學(xué)法指導(dǎo)視角下“二次函數(shù)的應(yīng)用”教學(xué)案例

[摘 要] 在二次函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)中，在豐富多彩的應(yīng)用案例中，作者精心選擇了幾道與學(xué)習(xí)方法有關(guān)的案例，用科學(xué)研究成果中的數(shù)據(jù)來告訴學(xué)生，在學(xué)習(xí)中方法的重要性，以及如何去做.

[關(guān)鍵詞] 二次函數(shù)應(yīng)用；自主學(xué)習(xí)；解題反思；學(xué)習(xí)效率

教學(xué)“22.5？搖二次函數(shù)的應(yīng)用”（滬科版《數(shù)學(xué)》九上）時(shí)，受課本P38練習(xí)題2（下文中的例1）的啟發(fā)，我們認(rèn)為，這是一道以心理科學(xué)研究成果為基礎(chǔ)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)方法介紹的“二次函數(shù)的應(yīng)用題”.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中指出，“要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法.”

在我們的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，很多教師都已感覺到，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，嚴(yán)重地存在著學(xué)習(xí)方法薄弱的問題，而且有很多學(xué)生的學(xué)習(xí)方法也不能隨著學(xué)習(xí)水平的提升和學(xué)習(xí)內(nèi)容的變換而與時(shí)俱進(jìn)，學(xué)生的學(xué)習(xí)發(fā)展也缺乏學(xué)習(xí)方法方面的支撐. 因此，要提升學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，須從多個(gè)方面、多個(gè)角度去尋找辦法. 其中之一，也是當(dāng)務(wù)之急就是學(xué)生學(xué)習(xí)方法的改善與提升.

在本課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生不僅能收獲二次函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用，而且能在學(xué)習(xí)方法上得到啟示. 因此，我又查找了有關(guān)資料，找到了下文中的例2、例3，將此三例在課堂上讓學(xué)生學(xué)習(xí)，系列地介紹了學(xué)習(xí)方法. 通過精心選擇的這三道例題，在教學(xué)過程中，我與同學(xué)們不僅探究了數(shù)學(xué)問題，而且探討了學(xué)習(xí)方法.在課后的教學(xué)反饋中，學(xué)生普遍認(rèn)為：蠻喜歡.由此我將教學(xué)過程整理如下，供同行參考.

基本要求

例1 心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，通常情況下，學(xué)生對(duì)知識(shí)的接受能力y與學(xué)習(xí)知識(shí)所用的連續(xù)時(shí)間x（單位：分）之間滿足經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式：y=-0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30），y值越大，表示接受能力越強(qiáng).

（1）x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步增強(qiáng)？x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步降低？

（2）第10分時(shí)，學(xué)生的接受能力是多少？

（3）第幾分時(shí)，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？

解答 （1）因?yàn)閥=-0.1x2+2.6x+43= -0.1（x-13）2+59.9，所以，當(dāng)0

（2）當(dāng)x=10時(shí)，y=-0.1×（10-13）2+59.9=59，所以第10分時(shí)，學(xué)生的接受能力為59.

（3）x=13時(shí)，y取得最大值59.9，所以，在第13分時(shí)，學(xué)生的接受能力最強(qiáng).

教學(xué)啟示 在上例教學(xué)后，我與學(xué)生探討了自主學(xué)習(xí)的問題. 任何學(xué)習(xí)都離不開學(xué)生主動(dòng)、持續(xù)地自主學(xué)習(xí). 一個(gè)不能自主學(xué)習(xí)的學(xué)生，一個(gè)不會(huì)自主學(xué)習(xí)的學(xué)生，在學(xué)習(xí)上難以得到發(fā)展.正所謂“今后的文盲不是不識(shí)字的人，而是那些不會(huì)學(xué)習(xí)的人！”數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家G·波利亞說：“學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑是自己去發(fā)現(xiàn)，因?yàn)檫@種發(fā)現(xiàn)理解最深，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系.”

自主學(xué)習(xí)是一種自律學(xué)習(xí)，是一種主動(dòng)學(xué)習(xí)，因?yàn)槊恳粋€(gè)學(xué)生都是一個(gè)獨(dú)立的人，學(xué)習(xí)是學(xué)生自己的事情，這是教師不能代替也代替不了的，教師只是起指導(dǎo)作用. 每一個(gè)學(xué)生都有一種獨(dú)立的要求，除特殊原因外，都有相當(dāng)強(qiáng)的獨(dú)立自主學(xué)習(xí)能力.正如布魯納所說：“自主探索是數(shù)學(xué)的生命線.”

