開放性問題在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

摘 要： 開放性問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的一種新模式，具有新穎性、動態(tài)性、發(fā)散性和創(chuàng)新性等特點(diǎn)，其類型可分為歸納型、存在型、條件探索型.開放性問題具有一定的知識教育價值、能力發(fā)展教育價值和人文教育價值，在數(shù)學(xué)教學(xué)中有廣泛的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞： 開放性問題 數(shù)學(xué)教學(xué) 應(yīng)用

實(shí)施教育改革以來，以培養(yǎng)人的能力為核心的問題解決、數(shù)學(xué)建模等教學(xué)模式受到越來越多的數(shù)學(xué)教育工作者的重視.教師的教學(xué)觀與學(xué)生的學(xué)習(xí)觀都發(fā)生了很大的變化.教師不再是教學(xué)的“主角”而是“導(dǎo)演”，教師的作用是主導(dǎo)而不是主宰，學(xué)生不是知識的被動接受者，而是教學(xué)活動的中心和主體，學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個“建構(gòu)”的過程，是一個創(chuàng)造或再創(chuàng)造的過程.所有這些觀念已成為共識，為人們普遍接受.但是，教育觀念的轉(zhuǎn)變并不等于教學(xué)實(shí)踐也隨之發(fā)生變化.

開放性問題教學(xué)是相對封閉式的教學(xué)而言的，是一種新的教學(xué)思想指導(dǎo)下的新的教學(xué)模式.教師不再主宰課堂，而是讓學(xué)生充當(dāng)主角.教師的注意力集中于創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)計問題，為學(xué)生思考、探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新提供最大的空間，不對學(xué)生預(yù)先設(shè)置任何框框.既有獨(dú)立思考的學(xué)生個體活動，又有學(xué)生之間、師生之間的合作、討論、交流的群體活動，在寬松、民主的教學(xué)環(huán)境中促進(jìn)學(xué)生主體精神、創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力的發(fā)展.

一、借助開放性趣味題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣

在新知識的導(dǎo)入中巧設(shè)趣味性的，新穎奇特的開放性問題，能誘發(fā)學(xué)生的好奇心，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性.

例如在六年級代數(shù)式的課題引入中，可以給學(xué)生這樣引入：

師：“每個同學(xué)心里想一個10以內(nèi)的數(shù)，按如下要求計算，把結(jié)果記在心里.把想的這個數(shù)加上7，在乘以2，再減去6，再除以2，再減去原來的那個數(shù).”

師：“我能猜出你們的答案！”

生：“不可能！老師你說說看！”

師：“答案肯定是4！”

課堂氣氛熱鬧起來.很多同學(xué)不明白為什么互不相同的數(shù)，卻能得到相同的結(jié)果，更不明白老師是怎么知道的.探究的興趣一下子就被激發(fā)出來了.這時，老師就可以順勢引導(dǎo)學(xué)生說：“數(shù)學(xué)中經(jīng)常用字母表示數(shù).”……平時，教師要注意收集一些有趣的、帶有懸念的、能引起學(xué)生興趣的問題，如“中央電視臺的《焦點(diǎn)訪談》節(jié)目為什么首播時間要放在19：38呢？”；“將一張厚度為0.09mm的紙對折42次后，其厚度是多少？是否能夠從地球到達(dá)月球？”前者應(yīng)用于“鐘面上的追擊問題”的教學(xué)中，后者應(yīng)用于“數(shù)的乘方”的教學(xué)中.通過這些饒有情趣的數(shù)學(xué)問題，創(chuàng)設(shè)出開放性的問題情境，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)了學(xué)生積極主動地思考.

二、將封閉性問題改為開放性問題，引導(dǎo)學(xué)生多角度探究

開放性問題有利于學(xué)生形成發(fā)散思維，為學(xué)生的自主探究創(chuàng)造了條件.很多原有的包含了數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法精髓的封閉型問題稍加改變，成為開放性問題后，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣會大大提高.

例1：已知，如圖3，在△ABC中，點(diǎn)D，E是BC邊上的點(diǎn)，且BD=CE，AD=AE，求證：AB=AC.

可以將題目改編為一道開放性的問題，學(xué)生有了興趣和信心，再對學(xué)生進(jìn)行多方面的引導(dǎo)，促使他們進(jìn)行多方面的思考和探究，既可強(qiáng)化學(xué)生對知識的理解和應(yīng)用，提高學(xué)習(xí)效率，又能增強(qiáng)他們的思維能力.

