對(duì)數(shù)學(xué)概念課教學(xué)的一點(diǎn)反思

摘 要：數(shù)學(xué)概念的教學(xué)可以發(fā)現(xiàn)其潛在的文化價(jià)值，結(jié)合實(shí)際教學(xué)，以案例形式反思在概念教學(xué)中利用數(shù)學(xué)文化的不同方式滲透，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的美，希望對(duì)改變教學(xué)和促進(jìn)學(xué)習(xí)有一點(diǎn)啟發(fā)。

關(guān)鍵詞：概念課；數(shù)學(xué)文化；數(shù)學(xué)美

高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)的研究常見的是側(cè)重研究教學(xué)與效率的關(guān)系，對(duì)概念本身的文化價(jià)值不一定在意。我們是否忽略了教學(xué)還有更多它元任務(wù)，比如一個(gè)人的求真、創(chuàng)新精神，這些是科學(xué)精神的核心所在！而數(shù)學(xué)同時(shí)也是一種文化，其文化內(nèi)涵集中體現(xiàn)在理性精神、求真精神和創(chuàng)新精神上。平時(shí)的概念教學(xué)中，我們是否可以結(jié)合數(shù)學(xué)文化，為學(xué)生引來無限泉水，讓其品嘗到學(xué)習(xí)的甜美呢？

一、游文化長河追尋數(shù)學(xué)美

作為科學(xué)的數(shù)學(xué)，它要求了解重要的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，還有它們的來龍去脈、發(fā)現(xiàn)的策略以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋硎觥Ｗ鳛槲幕臄?shù)學(xué)，既要學(xué)習(xí)、領(lǐng)會(huì)、鑒賞和傳承，還要呼喚原創(chuàng)性的想法，有所發(fā)展和創(chuàng)新。平時(shí)的很多概念教學(xué)中，我們可以追尋流淌著的數(shù)學(xué)美。

教學(xué)案例：數(shù)系的擴(kuò)充——復(fù)數(shù)的引入

在教材中通過一個(gè)設(shè)計(jì)：方程x2+1=0在實(shí)數(shù)集內(nèi)無解，引入問題：實(shí)數(shù)集怎樣擴(kuò)充呢？設(shè)計(jì)意圖是讓學(xué)生回憶、歸納，從中體會(huì)實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾在數(shù)系擴(kuò)充中的作用。對(duì)比教材，我增加設(shè)計(jì)了這樣的問題情境：

1.1484年，法國數(shù)學(xué)家舒開在《算術(shù)三篇》中，給出一元二次方程4+x2=3x的根是x=■±■，他聲明此根是不可能的；

2.1545年意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹在解一元二次方程x（10-x）=40時(shí)，得到類似結(jié)果，并引入復(fù)數(shù)的平方根，并稱之為“詭辯量”；

3.1637年，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾正式開始用“實(shí)數(shù)”“虛數(shù)”兩個(gè)名詞（之所以用“虛數(shù)”，可能當(dāng)時(shí)人們不能接受形如方程x2+1=0有解）；

4.德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨（1646～1716）、瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（1707～1783）和法國數(shù)學(xué)家De Moivre（1667～1754）研究了虛數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)之間的關(guān)系。除了解方程外，把它運(yùn)用于微積分方面，得出很多有價(jià)值的結(jié)果；

5.1747年，法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾研究指出：形如a+b■（a，b是實(shí)數(shù)）的數(shù)可以按多項(xiàng)式的四則運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，其結(jié)果仍是a+b■的形式；

6.1748年，歐拉對(duì)這類新數(shù)作了系統(tǒng)研究得出歐拉公式：eiθ=cosθ+isinθ，1777年首次用i2=-1，1801年，高斯系統(tǒng)使用這個(gè)符號(hào)；

7.17世紀(jì)末18世紀(jì)初，復(fù)數(shù)得到更快發(fā)展。高斯、愛爾蘭數(shù)學(xué)家哈密頓等給出了復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的幾何表示等。

