意外的教學(xué)案例

一、選題設(shè)想

學(xué)生正經(jīng)歷高三一輪復(fù)習(xí)，各類公式已經(jīng)復(fù)習(xí)過的前提下，考慮到學(xué)生對于三角問題已有的了解，如何選擇更優(yōu)的方法來正確、快速的解題就是學(xué)生的“必修課”了。三角函數(shù)求值的題型，從認(rèn)知結(jié)構(gòu)上說，學(xué)生很容易理解題意，動手解題，但是使用方程組的思想還是變角的思想來解題更加便捷呢？怎樣幫助他們在解決三角函數(shù)求值問題時，正確深入地理解題意，有效準(zhǔn)確地選擇解題方法呢？在建構(gòu)主義理論的指導(dǎo)下，我以自主學(xué)習(xí)為前提，以探究建構(gòu)為目的，精心設(shè)計了一節(jié)習(xí)題課。在課堂上，通過學(xué)生的練，教師的問，學(xué)生的問，學(xué)生的改和教師的評，利用教師和學(xué)生角色互換，使教學(xué)過程生動活潑。這不但幫助學(xué)生深化認(rèn)識三角函數(shù)求值的問題，還進一步總結(jié)出了各類方法的特點，使學(xué)生能準(zhǔn)確地選擇更優(yōu)的解題方法。

二、預(yù)期效果

1.讓學(xué)生在掌握角的變換方法的基礎(chǔ)上，能夠自我總結(jié)形成觀察差異、探究公式使用的一般方法。

2.激發(fā)學(xué)生的探究欲望，能夠獨立或合作提出推導(dǎo)其他三角恒等式的方案，形成對三角恒等變換的本質(zhì)認(rèn)識，加深對靈活運用公式的理解。

3.培養(yǎng)學(xué)生的“問題意識”。在探索的過程中學(xué)會將“知識問題化”，大膽、合理地提出猜測，通過證明、完善，最終達到將“問題知識化”的目的。

三、案例回放

1.小題回顧，創(chuàng)設(shè)情境

師：前面我們一直在使用各類公式解題，那么下面這些是大家課前預(yù)習(xí)的題。我請部分同學(xué)起來對答案，談方法，再說公式。

生：……（前3題略）

師：我們來看第4題。請生1來回答。

師：有沒有提醒同學(xué)們注意的點？

生1：平方關(guān)系式開方要注意角的范圍，才能確定sinα值的正負(fù)。

師：很好。大家對于基礎(chǔ)內(nèi)容都能熟練掌握和簡單運用，也能注意角的范圍問題了。第4題就是我們常見的已知簡單角的三角函數(shù)值求復(fù)雜角的三角函數(shù)值的題型?，F(xiàn)在我們把這道題的已知和所求調(diào)換位置，大家也能快速地求出cosα值嗎？

2.展現(xiàn)方法，暴露思維

問題提出后，學(xué)生都在奮筆疾書，當(dāng)時我設(shè)想，學(xué)生大多會習(xí)慣性將cos（α+■）展開，聯(lián)立方程組來解題。結(jié)果，不知是否因為我前面講課時強調(diào)求值題要關(guān)注角，所以不少學(xué)生使用了變換角的方法來解題。這是我意料之外的情況。于是，我將兩位學(xué)生不同的解答方法用實物投影的方式并排放到了一起，請學(xué)生討論和比較。

生2：（方程組）

生3：（變角）

經(jīng)過比較后，大部分學(xué)生認(rèn)為使用變換角的形式來解題更為方便，比方程組的方法要好。

3.比較學(xué)習(xí)，深入探究

師：我們來看例1，它就是我們所關(guān)心的題型。

在教室巡視時，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維已經(jīng)掉進了我所設(shè)計的“陷阱”。絕大部分學(xué)生使用變角的方法來解決問題，卻遲遲求不出答案。相反，使用方程組解題的學(xué)生則迅速地算出了正確答案。

師：不是變換角的方法更加簡單嗎？為什么遇到這道題行不通呢？兩題有什么區(qū)別？

生：剛才那道題有角的范圍，而這道題沒有，變換角時不能確定所求角的范圍，所以只能用方程組的方法。

（此時，教師展示了其中一位學(xué)生使用變換角的方法解題過程。學(xué)生沉默）

師：其實大家已經(jīng)關(guān)注到了角范圍的問題，只用這個因素來選擇何種解題方法似乎太草率了。實踐出真知，我們再來看看下面兩題。請在解題時思考用什么解題方法，為什么？

部分學(xué)生因為上一題的關(guān)系，使用了方程組的方法來解題，在變（2）中受挫，計算十分復(fù)雜。部分學(xué)生還是使用了變換角的方法，結(jié)果變（1）和變（2）都順利地解決了。

師：大家的解題過程應(yīng)該讓你們有所感悟吧。請問已知復(fù)雜角的三角函數(shù)值如何求解簡單角的三角函數(shù)值？什么條件下使用它們？

生：有角范圍的題用變換角的方法解題，沒有角范圍可以使用方程組的方法來解題。

師：那么，變（1）用方程組的方法能夠解決問題，但變（2）卻不行？是受什么條件影響呢？

（學(xué)生沉默）

四、教學(xué)感悟

實際教學(xué)中，很多時候教師喜歡采用“告訴”的方法，告知學(xué)生錯因和注意事項，對容易出錯的問題提前暗示，事先指出，讓學(xué)生“防患于未然”。但效果如何呢？往往是學(xué)生聽起來懂，做起來錯，學(xué)生責(zé)怪自己粗心，教師埋怨學(xué)生太笨，果真如此嗎？癥結(jié)何在？正如著名的數(shù)學(xué)教育家馬明先生說的那樣：“猶如拋盤子節(jié)目，老師拋得越快，學(xué)生丟得也越快?！背晒Φ臉啡ぶ挥性诮?jīng)歷失敗的痛楚后才能獲得更深切的體驗。這節(jié)課下了以后，不少學(xué)生過來對我說：“老師，我今天很高興，第一次有了自己努力也能解決數(shù)學(xué)問題的想法。”這堂課的不足在于有學(xué)生正確使用變換角的方法求解例1時，我未能及時分析或是請該生講解，錯過了一次辨析的機會；另外，我的提問過于形式化、簡單化，雖然是以學(xué)生為主體，多讓學(xué)生互相辨析、發(fā)表意見，但整節(jié)課顯得有些松散缺乏效率。以后，我會在教學(xué)中繼續(xù)發(fā)揚這種做法，備課時多注意問題的用詞和串聯(lián)。

（作者單位 江蘇省南京市文樞中學(xué)）

編輯 張耀華