案例分析

前不久，筆者開了一節(jié)秦淮區(qū)區(qū)級(jí)公開課，從拿到課題，到開始備課，與其他老師研課，到試講，再到上課，最后到評(píng)課，使我感受頗深，下面就本節(jié)課的前前后后，以及遇到的點(diǎn)點(diǎn)滴滴與大家分享一下。

【課堂實(shí)錄】

概念的推導(dǎo)過(guò)程：

教師：在前面咱們學(xué)習(xí)了數(shù)列的哪些知識(shí)點(diǎn)？回憶一下。

學(xué)生：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、定義、性質(zhì)定理、求和公式（學(xué)生一一列舉）。

教師：等比數(shù)列呢？

學(xué)生：等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式（學(xué)生一一說(shuō)明）。

教師：那么，想一想今天咱們?cè)搶W(xué)什么呢？

學(xué)生：等比數(shù)列的求和公式（拋出今天的主題）。

教師：數(shù)列的前n項(xiàng)的和該怎樣表示呢？你能寫出來(lái)嗎？

學(xué)生：Sn=a1+a2+…+an ①

教師：我們今天的課題是等比數(shù)列前n項(xiàng)的和，如何體現(xiàn)等比數(shù)列的特征呢？

學(xué)生：……

教師：對(duì)等比數(shù)列而言，我們學(xué)過(guò)了等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，我們能否應(yīng)用我們所學(xué)的知識(shí)，對(duì)Sn=a1+a2+…+an進(jìn)行突破？

學(xué)生：Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1 ②

教師：說(shuō)一說(shuō)你這樣做的理由？

學(xué)生：我利用了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。

教師：同學(xué)們，我們?cè)趯W(xué)等差數(shù)列之前一般是怎樣研究數(shù)列的通項(xiàng)公式的？

學(xué)生：我們一般是通過(guò)相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系。

教師：很好，那么，想一想，等比數(shù)列的定義是怎樣的？

學(xué)生：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比為同一常數(shù)，像這樣的數(shù)列就叫等比數(shù)列。

教師：能否把文字語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)表達(dá)式？

教師：剛才王世杰同學(xué)用通項(xiàng)公式表示了Sn，那么我現(xiàn)在想體現(xiàn)相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系呢？還可以怎樣表示呢？

學(xué)生：Sn=a1+a1q+a2q+…+an-1q ③

教師：上述兩個(gè)式子均可以表示Sn，而②式是用兩個(gè)基本量表示，但它會(huì)隨著n的不斷增大，次數(shù)不斷升高，③式雖然比較復(fù)雜，但它體現(xiàn)了相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系，今天就從它出發(fā)來(lái)研究等比數(shù)列前n項(xiàng)的和。

教師：前面我們說(shuō)過(guò)，要研究一個(gè)數(shù)列，要具有可操作性。一般來(lái)說(shuō)，是要消去若干項(xiàng)，得到一個(gè)比較簡(jiǎn)單的式子，研究一下①、③兩個(gè)式子，③式較①式而言，消去了an.

教師：回憶一下等差數(shù)列求和的方法，可行嗎？

學(xué)生：自主研究，不行！

教師：如何消項(xiàng)？在哪兒我們還學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)列前n項(xiàng)和的結(jié)論呢？

學(xué)生：……

教師：提醒一下，an與Sn之間的關(guān)系。

學(xué)生：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1.

教師：對(duì)于an=Sn-Sn-1而言，如果把它看成一個(gè)方程的話，要求Sn，只要求出an，Sn-1

在③式中有Sn-1嗎？

學(xué)生：Sn=a1+a1q+a2q+…+an-1q中的前n-1項(xiàng)和，即（a1+a1q+a2q+…+an-2q）

教師：找到了，可行嗎？Sn=Sn-1+an，我們只要把該式中的Sn-1用Sn替換掉，用接方程的思想把Sn解出來(lái)即可。用剛才這位同學(xué)的思路試試看，行嗎？

學(xué)生：不行！

教師：③式中還有Sn-1嗎？提示：Sn-1=a1+a2+…+an-1.

學(xué)生：把式子Sn=a1+a1q+a2q+…+an-1q中的后n-1項(xiàng)的q都提取出來(lái)，就有Sn-1了，即Sn=a1+q（a1+a2+…+an-1）=a1+qSn-1.

