過所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，解決實際問題，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

三、建模思想在函數(shù)中的運(yùn)用

函數(shù)的題目，對很多學(xué)生來說很棘手，更別說與實際生活聯(lián)系的函數(shù)題目了。其實這類試題以數(shù)學(xué)建模為中心，旨在考查學(xué)生解決實際問題的能力，教師可以將它們作為典例，以便為學(xué)生建立模型。學(xué)生可以通過學(xué)習(xí)范例、做習(xí)題等活動來掌握一門科學(xué)知識及其方法。

例3.制作一種產(chǎn)品，需先將材料加熱達(dá)到60℃后，再進(jìn)行操作。設(shè)該材料溫度為y（℃），從加熱開始計算的時間為x（分鐘）。據(jù)了解，設(shè)該材料加熱時，溫度y與時間x成一次函數(shù)關(guān)系；停止加熱進(jìn)行操作時，溫度y與時間x成反比例關(guān)系（如圖）。已知該材料在操作加工前的溫度為15℃，加熱5分鐘后溫度達(dá)到60℃。

（1）分別求出將材料加熱和停止加熱進(jìn)行操作時，y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)工藝要求，當(dāng)材料的溫度低于15℃時，須停止操作，那么從開始加熱到停止操作，共經(jīng)歷了多少時間？

分析：本題主要考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)解析式的求法。但由于本題是由一次函數(shù)和反比例函數(shù)組成的分段函數(shù)，所有要注意分類討論，分別寫出函數(shù)關(guān)系式。（1）顯然將材料加熱時，即0≤x≤5，y與x是一次函數(shù)，直線過點（0，15）、（5，60）；停止加熱時，即x≥5，y與x是反比例函數(shù)，圖象過點（5，60），易求得函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)材料的溫度低于15℃時，需停止操作，即令y=15，求對應(yīng)的自變量的值。

用函數(shù)觀點處理實際問題，關(guān)鍵在于分析實際情境，建立函數(shù)模型，并進(jìn)一步明確數(shù)學(xué)問題，將實際問題置于已有的知識背景之中，用數(shù)學(xué)知識重新解釋這是什么？可以看到什么？逐步形成解決實際問題的能力。而在解決問題時，不僅要充分利用函數(shù)的圖象，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，還要注意函數(shù)不等式、方程之間的聯(lián)系，以及學(xué)科之間知識滲透。重要的有以下幾點經(jīng)驗：

1.通過分析，把實際問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系；利用構(gòu)建好的數(shù)學(xué)模型、函數(shù)思想來解決這類問題。

2.通過觀察圖像，把圖像中提供、展現(xiàn)的信息轉(zhuǎn)化為與函數(shù)有關(guān)的知識來解題。

教學(xué)中不僅要教知識，更重要的是教方法。這些實例都是從實際中提煉出來的，要通過這些知識的教學(xué)，幫助學(xué)生從實際生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用所學(xué)知識解決實際問題。還可以根據(jù)本地區(qū)的實際，選擇一些實際問題，引導(dǎo)學(xué)生加以解決，提高他們應(yīng)用知識解決問題的能力。

參考文獻(xiàn)：

汪永梅，數(shù)學(xué)建模思想在初中教學(xué)中的運(yùn)用[J]，青海師范大學(xué)民族師范學(xué)院學(xué)報，2011（01）.

（作者單位 江西省贛州市開發(fā)區(qū)潭東中學(xué)）

編輯 張耀華