在這300多年的歷史中，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的每一次進(jìn)步或跨越需要克服很多困難，但最終還是解決了這個(gè)困惑：這就是復(fù)數(shù)中最重要的單位——虛數(shù)單位i，可以理解為一個(gè)新數(shù)，形如a+bi這樣的數(shù)叫復(fù)數(shù)。

在上面的教學(xué)片段中，我們只是給出了數(shù)學(xué)概念的本來發(fā)展源頭，是數(shù)學(xué)發(fā)展長河中的一段，但教學(xué)之外，可以預(yù)測有心去思考的學(xué)生會(huì)問，當(dāng)今數(shù)系還有發(fā)展嗎？復(fù)數(shù)有什么新的進(jìn)展？我想對(duì)于學(xué)生，這都是好事情——“因?yàn)闆]有問題的學(xué)習(xí)才是問題”。

數(shù)學(xué)文化的美還體現(xiàn)于嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)精神與推理意識(shí)，每個(gè)概念的建立無不經(jīng)歷反復(fù)推理與證明；勇于探索和創(chuàng)新的魄力，數(shù)學(xué)事實(shí)的發(fā)現(xiàn)，定理的猜證，方法的概括無不反映數(shù)學(xué)中執(zhí)著追求的創(chuàng)新精神，在探索過程中呈現(xiàn)“波濤在后岸在前”的畫面。

二、到歷史畫卷中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美

數(shù)學(xué)只有追溯過去的歷史空間，它才鮮活而豐滿。數(shù)學(xué)史實(shí)際上是人類在數(shù)學(xué)思維方面進(jìn)程的記錄，當(dāng)把它放到具體的歷史背景中考查，就能發(fā)現(xiàn)“風(fēng)景這邊獨(dú)好”的意境。

教學(xué)案例：推理與證明——類比推理實(shí)例

蘇教版教材選修1-2中第二章第一節(jié)——推理的兩種形式：合情推理與演繹推理，其中一種合情推理是類比，其定義為：根據(jù)兩個(gè)（或兩類）對(duì)象之間在某些方面相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同的方法叫類比推理。在教學(xué)中學(xué)生很容易接受這個(gè)概念外延，但從概念中卻不易發(fā)現(xiàn)推理的重要過程——思維表達(dá)。課本給了一個(gè)實(shí)例：

（波利亞的類比）類比實(shí)數(shù)的加法與乘法，列出它們類似的性質(zhì)。

解：在實(shí)數(shù)的加法和乘法之間可建立對(duì)應(yīng)關(guān)系：+→×

這實(shí)際是數(shù)學(xué)家波利亞在其名著《數(shù)學(xué)與合情推理》中所給的例子。學(xué)生在看到這個(gè)例子時(shí)，不光是一個(gè)例題，它可能是個(gè)故事，可能是個(gè)啟發(fā)，可能是個(gè)疑問，所以我告訴了他們?nèi)缦聝?nèi)容：

波利亞著有數(shù)學(xué)教育論文和專著約300篇（部），其中《怎樣解題》《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》等影響之深遠(yuǎn)為20世紀(jì)所罕見，被譽(yù)為上世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)教育思想家。課本上說：數(shù)學(xué)是“一門嚴(yán)格的演繹科學(xué)”——無懈可擊，完美的理論。這僅是數(shù)學(xué)的一個(gè)側(cè)面。波利亞宣揚(yáng)數(shù)學(xué)的另一個(gè)側(cè)面：創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)。與其他知識(shí)的創(chuàng)造過程一樣，在創(chuàng)造一個(gè)數(shù)學(xué)定理之前，先得猜想、發(fā)現(xiàn)這個(gè)定理的內(nèi)容，不斷檢驗(yàn)、完善、修改所提出的猜想，作出詳細(xì)證明。在這過程中，需要充分運(yùn)用的不是論證推理，而是合情推理。論證推理以形式邏輯為依據(jù)，每一步推理都是可靠的，因而可以用來肯定數(shù)學(xué)知識(shí)，建立嚴(yán)格的數(shù)學(xué)體系。合情推理則只是一種合乎情理的推理。例如，律師的案情推理，經(jīng)濟(jì)學(xué)家的統(tǒng)計(jì)推理等，它的結(jié)論帶有或然性。合情推理是冒風(fēng)險(xiǎn)的，它是創(chuàng)造性工作所賴以進(jìn)行的推理。數(shù)學(xué)中的合情推理是多種多樣的，而歸納和類比是兩種用途最廣的特殊合情推理。波利亞說：只要我們承認(rèn)數(shù)學(xué)創(chuàng)造過程中需要合情推理、需要猜想，數(shù)學(xué)教學(xué)中就必須有教猜想的地位，必須為發(fā)明做準(zhǔn)備，或至少給一點(diǎn)發(fā)明的嘗試。

