重視數(shù)學實驗的解題功能

[摘 要] 本文介紹了數(shù)學實驗的四個解題功能：用數(shù)學實驗解決一般與特殊的關系，用數(shù)學實驗解決精確與毛估的關系，用數(shù)學實驗探究解題思路，用數(shù)學實驗畫圖解決問題.

[關鍵詞] 數(shù)學實驗；毛估；猜想

談到做實驗，容易聯(lián)想到物理實驗、化學實驗、生物實驗等；談到學數(shù)學，自然會聯(lián)想到做數(shù)學題. 題海戰(zhàn)術幾乎成為數(shù)學學科的代名詞，難道做數(shù)學也可以做實驗？

我們不妨先看一道中考題：

例1 （2011江蘇泰州）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，邊長為a（a為大于0的常數(shù)）的正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點P，頂點A在x軸正半軸上運動，頂點B在y軸正半軸上運動（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點O），頂點C，D都在第一象限.

（1）當∠BAO=45°時，求點P的坐標.

（2）求證：無論點A在x軸正半軸上、點B在y軸正半軸上怎樣運動，點P都在∠AOB的平分線上.

（3）設點P到x軸的距離為h，試確定h的取值范圍，并說明理由.

（1）（2）小題比較簡單，略去

如上即是用數(shù)學實驗的方法解決了這道題. 實際上，畫個草圖，通過觀察法就能確定線段的取值范圍. 該方法形象直觀，是解決動態(tài)問題的好方法.

《數(shù)學課程標準》指出：“學生的數(shù)學學習內(nèi)容應當是現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學活動.”

數(shù)學實驗是為了探索數(shù)學知識、檢驗數(shù)學結(jié)論（或假設）而進行的某種操作或思維活動，可以使學生逐步學會數(shù)學思維的物質(zhì)實踐方法，掌握數(shù)學研究的規(guī)律，培養(yǎng)理性思考問題的習慣，能夠解決學科的和實際生活的問題，并檢驗和論證問題的結(jié)果. 這是新課標所倡導的數(shù)學素養(yǎng)和數(shù)學的人文價值所在！因此，應當重視數(shù)學實驗的解題功能.

1. 用數(shù)學實驗解決一般與特殊的關系

有的人片面地認為數(shù)學抽象、枯燥無味. 其實，正是數(shù)學的抽象才帶來其應用的廣泛性.數(shù)學主要研究一般規(guī)律，我們不可用特殊來代替一般. 另一方面，特例或舉例卻是我們常用的探索方法，用特例可以推翻一個結(jié)論，用舉例也能解題.

例2 （2007山東德州）如圖7，在菱形ABCD中，∠B=60°，點E，F(xiàn)分別從點B，D出發(fā)以同樣的速度沿邊BC，DC向點C運動.給出以下四個結(jié)論：①AE=AF；②∠CEF=∠CFE；③當點E，F(xiàn)分別為邊BC，DC的中點時，△AEF是等邊三角形；④當點E，F(xiàn)分別為邊BC，DC的中點時，△AEF的面積最大. 上述結(jié)論中正確的序號有________.

分析？搖 ①②③易證是正確的.我們通過實驗的方法來解決問題④. 通過實驗的方法，發(fā)現(xiàn)當E，F(xiàn)兩點沒有運動時，△AEF的面積為菱形面積的一半，當E，F(xiàn)分別為邊BC，DC的中點時，△AEF的面積應是菱形面積的一半減去△CEF的面積，所以，在E，F(xiàn)兩點運動到中點的過程中，△AEF的面積逐漸減小，故結(jié)論④錯誤. 這時還應通過建立函數(shù)關系式的方法來證明這個結(jié)論是錯誤的.

學生在解決動點問題時，經(jīng)常會因找不到突破口而困惑，此時可以引導學生通過做數(shù)學實驗獲得解題途徑. 本題通過數(shù)學實驗，不僅簡潔解決了問題，重要的是引導學生進行觀察、分析、猜想、推證等一系列思維活動，不斷地探索，主動建構(gòu)了新知，體現(xiàn)了新課程標準強調(diào)學生對新知識的探求和創(chuàng)新的理念. 重要的是“觀察—猜想—驗證—證明”，這正是數(shù)學家思維活動的濃縮.因此，在數(shù)學教學中應重視非邏輯證明的教學；適當降低和減少邏輯演繹在數(shù)學教學中的地位與時間，加強實驗、猜測、類比、歸納等合情推理在數(shù)學教學中的地位與作用.

