打開思維異度空間培養(yǎng)創(chuàng)新解題能力

[摘 要] 數(shù)學(xué)的解題過程是一種獨(dú)特的思維過程，本文通過對初中生數(shù)學(xué)解題過程中思維品質(zhì)及思維過程的探討，提出一些初中生數(shù)學(xué)解題過程中思維突破的策略. 并認(rèn)為教師要以引導(dǎo)學(xué)生“學(xué)習(xí)解”作為出發(fā)點(diǎn)，注重解題的思維過程

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題教學(xué)，傳統(tǒng)的做法只是再現(xiàn)書本上的知識(shí)，學(xué)生只能模仿例題或教師講授的習(xí)題去對套路，而缺乏對重組改造和解題后的反思、總結(jié)，其結(jié)果造成學(xué)生思維凝滯，解題思路狹窄，概括性思維、聯(lián)想性思維及創(chuàng)新性思維能力差. 因此，教師要深入實(shí)際，研究例題與習(xí)題的活解法、規(guī)律與引申. 在講解時(shí)，教師要不斷地創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情境，充分發(fā)揮例題和習(xí)題的潛在功能，激發(fā)學(xué)生積極思考，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維能力和勇于探究、合作交流的意識(shí)，使學(xué)生在解題中學(xué)會(huì)思考，體會(huì)數(shù)學(xué)思想和方法，使學(xué)生真正學(xué)會(huì)解題、愛上解題、創(chuàng)新解題，潛移默化地提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生的智力，開拓學(xué)生的創(chuàng)新精神.

初中生數(shù)學(xué)解題過程中思維品

質(zhì)的缺陷

初中階段學(xué)生的思維形式處在從形象思維向抽象思維過渡的階段，思維的獨(dú)立性、批判性及自覺性已有了顯著提高，然而在思維的深刻性、靈活性、廣闊性等思維品質(zhì)方面仍顯不足，考慮問題時(shí)缺乏清醒的認(rèn)識(shí)和深度、廣度的考量，導(dǎo)致解題時(shí)找不到對應(yīng)的解決方法.

1. 思維的廣度不夠，出現(xiàn)離散與疏漏

數(shù)學(xué)知識(shí)體系的綜合性特點(diǎn)要求學(xué)生的思維品質(zhì)要有一定的廣度，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能用全面的、綜合的觀點(diǎn)看待問題.

但是不少學(xué)生的思維品質(zhì)在這一方面卻表現(xiàn)出很大的局限性，他們解題時(shí)，思維常常出現(xiàn)離散與疏漏，孤立地分析問題，只重視內(nèi)涵，忽視外延，不能保證思維通道的暢通，影響了數(shù)學(xué)問題的解nF1ylQI7sJfBYLxyVVmba25DgZXoSKmL47J/FUpSCcI=決.

2. 思維的深度不夠，流于膚淺和短視

要認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)特征，揭示事物的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律性，就必須對認(rèn)識(shí)對象進(jìn)行深入的比較、分析，這就要求學(xué)生的思維要有相當(dāng)?shù)纳疃? 學(xué)生思維不夠深刻主要表現(xiàn)在不善于洞察數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)聯(lián)系，不能捕捉矛盾的特殊性，不能從已知材料中揭示隱性的條件、發(fā)現(xiàn)最有價(jià)值的因素.

3. 思維缺乏靈活性，導(dǎo)致呆板與教條

知識(shí)的掌握重在運(yùn)用，思維的靈活性越強(qiáng)，就越容易實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移. 而不少學(xué)生在數(shù)學(xué)解題時(shí)思維僵化、不跳躍，表現(xiàn)出線性思維狀態(tài)，不善于運(yùn)用聯(lián)想、歸納、推理等方法把知識(shí)聯(lián)系起來建立新的序化知識(shí)，解題時(shí)無法找到思維的切入點(diǎn).

初中生數(shù)學(xué)解題過程中思維過

程的剖析

要克服初中生數(shù)學(xué)解題過程中思維品質(zhì)的缺陷，順利地達(dá)到解題的目的，我們有必要弄清學(xué)生數(shù)學(xué)解題的思維過程，從而探尋、開拓學(xué)生解題思維的方式、方法，幫助他們打開一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)“死結(jié)”，引領(lǐng)學(xué)生通過數(shù)學(xué)解題，培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)、思維習(xí)慣和思維能力，啟發(fā)靈感，激勵(lì)創(chuàng)造性思維.