教師：那你們利用解方程的思想試試看，可行嗎？

（學(xué)生上黑板進(jìn)行演示，得到Sn=■）

教師：注意這兒的q≠1，那么如果q=1，怎么辦？

學(xué)生：當(dāng)q=1時(shí)，數(shù)列是常數(shù)列。

教師：如何求常數(shù)列前n項(xiàng)的和呢？

學(xué)生：Sn=na1.

學(xué)生：a1，q，an，Sn.

教師：對(duì)于這四個(gè)量，我們可以消去某些量嗎？

學(xué)生：可以，消去an.

教師：那你們?cè)囋嚳础?/p>

教師：我們回憶一下剛才的解題過(guò)程，我們?cè)谀睦镎业絊n-1的？

學(xué)生：是把Sn=a1+a1q+a2q+…+an-1q中的后n-1項(xiàng)中q提取出來(lái)的。

教師：那么提取q就類似于我們四則運(yùn)算中的除法，既然除法可行，那么它的逆運(yùn)算——乘法可以嗎？

教師：你可以把式子Sn=a1+a2+…+an兩邊都同時(shí)乘以q，試試看，你會(huì)得到什么結(jié)論呢？

學(xué)生：qSn=a1q+a2q+…+an-1q+anq=a2+a3+a4+…+an+an+1 ④

教師：那我們可以怎么辦，可以消項(xiàng)嗎？

以上是這堂課引出等比數(shù)列前n項(xiàng)的和（錯(cuò)位相減法）的一個(gè)過(guò)程，先談?wù)剛湔n的過(guò)程。在接到這個(gè)課題后，筆者前前后后經(jīng)過(guò)了4次備課，就這4次備課過(guò)程中的點(diǎn)點(diǎn)滴滴與大家分享一下：一開始筆者也想從實(shí)例出發(fā)（象棋與麥粒的故事：國(guó)王要獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋的發(fā)明者，問(wèn)他有什么要求，發(fā)明者說(shuō)：“請(qǐng)?jiān)谄灞P的第1個(gè)格子里放上1顆麥粒，在第2個(gè)格子里放上2顆麥粒，在第3個(gè)格子里放上4顆麥粒，在第4個(gè)格子里放上8顆麥粒，依此類推，每個(gè)格子里放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的麥粒的2倍，直到第64個(gè)格子，請(qǐng)給我足夠的糧食來(lái)實(shí)現(xiàn)上述要求?！眹?guó)王覺得這并不是很難辦到的，就欣然同意了他的要求。你認(rèn)為國(guó)王有能力滿足發(fā)明者上述要求嗎？）引入概念，在備課的過(guò)程中設(shè)置教學(xué)情境，而教學(xué)情境設(shè)置又是教學(xué)設(shè)計(jì)中非常重要的一部分，甚至是不可或缺的一部分。現(xiàn)代教學(xué)理念認(rèn)為：數(shù)學(xué)教師的主要任務(wù)就是為學(xué)生設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)情境，引導(dǎo)學(xué)生在輕松愉快的環(huán)境中，自己開動(dòng)腦筋進(jìn)行學(xué)習(xí)，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)技能。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要?jiǎng)?chuàng)設(shè)生動(dòng)、有趣的情境，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、操作、試驗(yàn)、歸納、思考、探索、猜測(cè)、交流、反思等活動(dòng)掌握基本的知識(shí)和技能，數(shù)學(xué)教學(xué)要緊密聯(lián)系學(xué)生的生活環(huán)境，從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)生動(dòng)有趣的各種情境，為學(xué)生提供從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣以及學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望。因此，在課堂教學(xué)中，教師要根據(jù)學(xué)生的心理特點(diǎn)和生活實(shí)際，創(chuàng)設(shè)有意義的教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生的求知欲，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

