變出課本習(xí)題的精彩

[摘 要] 本文從一道課本習(xí)題出發(fā)，進(jìn)行多角度探索和研究，意在通過(guò)一題多變、一題多用、多題歸一，充分挖掘該題的教學(xué)價(jià)值，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)問(wèn)題的本質(zhì)，積累解題經(jīng)驗(yàn)和策略，發(fā)展思維能力.

[關(guān)鍵詞] 課本習(xí)題；多角度；探究

題目 （蘇科版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)P102第7題）如圖1，在？荀ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，AE與BD相交于點(diǎn)F.

（1）△ADF與△EBF相似嗎？為什么？

（2）如果E是BC的中點(diǎn)，那么AF與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？

此題在平行四邊形的背景下，設(shè)置了兩個(gè)問(wèn)題，分別考查了相似三角形的判定和相似三角形的性質(zhì). 圖形簡(jiǎn)潔，研究的問(wèn)題也很簡(jiǎn)單，然而該題的圖中卻蘊(yùn)涵了相似的基本圖形——“X”型，如果延長(zhǎng)原題圖中的某些線段，會(huì)出現(xiàn)相似的另一個(gè)基本圖形——“A”型，圖中多條線段、多個(gè)圖形的面積存在一定的數(shù)量關(guān)系，因而看似平淡無(wú)奇，實(shí)際上卻是值得細(xì)細(xì)品味的一道有研究?jī)r(jià)值和開(kāi)發(fā)價(jià)值的好題.

在原題條件和圖形基本不變的

情況下探究圖形中隱含的結(jié)論，

精彩紛呈

評(píng)析？搖 上述兩題在原題條件和圖形不變的情況下，探索題中圖形的面積關(guān)系，可讓學(xué)生體會(huì)化歸的數(shù)學(xué)思想，即圖形的面積關(guān)系可轉(zhuǎn)化成線段關(guān)系，四邊形的面積可轉(zhuǎn)化成三角形的面積. 通過(guò)探究1可引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出夾在兩條平行線間的幾個(gè)三角形的面積之間的關(guān)系的一般性結(jié)論. 通過(guò)探究2可引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出處理三角形面積關(guān)系的兩個(gè)基本策略，即看兩個(gè)三角形是否相似或兩個(gè)三角形是否是同底、同高、等底、等高.

探究3？搖 如圖3，在？荀ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，AE與BD相交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.

（1）圖中有幾對(duì)相似三角形？請(qǐng)寫(xiě)出來(lái).

（2）探索線段AF，EF，F(xiàn)N之間的關(guān)系.

（5）如果E是BC的中點(diǎn).

① 求AF︰FE︰EN的值.

解析？搖（1）圖中有6對(duì)相似三角形，分別是△ABE∽△NCE∽△NDA，△ABF∽△NDF，△ADF∽△EBF，△ABD∽△CDB.

（2）AF2=FE×FN. （理由略）

（3）（4）證明略.

此題通過(guò)連結(jié)原題中的另一條對(duì)角線，探究圖中三條線段的數(shù)量關(guān)系及圖形的面積關(guān)系，問(wèn)題的難度進(jìn)一步提高. 通過(guò)問(wèn)題的解決，有利于學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)悟數(shù)學(xué)化歸思想，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力. 此題還可以連結(jié)EM ，借助三角形的中位線，構(gòu)造相似三角形去解決，可培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.

變換原題的部分條件或增加

一些條件探索新的結(jié)論，變化

無(wú)窮

1. 改變點(diǎn)E在BC上的位置，獨(dú)具匠心.

探究5？搖 在？荀ABCD中，E是BC邊上的三等分點(diǎn)，AE與BD相交于點(diǎn)F.

（1）求AF︰FE的值.

如圖4，在？荀ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，AE與BD相交于點(diǎn)F，AC與BD相交于點(diǎn)M. 若BE︰EC=m，求BF︰FM︰MD的值（用含m的代數(shù)式表示）.