數(shù)學(xué)的解題過程是一種獨(dú)特的思維過程，應(yīng)是一個(gè)把知識(shí)與問題聯(lián)系起來思考、分析、探索的過程，一般需要經(jīng)過以下三個(gè)步驟：（1）識(shí)別和理解問題過程，即通過審題提取解題信息；（2）生成解題路徑過程，包括思維定向（課題類化）和背景知識(shí)再現(xiàn)；（3）評價(jià)解題過程和得出結(jié)論過程. 然而由于教師解題教學(xué)的疏漏和學(xué)生自身存在的非科學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)和思維模式，導(dǎo)致不少學(xué)生解題時(shí)信息提取失真、思維定向失誤、知識(shí)再現(xiàn)失靈、解題評價(jià)失當(dāng)，所以在一系列解決問題的過程中，學(xué)生的思維過程又將會(huì)表現(xiàn)出以下幾個(gè)特點(diǎn)：（1）依賴性，即不能獨(dú)立、積極地去思考，不能挖掘習(xí)題給予的信息，而是期望題外的提示；（2）遲緩性，即思維遲緩，對信息加工的能力差，速度慢；（3）固執(zhí)性，即習(xí)慣于某種特定的思維模式，不能從多種角度來看待同一個(gè)問題；（4）膚淺性，即思維較膚淺，看問題往往以偏概全，易被表象迷惑；（5）煩瑣性，即不能對解題的思維過程進(jìn)行簡化和壓縮.

破的策略

針對初中生數(shù)學(xué)解題過程中思維品質(zhì)和思維過程的缺陷，教師在解題教學(xué)中要善于引導(dǎo)學(xué)生克服思維外顯過程中的膚淺與短視，讓他們更好地打開思維的異度空間，不斷完善數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的形成，在多種解題思路的交流過程中實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新思維的碰撞和解題思路的優(yōu)化、提升.

1. 引導(dǎo)學(xué)生一題多思、聯(lián)想歸納，培養(yǎng)思維的深刻性

在解題教學(xué)中，解決某一已知條件下的某習(xí)題后，可引導(dǎo)學(xué)生對在解題過程中會(huì)出現(xiàn)多種不同的思路進(jìn)行聯(lián)想、歸納、創(chuàng)新，提煉思想方法，探究出對這一已知條件的常用思維途徑，使學(xué)生在問題解決的過程中形成對概念、原理的深刻理解，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，有效地提高解題教學(xué)效果.

學(xué)生討論后，我把此題改為以下問題的形式讓學(xué)生逐步思考完成.

已知：如圖1，在Rt△ABC中，CD⊥AB.

（1）求證：①∠1=∠B，∠2=∠A；②△ABC∽△ACD∽△CBD.

（2）求證：①CD2=AD·BD；②AC2=AD·AB；③BC2=BD·AB.

（3）若AC=3，BC=4，求：①Rt△ABC的面積；②AB，CD，AD之長.

待問題解決之后，我又引導(dǎo)學(xué)生作出以下思考：（1）聯(lián)想同角的余角相等；（2）聯(lián)想勾股定理；（3）聯(lián)想三角形的面積；（4）聯(lián)想三角形相似判斷定理. 這樣，通過一題多思、聯(lián)想歸納，學(xué)生從一、二種模仿式思路，逐漸形成多角度思考問題的習(xí)慣，從而形成對概念、原理的深刻理解，提高解題能力.

2. 鼓勵(lì)學(xué)生一題多解、融會(huì)貫通，培養(yǎng)思維的靈活性

美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞強(qiáng)調(diào)指出：掌握數(shù)學(xué)意味著什么呢？這就是說善于解題，不僅善于解一些標(biāo)準(zhǔn)題，而且善于解一些要求獨(dú)立思考、思路合理、見解獨(dú)到和有發(fā)明創(chuàng)造的題. 因此，教學(xué)中教師要善于打開學(xué)生思維的窗扉，溝通知識(shí)縱橫聯(lián)系，整合知識(shí)結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生融匯多種數(shù)學(xué)思想或方法，拓展解題的面，探尋更靈活多變的方法，發(fā)展學(xué)生思維的靈活性，不斷提高解題能力.

