試論中小學(xué)算術(shù)與代數(shù)教學(xué)的聯(lián)接

[摘 要] 本文通過分析七個(gè)學(xué)生對(duì)兩道減法算式的解決方法，探討了從算術(shù)教學(xué)過渡到代數(shù)思維發(fā)展的可能性，指出在小學(xué)階段算術(shù)教學(xué)中發(fā)展早期代數(shù)思維的重要性.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)與代數(shù)；早期代數(shù)思維；算術(shù)教學(xué)

“數(shù)與代數(shù)”教學(xué)的研究一直是數(shù)學(xué)教育中的熱點(diǎn). 2001年12月，在澳大利亞墨爾本大學(xué)召開了第12屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)大會(huì)（ICMI-12），作為本世紀(jì)的第一次國(guó)際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)大會(huì)，其主題為“代數(shù)教與學(xué)的未來”，特別關(guān)注中小學(xué)的代數(shù)教學(xué). 然而，代數(shù)一直是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)最難的內(nèi)容，美國(guó)有研究者指出，代數(shù)已經(jīng)成為學(xué)校數(shù)學(xué)最重要的“守門員”. 也就是說，如果一個(gè)學(xué)生不能學(xué)好代數(shù)，那么必然不能在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)良好，得到很好的發(fā)展. 正是由于代數(shù)的這種特殊角色，以及大量學(xué)生對(duì)代數(shù)學(xué)習(xí)沒有足夠的準(zhǔn)備與理解，代數(shù)課程與教學(xué)正越來越成為全世界政策制定者以及數(shù)學(xué)教育研究者關(guān)注的焦點(diǎn).

我國(guó)在新世紀(jì)以來的數(shù)學(xué)課程改革中，首次將數(shù)與代數(shù)的學(xué)習(xí)放在一起作為同一個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域，并給出了強(qiáng)烈的信息，即需要將算術(shù)（數(shù)）與代數(shù)的學(xué)習(xí)更好地銜接起來. 然而，在現(xiàn)實(shí)的教學(xué)之中，算術(shù)與代數(shù)的教學(xué)卻有獨(dú)立甚至割裂的現(xiàn)象，這種教學(xué)可能導(dǎo)致學(xué)生在進(jìn)入初中之后不能很好地理解代數(shù)的學(xué)習(xí). 本文通過某學(xué)校七年級(jí)學(xué)生解決兩道特殊的減法算式：41-15=43-（ ），104-45=（ ）-46的情況，來討論算術(shù)與代數(shù)教學(xué)的銜接，以及促進(jìn)學(xué)生早期代數(shù)思維發(fā)展的重要性.

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中算術(shù)與代數(shù)的

割裂

事實(shí)上，學(xué)生在代數(shù)學(xué)習(xí)上的困難更多是由于學(xué)校數(shù)學(xué)課程中的代數(shù)內(nèi)容與學(xué)生之前所學(xué)內(nèi)容的割裂造成的. 傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程都將算術(shù)與代數(shù)的學(xué)習(xí)分離開來，認(rèn)為算術(shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，而代數(shù)則主要在初中與高中學(xué)習(xí).

算術(shù)和代數(shù)這兩個(gè)領(lǐng)域在學(xué)校數(shù)學(xué)教育中的割裂有著多種因素. 首先是由算術(shù)和代數(shù)不同的特征造成的，這也就決定了算術(shù)和代數(shù)在學(xué)校教育中扮演的角色和所起的作用有所不同. 算術(shù)（計(jì)算）一直被視為小學(xué)階段數(shù)學(xué)教育必不可少的一個(gè)有機(jī)構(gòu)成，而代數(shù)則被看做是適合學(xué)生進(jìn)入中學(xué)以后學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，甚至代數(shù)還被看做僅僅是那些具有抽象思維能力的學(xué)生才能學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容. 因此，在中國(guó)，20世紀(jì)60年代以前，小學(xué)數(shù)學(xué)這一門學(xué)科一直稱為“算術(shù)”，與之對(duì)應(yīng)的一直都有算術(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)或教學(xué)大綱，這種割裂算術(shù)與代數(shù)聯(lián)系的教學(xué)可能導(dǎo)致學(xué)生以算術(shù)的思維方式來處理等式左右之間的關(guān)系，這種思維方式直到初中還會(huì)存在.