同時(shí)，向?qū)W生說明，我已經(jīng)將自主學(xué)習(xí)滲透在“教”與“學(xué)”的活動(dòng)之中了，今后還將繼續(xù)在教學(xué)中滲透，請(qǐng)同學(xué)們注意積累，特別是從預(yù)習(xí)、課堂、復(fù)習(xí)、作業(yè)等幾個(gè)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)中積累學(xué)習(xí)的方法.課堂與課后復(fù)習(xí)中的自主學(xué)習(xí)，尤為重要，我會(huì)在今后的教學(xué)過程中進(jìn)行介紹. 學(xué)生的自主uEB7BYkBZspB6o08FsG4cA==學(xué)習(xí)能力也會(huì)為終身學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

解題能力的關(guān)鍵策略

例2 王亮同學(xué)善于改進(jìn)學(xué)習(xí)方法，他發(fā)現(xiàn)對(duì)解題過程進(jìn)行回顧反思，效果會(huì)更好. 某一天他利用30分鐘的時(shí)間進(jìn)行自主學(xué)習(xí). 假設(shè)他用于解題的時(shí)間x（單位：分鐘）與學(xué)習(xí)收益量y的關(guān)系如圖1所示，用于回顧反思的時(shí)間x（單位：分鐘）與學(xué)習(xí)收益量y的關(guān)系如圖2所示（其中OA是拋物線的一部分，A為拋物線的頂點(diǎn)），且用于回顧反思的時(shí)間不超過用于解題的時(shí)間.

（1）求王亮解題的學(xué)習(xí)收益量y與用于解題的時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）求王亮回顧反思的學(xué)習(xí)收益量y與用于回顧反思的時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）王亮如何分配解題和回顧反思的時(shí)間，才能使這30分鐘的學(xué)習(xí)收益總量最大？

（學(xué)習(xí)收益總量=解題的學(xué)習(xí)收益量+回顧反思的學(xué)習(xí)收益量）

（2）當(dāng)0≤x≤5時(shí)，設(shè)y=a（x-5）2+25，把（0，0）代入，得25a+25=0，解得a=-1.所以y=-（x-5）2+25=-x2+10x. 當(dāng)5≤x≤15時(shí)，y=25. 所以y=-x2+10x（0≤x≤5），25（5≤x≤15）.

教學(xué)啟示？搖 從上例中，我們可以領(lǐng)悟到，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)并不是不停地解題時(shí)，學(xué)習(xí)的收益總量就大，而是要在解題后再用一點(diǎn)時(shí)間進(jìn)行回顧反思，才能有效地提高解題的收益總量. 因此，忽視解題后的再思考，這是很可惜的事，因?yàn)檫@樣恰好錯(cuò)過了提高的機(jī)會(huì)，無異于“拿著寶物又放下了”. 我們希望同學(xué)們在解題后嘗試著從以下幾個(gè)角度來養(yǎng)成反思的習(xí)慣.

1. 反思審題過程，確定解題關(guān)鍵，培養(yǎng)挖掘隱蔽條件的能力.

經(jīng)常進(jìn)行審題過程的反思，可以讓學(xué)生養(yǎng)成在解題前多讀題、審題的習(xí)慣，在充分理解題意的基礎(chǔ)上，找到解題關(guān)鍵；理清解題思路后，再實(shí)施解題，而不是盲目地、無計(jì)劃地解題，這樣能提高解題效率，少做或不做無用功，也才能不斷地提高學(xué)生的解題能力.

2. 反思解題方法，優(yōu)化解題過程，尋找解決問題的最佳方案.

我們告訴學(xué)生，在你們的作業(yè)中，經(jīng)?？吹降氖墙忸}過程單一、思路狹窄、解法陳舊、邏輯混亂、敘述冗長、主次不分等不足，因此，要求你們通過解題反思不僅能夠比較出幾種解法的優(yōu)劣，對(duì)所學(xué)知識(shí)靈活運(yùn)用有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，對(duì)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系脈絡(luò)清楚，運(yùn)用規(guī)律了如指掌，解起題來得心應(yīng)手，解題能力大有提高，而且，還應(yīng)開闊視野，使思維逐漸朝著多開端、靈活、精細(xì)和新穎的方向發(fā)展，對(duì)問題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)不斷深化，不斷提高概括能力，形成一個(gè)系統(tǒng)性強(qiáng)、著眼于相互關(guān)系的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

3. 反思解題結(jié)果，剖析錯(cuò)誤原因，深刻理解基本概念和基礎(chǔ)知識(shí).