在上述交流后，學(xué)生可以給出自己的發(fā)現(xiàn)：數(shù)的運(yùn)算的演變，加法和乘法的聯(lián)系與區(qū)別，有部分學(xué)生還問起“減法和除法有何相似嗎？加法和減法，除法和乘法呢？”我想這是這道概念題背后的探索，它源自我們對(duì)數(shù)學(xué)文化的尋找和發(fā)現(xiàn)。

歷史因?yàn)橛洃浐桶l(fā)現(xiàn)而難忘，我想在上述教學(xué)中，學(xué)生可能會(huì)發(fā)現(xiàn)類比推理是數(shù)學(xué)歷史進(jìn)程中的必然事物，還體會(huì)到數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)，發(fā)生與發(fā)展過程，也許他們會(huì)發(fā)現(xiàn)在身邊“魯班造鋸”的故事是有依據(jù)的，未來可能會(huì)有更多的猜想和發(fā)明讓人難忘。

三、跟隨數(shù)學(xué)家的足跡去探究美

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究是不完全相同的，但都是思維活動(dòng)，所以我們可以像數(shù)學(xué)家那樣去學(xué)習(xí)和研究，像數(shù)學(xué)家那樣去思考。

教學(xué)案例：“球的體積公式推導(dǎo)”（人教版）

采用“切割”、“拼補(bǔ)”的方法來推導(dǎo)球的體積，我們先求半球的體積。

1.切割

如圖，設(shè)球的半徑為R，將半徑OA n等分，過這些等分點(diǎn)作平面把半球切割成n層，每一層都是近似于圓柱形狀的“小圓片”，這些“小圓片”的體積之和就是半球的體積。

2.求近似和

策略：近似地把“小圓片”看成“小圓柱”。

3.近似和轉(zhuǎn)化為準(zhǔn)確和

這里，“分割—求近似和—逼近準(zhǔn)確和”是一個(gè)“逐步逼近，追求嚴(yán)謹(jǐn)”的過程，在過程中我們一起感受到“送走晚霞迎來日出”的意境，受到了數(shù)學(xué)家“極限思想”的滋潤，不知不覺接觸了“微積分學(xué)”的大門。

很多概念教學(xué)中的案例告訴我們：數(shù)學(xué)不僅是一個(gè)思維過程，也是一個(gè)文化洗禮的過程，因而伴隨著大量的情感意志活動(dòng)。在教學(xué)中，要大力弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化的潛在價(jià)值，教學(xué)中結(jié)合實(shí)際創(chuàng)造條件為傳播數(shù)學(xué)文化之道，傳承理性精神打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，這樣數(shù)學(xué)不再那么枯燥，進(jìn)而激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

參考文獻(xiàn)：

[1]單墫.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書.選修（1-2）[M].南京：江蘇教育出版社，2012.

[2]俞平.著名特級(jí)教師教學(xué)思想錄[M].南京：江蘇教育出版社，2012.

（作者單位 江蘇省海門中學(xué)）

編輯 孫玲娟