但后來(lái)發(fā)現(xiàn)絕大部分的教師都是從此情境中出發(fā)，拋出等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和，同時(shí)發(fā)現(xiàn)在利用情境引入的時(shí)候，對(duì)于Sn=1+2+22+…+263這個(gè)式子，為什么在左右兩邊乘以2，感覺有點(diǎn)突兀，因此進(jìn)行了后面的幾次備課。在備課組老師的建議下，想在上課中有點(diǎn)新意，所以本節(jié)課在導(dǎo)入的時(shí)候，在這里做了嘗試，沒有用實(shí)例進(jìn)行導(dǎo)入，而是能否從學(xué)科內(nèi)部進(jìn)行導(dǎo)入，重點(diǎn)想在數(shù)學(xué)的本質(zhì)或數(shù)學(xué)的認(rèn)知規(guī)律——“由已知到未知”出發(fā)，充分利用學(xué)生已有的知識(shí)，挖掘他們的潛能。就直接問(wèn)學(xué)生咱們已經(jīng)學(xué)習(xí)了什么，接下來(lái)要學(xué)習(xí)什么？既簡(jiǎn)單又實(shí)效！繼而想到我們這節(jié)課上的課題為等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和，而之前我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列前n項(xiàng)的和，能否就從這兒出發(fā)，把Sn當(dāng)成一個(gè)未知數(shù)去求，其實(shí)本節(jié)課的重難點(diǎn)就是“錯(cuò)位相減法”如何引出該知識(shí)點(diǎn)。在后面的備課過(guò)程中，主要是對(duì)“目標(biāo)、重難點(diǎn)、教學(xué)過(guò)程中的幾個(gè)節(jié)點(diǎn)”。一開始教學(xué)目標(biāo)中的知識(shí)目標(biāo)為掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)求和公式及其推導(dǎo)方法，能較熟練地應(yīng)用等比數(shù)列前項(xiàng)求和公式。后來(lái)發(fā)現(xiàn)此目標(biāo)應(yīng)做及時(shí)調(diào)整，把“較熟練的應(yīng)用”改為“簡(jiǎn)單應(yīng)用”，公式的探究與探求，對(duì)于學(xué)生而言，高中三年可能只有這么一次機(jī)會(huì)，錯(cuò)過(guò)了就錯(cuò)過(guò)了，再也得不到了。而公式的應(yīng)用以后的機(jī)會(huì)將會(huì)很多，所以把這節(jié)課的重點(diǎn)定位于公式的探究上！

本節(jié)課的能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、類比、反思、歸納等能力。在備課活動(dòng)中深刻體會(huì)到重點(diǎn)在類比，我們?cè)谇懊鎸W(xué)習(xí)了等差數(shù)列，接著是等比數(shù)列。很多的研究方法以及問(wèn)題的產(chǎn)生，前面都有了一個(gè)參照，所以在備課中想到能否讓學(xué)生自己從等差數(shù)列中類比到等比數(shù)列，為了突出探究的過(guò)程以及原理的產(chǎn)生，原來(lái)的2個(gè)例題變?yōu)?個(gè)例題，同樣筆者也把當(dāng)時(shí)備的練習(xí)刪去了。學(xué)生在探究的過(guò)程中有足夠的思維量的話，不在乎少幾個(gè)練習(xí)。當(dāng)時(shí)筆者把“錯(cuò)位相減法”定為重難點(diǎn)，后來(lái)經(jīng)過(guò)商量認(rèn)為，既然是難點(diǎn)，我們本節(jié)課可以不提，留到后面上習(xí)題課的時(shí)候見到了再提，因?yàn)榍懊鎸W(xué)生已經(jīng)接觸過(guò)，雖然上課沒有講過(guò)“錯(cuò)位相減法”，但在后面學(xué)生一點(diǎn)便知。

在最后的一次備課過(guò)程中，把問(wèn)題串進(jìn)行了調(diào)整，在備課過(guò)程中盡可能多地去預(yù)設(shè)一下學(xué)生的答案。在導(dǎo)公式的過(guò)程這一環(huán)節(jié)中的想法特別多，目前對(duì)于等比數(shù)列而言，我們只學(xué)過(guò)了定義、通項(xiàng)公式，以及等差數(shù)列的一些研究方法，如何帶領(lǐng)學(xué)生從已知到未知，慢慢研究探索。因此后來(lái)想到就利用數(shù)列前n項(xiàng)的和Sn的特點(diǎn)進(jìn)行點(diǎn)撥。

上完本節(jié)課后，筆者有幾點(diǎn)想法：

1.學(xué)生本人的體驗(yàn)、感受、感悟，教師千萬(wàn)不能輕易把它拿掉！教師所要做的是：盡可能地設(shè)置些合理的過(guò)程，讓學(xué)生自己去觀察、探究、體驗(yàn)！

2.引入的有效性，不一定每一堂課都有固定的模式，應(yīng)該根據(jù)不同的內(nèi)容、不同的課題采取不同的方法。

3.在集體備課的過(guò)程中，應(yīng)該稍微把眼光放遠(yuǎn)一點(diǎn)，要有大備課的思想，把前后的實(shí)質(zhì)串聯(lián)起來(lái)。

以上是本節(jié)課前前后后的一些過(guò)程與想法，如有不當(dāng)之處敬請(qǐng)各位專家批評(píng)指正！

（作者單位 江蘇省南京市文樞中學(xué)）

編輯 張耀華