如圖1所示，學(xué)生a和學(xué)生b在表述上存在差異，但思考方式是一致的，我們可以稱為類型Ⅰ解法. 他們?cè)诮鉀Q第一個(gè)問題時(shí)，先準(zhǔn)確算出了41-15的差，然后再利用得到的結(jié)果算出了右邊方框中的數(shù)字；第二題相同，先算出104-45=59，再利用59+46得到105. 計(jì)算過程可以從他們的文字解釋看出，其中學(xué)生a對(duì)兩道題目給出的解釋分別是“因?yàn)?1-15=26，所以用43-26=17，使等式成立”以及“因?yàn)?04-45=59，所以要使等式成立，用46+59 =105”. 學(xué)生b給出的解釋分別是“先把左邊算式求出來，再用右邊的數(shù)字減去它們的差，就等于空格里的數(shù)字”和“先把左邊算式求出來，再用右邊的數(shù)字加上左邊的差，就等于空格里的數(shù)字”.

可以看出，a學(xué)生和b學(xué)生都準(zhǔn)確地計(jì)算出了結(jié)果，而且能夠清晰地表達(dá)自己的解題過程與思路. 多數(shù)小學(xué)教師看到他們的計(jì)算結(jié)果與解題過程，會(huì)表示滿意，認(rèn)為完全達(dá)到了教學(xué)目標(biāo). 但事實(shí)上，在類似上述未完成的算術(shù)題中，本身還保留著代數(shù)的意味，也即其中蘊(yùn)涵了代數(shù)的思維方式. 此外，由于只關(guān)注計(jì)算結(jié)果正確與否，在小學(xué)階段就養(yǎng)成的解決問題的習(xí)慣，遇到有計(jì)算就先求出結(jié)果，使得很多學(xué)生失去了尋找、發(fā)現(xiàn)等式兩邊數(shù)字之間關(guān)系的機(jī)會(huì). 這些算術(shù)中潛在的代數(shù)特性與代數(shù)思維，在教師無視思維培養(yǎng)的教學(xué)下，被只關(guān)注算術(shù)中的結(jié)果與計(jì)算程序所忽視了.

聯(lián)接算術(shù)與代數(shù)學(xué)習(xí)

如上所述，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中的算術(shù)與代數(shù)學(xué)習(xí)之間存在著某種割裂，那這種是否具有現(xiàn)實(shí)合理性呢？答案顯然是否定的. 有研究者指出：“算術(shù)和代數(shù)之間的人為割裂不僅剝奪了學(xué)生在小學(xué)低年級(jí)思考數(shù)學(xué)的有效圖式，而且這還給他們?cè)诤罄m(xù)學(xué)習(xí)代數(shù)時(shí)造成了更大的困難. ”他們的研究繼而表明，小學(xué)生能夠參與到代數(shù)推理中，而且學(xué)習(xí)代數(shù)中的這些重要概念與實(shí)踐，并不是只有少數(shù)在數(shù)學(xué)上天賦出眾的學(xué)生才能完成. 比如，下面幾位學(xué)生的解答就表明雖然剛剛結(jié)束小學(xué)階段的學(xué)習(xí)，但他們已經(jīng)具備了對(duì)等式的關(guān)系以及代數(shù)結(jié)構(gòu)的理解.

如圖2所示，學(xué)生c，d，e的解法與學(xué)生a和學(xué)生b不同，可稱之為類型Ⅱ解法. 他們沒有采用先得出左邊結(jié)果再利用計(jì)算得到空格中數(shù)字的方法，而是發(fā)現(xiàn)在第一個(gè)算式中，右邊的43比左邊的41大2，因此要保持兩邊相等，方框里的數(shù)字應(yīng)該比15大2；第二題類似. 學(xué)生c給出的解釋分別是“因?yàn)?1比43小2，為了使等式左右相等，所以應(yīng)填15+2”以及“因?yàn)闇p數(shù)46比45多1，為了使等式左右相等，所以應(yīng)填104+1=105”. 學(xué)生d給出的解釋分別是“43比41大2，則空格處一定比15大2”與“45比46小1，空格處一定比104大1”. 學(xué)生e沒有文字解釋，但是用箭頭將算式兩邊有關(guān)系的數(shù)字（如41與43，45與46）聯(lián)結(jié)起來，同時(shí)將15（104）與方框連起來，并在箭頭上方（或下方）寫上“+2（+1）”，于是得到方框中應(yīng)該填17（105）. 相比類型Ⅰ的解法，類型Ⅱ解法顯然不同，最大的不同便是學(xué)生不再一看到算式就想著先算出一邊，而是能將算式看作一個(gè)整體，觀察數(shù)之間的關(guān)系，而且能準(zhǔn)確地理解減法算式中保持相等的性質(zhì)，這種對(duì)于等式的性質(zhì)以及關(guān)系與結(jié)構(gòu)的理解正是代數(shù)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵.