BF︰FM︰MD = 2m︰1︰（2m +1）. （過(guò)程略）

探究7？搖 如圖5，在？荀ABCD中，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE與BD，CD分別相交于點(diǎn)F，N.

（1）圖中有幾對(duì)相似三角形？

（2）若FN=1，EN=3，求AF的值.

（4）如果CE︰BC=m，求AF︰FN︰NE的值（用含m的代數(shù)式表示）.

解析 （1）6對(duì).

（2）由題意可得AF2=FN×FE，故AF=2.

（3）證明略.

2. 增加BC邊上點(diǎn)的個(gè)數(shù)，推陳出新.

如圖6，在？荀ABCD中，E，M是BC邊上兩點(diǎn)，且滿足BE=EM=MC，AE與BD相交于點(diǎn)F，AM與BD相交于點(diǎn)N，求BF︰FN︰ND的值.

BF︰FN︰ND = 5︰3︰12. （過(guò)程略）

如圖7，在？荀ABCD中，M，E是BC邊上兩點(diǎn)，且滿足BM=EM =EC，AE與BD相交于點(diǎn)F，DM與AE相交于點(diǎn)G，求AF︰FG︰GE的值.

解析 AF︰FG︰GE =12︰3︰5.（過(guò)程略）

評(píng)析 探究5、探究6、探究7、探究8和探究9從改變?cè)}圖形中“點(diǎn)”的位置、個(gè)數(shù)入手，探究8與探究9可以看做是探究5的進(jìn)一步拓展. 通過(guò)一系列演變，可讓學(xué)生感悟到問(wèn)題解決中體現(xiàn)的“變”與“不變”的關(guān)系：題目雖變，但解題策略不變，即要善于從復(fù)雜圖形中找出相似的基本圖形——“X”型和“A”型，將所要研究的幾條線段與同一條線段發(fā)生關(guān)系，從而促使學(xué)生深刻理解問(wèn)題的本質(zhì)，積累解題經(jīng)驗(yàn).

3. 變“對(duì)角線BD”為“過(guò)點(diǎn)B及線段CD上一點(diǎn)（不與C，D重合）的線段”，柳暗花明.

探究10？搖 如圖8，在？荀ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，G是線段CD上一點(diǎn)，AE與BG相交于點(diǎn)F.

（1）當(dāng)點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)時(shí)，

①求AF：FE的值及BF︰FG的值.

（2）若DG︰GC=m時(shí)，求AF︰FE的值（用含m的代數(shù)式表示）.

解析 （1）過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB交BG于點(diǎn)H.

評(píng)析？搖 該探究從改變?cè)}圖形中“線”的位置入手，也隱去了原題圖中的相似三角形，解決問(wèn)題（1）的關(guān)鍵是學(xué)生能否運(yùn)用類比的策略，通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形去解決. 問(wèn)題（2）是問(wèn)題（1）的拓展，將探究的問(wèn)題一般化，能促使學(xué)生理解和內(nèi)化知識(shí)，有效考查學(xué)生的應(yīng)變能力.

4. 改變圖形的背景，變“？荀ABCD”為“梯形”，舊貌換新顏.

如圖9，在梯形ABCD中，BC∥AD，點(diǎn)E是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE與BD相交于點(diǎn)F. 若AD︰BC=m，DC︰DE=n，求AF︰EF的值（用含m，n的代數(shù)式表示）.

評(píng)析？搖 該探究改變了原題圖形的背景，變“平行四邊形”為“梯形”，變點(diǎn)E為DC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，將探究的問(wèn)題一般化，在全新的情境中更能有效考查學(xué)生的能力，促使學(xué)生理解問(wèn)題的實(shí)質(zhì).

5. 逆向改編，別具一格.

評(píng)析？搖 該探究將原題中的第（2）問(wèn)進(jìn)行逆向改編，即由圖中的面積關(guān)系去探究點(diǎn)E在BC上的位置，在題目的變化中學(xué)生易于發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的聯(lián)系和變化，增強(qiáng)了學(xué)生舉一反三、觸類旁通的解題能力.