2. 用數(shù)學實驗解決精確與毛估的關系

毛估是一種快速的近似估算，它的基本特點是對數(shù)值作擴大或縮小，從而對運算結(jié)果確定出一個范圍或作出一個估計，更本質(zhì)地看毛估，它應該是一種數(shù)學實驗，是直覺基礎上的一種數(shù)學意識. 數(shù)學要求精確，但毛估有時還真能解決問題.

毛估這種數(shù)學實驗通過具體性、經(jīng)驗性的實驗操作活動，能不斷地豐富學生的思維表象，促進學生思維由形象直觀到抽象論證的轉(zhuǎn)化，即促進學生合情推理和演繹推理的和諧發(fā)展，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維和實踐能力.

3. 用數(shù)學實驗探究解題思路？搖？搖？搖？搖

學生在解決運動問題時，可以引導學生通過幾何畫板做數(shù)學實驗獲得解題途徑.

例5？搖 如圖8，一個長為10米的梯子沿著墻壁滑動，梯子中點經(jīng)過的路徑有多長？

對于此題，學生的難點在于判斷中點的軌跡是什么圖形. 可通過多畫幾個位置，描出中點找到規(guī)律. 但利用幾何畫板構(gòu)造圖形，用跟蹤點的研究就更直觀. 通過實驗，學生可以得到其軌跡是以點C為圓心，梯子的一半長為半徑的圓，根據(jù)弧長公式，可以得出，梯子中點經(jīng)過的路徑是2.5π.

當然，在畫板操作后，還應該問學生為什么，達到通過數(shù)學實驗促進學生抽象思維發(fā)展的目的. 因為直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即這些點到點C的距離為AB的一半，所以梯子中點經(jīng)過的路徑是半徑為5米的四分之一圓.

數(shù)學實驗一般具有可操作性和實踐性，注重實測與直觀，讓數(shù)學在“實驗”的過程中對所研究的內(nèi)容“可視化”，讓學生從中獲得對“數(shù)”“形”的觀念，并逐步對其適度抽象，進行更高層次上的“再實驗”，進而體會數(shù)學的研究方法和構(gòu)成體系，使學生在活動中認識并改造自己的數(shù)學知識結(jié)構(gòu).

4. 用數(shù)學實驗畫圖解決問題

圖，是獨特的數(shù)學工具. 我們常見“看圖識字”“看圖學……”，英文版“數(shù)學雜志”就常有“無字證明”（Proof without Words）這一精彩欄目. 法國數(shù)學家彭加勒說過：“邏輯可以告訴我們走這條路或那條路保證不遇見障礙，但是它不能告訴我們哪條路能引導我們到達目的地.為此必須從遠處瞭望目標，瞭望目標的本領是直覺，沒有直覺，數(shù)學家便會像這樣一個作家：他只是按語法寫詩，但是毫無思想.”

例6 （美國中學數(shù)學競賽）方程x-2x+1？搖=3的不同的解的個數(shù)是（ ）

A. 可以是直線外某一點

B. 只能是B點或C點？搖？搖

C. 只能是線段AD的中點

D. 有無窮多個？搖？搖？搖

分析？搖 用計算的方法可解，但比較麻煩，如圖11，我們做如下實驗. 首先點不會在直線AD外，由于對稱性，只需考慮三種情況：點在A的左邊；點在A，B兩點之間；點在B，C兩點之間（含端點）. 哪種情況下，四條有箭頭的線段長的和最小呢？答案是D.

《基礎教育課程改革指導綱要》把“以學生發(fā)展為本”作為新課程的基本理念，提出“改變過于強調(diào)接受學習、死記硬背、機械訓練的現(xiàn)狀，倡導學生主動參與、樂于研究、勤于動手”. 通過畫圖，學生動手、動腦、猜測、驗證，把自己置身于感性、動態(tài)的學習環(huán)境中，學生在動手實驗、自主探究的過程中，體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程、體驗數(shù)學的研究精神，獲得愉悅的數(shù)學學習體驗，當然，畫圖這種數(shù)學實驗，不在乎“實驗”是否完全符合一般科學實驗形式的標準，重要的是兩者之間內(nèi)在本質(zhì)的相通. 創(chuàng)新思維來自于創(chuàng)新意識，創(chuàng)新意識來源于創(chuàng)新的實踐，實踐的創(chuàng)新需要實踐空間的拓展. 畫圖這種數(shù)學實驗正是數(shù)學實踐空間拓展的一種重要形式.

隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，計算機進入課堂，教學手段呈現(xiàn)出多樣化、現(xiàn)代化、多媒體化，數(shù)學實驗解題的功能也更加豐富起來，教育者也越來越認識到數(shù)學實驗解題的重要性，因此，數(shù)學已經(jīng)成為一門更具探索性、動態(tài)性的實驗學科，而中學數(shù)學實驗的解題功能也將更全面地體現(xiàn)出來.