（1）改編成條件開放性問題：

已知：如圖3，在△ABC中，點(diǎn)D，E是BC邊上的點(diǎn)，且AD=AE，要證明△ABD？艿△ACE，還需要補(bǔ)充一個怎樣的已知條件？

（2）改編為結(jié)論開放性問題：

已知：如圖3，在△ABC中，點(diǎn)D，E在BC邊上，且BD=CE，AD=AE，從已知條件你能得到哪些結(jié)論？

（3）改編成綜合開放性問題：

已知：如圖3，在△ABC中，點(diǎn)D，E在BC上，現(xiàn)在有4個論斷：①∠BAD=∠CAE，②AD=AE，③AB=AC，④BD=CE，請你從中選出兩個論斷作為題設(shè)，另兩個論斷作為結(jié)論組成一個真命題，并加以證明.

通過一題多變，讓學(xué)生感受到，同一個圖形背景下的問題，卻能從不同的角度變化出多樣化的問題.使學(xué)生學(xué)會多方面、多角度地思考問題和探究問題，加強(qiáng)知識的連貫性和應(yīng)用的靈活度.

例2：如圖4，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在BC邊和CA邊上，BD=2DC，CE=2EA，AD與BE相交于G，求證：AD=BE.

我們只要隱去結(jié)論改為開放性問題就能得到不同的解答.

如圖4，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在BC邊和CA邊上，BD=2DC，CE=2EA，AD與BE相交于G，試就有關(guān)圖形的形狀、大小和關(guān)系得出盡可能多的結(jié)論.

本題的答案：

先考慮三角形的全等關(guān)系，有：

（1）△ACD？艿△BAE（因?yàn)锳C=AB，CD=AE，∠BAE=∠C）由此可以推出

（2）AD=BE

（3）∠DAC=∠EBA

（4）∠ADC=∠BEA

再考慮特殊角：

（5）顯然，∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°

（6）聯(lián)系（1），有∠AGE=∠EBA+∠GAB=∠EAG+∠GAB=∠EAB=60°

進(jìn)一步推出：

（7）∠DGE=120°

（8）D，G，E，C四點(diǎn)共圓

（9）AE·AC=AG·AD或BG·BE=BD·BC

（10）2AG·AD=BG·BE

（11）∠GDC+∠CEG=180°

（12）AG：AE：GE=AC：AD：CD，BG：BD：GD=BC：BE：CE

三、用引發(fā)爭論的焦點(diǎn)問題，引導(dǎo)學(xué)生合作與交流

合作與交流是開放式學(xué)習(xí)所倡導(dǎo)的一種學(xué)習(xí)方式.在教學(xué)過程中，通過焦點(diǎn)問題，引發(fā)學(xué)生相互探討，互補(bǔ)學(xué)習(xí)，增強(qiáng)合作意識和交往能力.

例3：若關(guān)于x的方程（k-1）x■+2kx+k+3=0（k為整數(shù)）有實(shí)數(shù)根，求k的最大值.

一些學(xué)生通過求△=（2k■）-4（k-1）（k+3）>0得出k<■，又由于k為整數(shù)，故k的最大值為0.

但立即有學(xué)生反駁道：必須使二次項(xiàng)系數(shù)k≠1時，才能考慮判別式的值.于是許多同學(xué)馬上求得k的最大值為0.

但也有學(xué)生說：“當(dāng)k=1時，是一元一次方程.”方程有實(shí)數(shù)根-2，于是k的最大值仍然是1.這個結(jié)果讓同學(xué)們既感到有趣，又感到困惑.這不是從終點(diǎn)又回到了起點(diǎn)了嗎？

通過同學(xué)之間的熱烈討論，相互質(zhì)疑，相互補(bǔ)充，最后同學(xué)們達(dá)成了共識：k的最大值確應(yīng)唯1，但是此“1”非彼“1”也.學(xué)生通過相互間的交流與合作，更加深了對判別式的理解和對分類討論的認(rèn)識.

當(dāng)然，開放性問題也不是完美的，也有其不足之處.如：開放性問題在單一的技能訓(xùn)練、知識學(xué)習(xí)上費(fèi)時費(fèi)力，效率較低；在教學(xué)時易受課時的制約，在課堂上出現(xiàn)學(xué)生的思維在低層次上重復(fù)現(xiàn)象，不易進(jìn)行深入的研究；開放性問題的教學(xué)對教師要求較高，不易推廣，等等.因而，我們應(yīng)該把開放性問題和封閉性問題在教學(xué)中結(jié)合起來.開放性問題和封閉性問題在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)是并存而非排斥的.封閉性問題主要引起認(rèn)知結(jié)構(gòu)的同化，而開放性問題則是引起認(rèn)知結(jié)構(gòu)的順應(yīng).在認(rèn)知變化的過程中，同化說明成長，一種量的變化，而順應(yīng)則說明發(fā)展，是一種質(zhì)的變化.這兩種心理過程結(jié)合在一起進(jìn)行很多次循環(huán)，乃是智慧的適應(yīng)和解決問題能量的發(fā)展的原因.