由于圖形的約束，學(xué)生往往用弦切角定理及三角形外角定理來證明，即∠TBC=∠TAB+∠ATB=∠BTC+∠ATB=∠ATC. 但仔細(xì)觀察圖形并聯(lián)想到相關(guān)圖形的性質(zhì)，那么就能得到一些獨(dú)特的證法：

（1）在CT延長線上取一點(diǎn)E，因?yàn)镃T是切線，所以∠ETA=∠ABT. 又因?yàn)椤螮TA與∠ATC互補(bǔ)，∠TBC與∠ABT互補(bǔ)，所以∠ATC=∠TBC（等角的補(bǔ)角相等）.

（2）在弧AT上取一點(diǎn)D，連結(jié)AD，TD，因?yàn)镃T是切線，所以∠ATC=∠D. 又因?yàn)樗倪呅蜛BTD內(nèi)接于圓O，所以∠TBC=∠D. 所以∠ATC=∠TBC.

（3）由弦切角定理得∠CTB=∠TAB，又∠C是公共角，所以△ACT∽△TCB. 故∠ATC=∠TBC.

這樣有目的地引導(dǎo)學(xué)生一題多解，不僅可以進(jìn)行思路分析和解題規(guī)律的探求，更深刻地把握數(shù)學(xué)的一些基本關(guān)系和內(nèi)在聯(lián)系，而且能達(dá)到深化知識(shí)、啟迪思維、發(fā)展學(xué)生思維靈活性的目的，不斷提高學(xué)生的解題能力.

3. 啟迪學(xué)生一題多度、深度拓展，培養(yǎng)思維的廣闊性

思維的廣闊性是指思維發(fā)揮作用的廣闊程度. 在解題教學(xué)實(shí)踐中，引導(dǎo)學(xué)生多角度去思考和適度拓展，對數(shù)學(xué)問題蘊(yùn)涵的知識(shí)和方法進(jìn)行重新分析，縱向深入地探究，透過表面形式去追溯本源，看到本質(zhì)，在弄清其內(nèi)涵與外延的過程中，探究新解，達(dá)到鍛煉、開拓學(xué)生思維廣闊性的目的.

例3？搖 已知：在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，2），B（2，-3），C是y軸上的一動(dòng)點(diǎn)， 若△ABC是直角三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

在學(xué)生利用勾股定理和等面積法求解后，我對試題進(jìn)行了如下加工：

（1）在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，2），B（2，-3），C是y軸上的一動(dòng)點(diǎn)， 若△ABC是直角三角形，是否存在點(diǎn)C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，2），B（2，-3 ）和 D（0，1），直線y=kx +b經(jīng)過點(diǎn)D，C是直線y=kx+b上一點(diǎn)，若以A，B，C為頂點(diǎn)的直角三角形有且只有三個(gè)，求直線y=kx+b的解析式.

通過這樣的訓(xùn)練，學(xué)生對這類問題的本質(zhì)有了更全面、更深刻的認(rèn)識(shí)和理解，掌握得也更加準(zhǔn)確，從而能形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)中知識(shí)的系統(tǒng)性，能開拓思維，使他們的解題能力得到質(zhì)的提升.

波利亞在《怎樣解題》一書中指出：“解題的價(jià)值不是答案的本身，而在于弄清是怎樣想到這個(gè)解法的？是什么促使你這樣想，這樣做的？”因此，在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師要以引導(dǎo)學(xué)生“學(xué)習(xí)解”作為出發(fā)點(diǎn)，注重解題的思維過程，善于打開學(xué)生思維的異度空間，讓學(xué)生在不斷感悟中開闊和發(fā)展思維，培養(yǎng)思維的深刻性、靈活性和廣闊性，進(jìn)而培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性，發(fā)展創(chuàng)新解題能力，讓每一位學(xué)生都能感受到數(shù)學(xué)文化中的理性精神，激發(fā)學(xué)生探求真理的熱情和信心.