你們在解數(shù)學(xué)題時(shí)，有時(shí)會(huì)因?yàn)閷忣}不明、概念不清、忽視條件、套用相近知識(shí)、考慮不周或計(jì)算出錯(cuò)等原因，產(chǎn)生這樣或那樣的錯(cuò)誤.所以解題后，必須對(duì)解題過程進(jìn)行回顧和評(píng)價(jià)，對(duì)結(jié)論的正確性和合理性進(jìn)行驗(yàn)證.

4. 反思解題策略，總結(jié)解題規(guī)律，掌握數(shù)學(xué)基本思想方法.

通過解題反思、總結(jié)解題規(guī)律，不僅能比較容易地抓住問題的本質(zhì)，將問題由個(gè)別推向一般，使問題不斷深化，還能訓(xùn)練和培養(yǎng)歸納思維能力，使思維的抽象程度不斷提高，提高解題能力.這就超出了題目本身的意義，遠(yuǎn)比單純地解幾道題意義重大.

5. 反思題目立意，注重拓展推廣，培養(yǎng)自主意識(shí)和創(chuàng)新精神.

當(dāng)一道數(shù)學(xué)題解完以后，如果進(jìn)一步深入分析題目條件和內(nèi)涵，探求什么性質(zhì)不變，掌握其本質(zhì)，我們就可以將已知的具體題目進(jìn)行推廣. 善于進(jìn)行推廣所獲得的就不是一道題的解法，而是一組題、一類題的解法. 這有利于培養(yǎng)學(xué)生深入研究的習(xí)慣，激發(fā)他們的創(chuàng)造精神.

真可謂“千金難買回頭看”. 又如一位數(shù)學(xué)家所說：解題的過程猶如在一間黑屋子中找東西，而解題后的反思就是突然燈亮了，讓人感覺到豁然開朗.

我們不會(huì)停留在講講解題后回顧與反思的重要性與基本方法，而應(yīng)在今后的教學(xué)過程中，結(jié)合具體的解題指導(dǎo)讓學(xué)生進(jìn)行解題后的回顧與反思.

的重要法寶

例3 心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，學(xué)生的注意力隨著教師講課時(shí)間的變化而變化，講課開始時(shí)，學(xué)生的注意力逐步增強(qiáng)，中間有一段時(shí)間學(xué)生的注意力保持較為理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散.經(jīng)過實(shí)驗(yàn)分析可知，學(xué)生的注意力y隨時(shí)間t（分鐘）的變化規(guī)律有關(guān)系式：y= -t2+24t+100（0

（1）講課開始后第5分鐘時(shí)與講課開始后第25分鐘時(shí)相比，何時(shí)學(xué)生的注意力更集中？

（2）講課開始后多少分鐘，學(xué)生的注意力最集中？能持續(xù)多少分鐘？

（3）一道數(shù)學(xué)難題，需要講解24分鐘，為了效果較好，要求學(xué)生的注意力最低達(dá)到180，那么經(jīng)過適當(dāng)安排，教師能否在學(xué)生注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題？

解答 （1）當(dāng)t=5時(shí)，y=195；當(dāng)t=25時(shí)，y=205. 所以講課開始后第25分鐘時(shí)學(xué)生的注意力比講課開始后第5分鐘時(shí)更集中.

（2）當(dāng)0

（3）當(dāng)0

教學(xué)啟示 對(duì)于每位學(xué)生來說，在學(xué)校中的大部分時(shí)間都是在課堂中度過，提高課堂學(xué)習(xí)的效率與效益，是每位學(xué)生必須重視的問題.本例告訴學(xué)生，在一堂課中，如何提高課堂的學(xué)習(xí)效率與效益有一定的科學(xué)依據(jù). 我們教師也應(yīng)在今后的教學(xué)活動(dòng)中提示學(xué)生注意提高課堂效率，也請(qǐng)學(xué)生在自己的學(xué)習(xí)活動(dòng)中注重歸納總結(jié)，力爭使自己的課堂學(xué)習(xí)效率達(dá)到最佳狀態(tài).

從上述例題中，我們可以告訴學(xué)生，數(shù)學(xué)的應(yīng)用是如此的廣泛，就連我們的學(xué)習(xí)方法與策略都可以用函數(shù)來進(jìn)行表示，心理學(xué)的研究成果也通過數(shù)學(xué)來表達(dá)與刻畫，使問題變得簡單、明了. 且在學(xué)習(xí)中，不能死學(xué)習(xí)，要關(guān)注學(xué)習(xí)方法，提高學(xué)習(xí)效率，提高學(xué)習(xí)效益.