對(duì)于一些小學(xué)教師而言，可能認(rèn)為類型Ⅱ解法跟類型Ⅰ解法差別不大，最關(guān)鍵的是只要學(xué)生能準(zhǔn)確地計(jì)算出結(jié)果. 在課后跟教師交流的時(shí)候，其中一位教師談到：“對(duì)于學(xué)生a和學(xué)生b的解答可大力推廣，因?yàn)槎鄶?shù)學(xué)生都能掌握. 而對(duì)于學(xué)生c，d，e則表?yè)P(yáng)其思考問題的深度，但不必推廣，因?yàn)椴糠謱W(xué)生會(huì)混淆，以致出現(xiàn)錯(cuò)誤.”這可能也是多數(shù)教師的真實(shí)想法，盡管他們能識(shí)別出類型Ⅱ解法在思維上的深度，但首要追求的還是計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性.

這位教師所說的學(xué)生在運(yùn)用類型Ⅱ解法時(shí)可能導(dǎo)致的錯(cuò)誤的確在課堂上學(xué)生的求解中有所出現(xiàn)，如下面的兩個(gè)學(xué)生：

如圖3所示，學(xué)生f和學(xué)生g看出了算式左右兩邊的數(shù)字存在著某種關(guān)聯(lián)，試圖利用這種關(guān)聯(lián)來解決問題，但沒能正確地應(yīng)用這種關(guān)聯(lián)，導(dǎo)致了錯(cuò)誤，可稱之為類型Ⅲ解法. 學(xué)生f第一題給出了正確答案17，而且用算式給出了解釋“43-41= 2，2+15=17”，雖然沒有文字解釋，但可以看出該學(xué)生解決這道題時(shí)注意到了式子左右兩邊數(shù)字之間的關(guān)系. 但是在解決第二題時(shí)，該學(xué)生給出的算式為“46-45 = 1，104-1 = 103”，并在空格中填入了103. 學(xué)生g在解決第一題時(shí)，與學(xué)生f解決第二題的方法完全一樣，在空格中填了比15小2的13，而不是17；在第二題中，則直接在空格中填上了104-45的差59，根本沒有注意在這個(gè)式子空格后面還需要再減46. 這里需要注意到的是，學(xué)生f和學(xué)生g的錯(cuò)誤絕不是由于粗心或者計(jì)算的不夠熟練造成的，而是由于對(duì)等式的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)理解得不全面導(dǎo)致的，這類錯(cuò)誤具有典型性，對(duì)于理解學(xué)生思維上的困難很有幫助. 如該任教老師在課后就指出：“雖然這些學(xué)生的答案是錯(cuò)誤的，但他們?cè)跀?shù)學(xué)思維的發(fā)展上已經(jīng)在正確的軌道上，出現(xiàn)了一些觀察式子整體并思考式子左右關(guān)系的思維，但是他們的理解并不全面，需要在今后的教學(xué)中引導(dǎo)他們更加全面地理解式子的結(jié)構(gòu).”在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，有不少教師可能會(huì)為了避免學(xué)生出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤而阻止學(xué)生像這樣運(yùn)用等式的性質(zhì)來解決這類問題，他們會(huì)選擇要求甚至強(qiáng)制學(xué)生必須嚴(yán)格地按照從左邊到右邊一步一步計(jì)算以保證運(yùn)算的準(zhǔn)確率. 如果這樣，學(xué)生計(jì)算的準(zhǔn)確率可能可以得到保證，但卻剝奪了學(xué)生運(yùn)用并加深對(duì)算式中關(guān)系與結(jié)構(gòu)的理解的機(jī)會(huì)，而關(guān)系與結(jié)構(gòu)正是代數(shù)中的核心特征與關(guān)鍵，學(xué)生就此喪失了在學(xué)習(xí)計(jì)算時(shí)就理解代數(shù)思維的機(jī)會(huì)，這或許能部分解釋有些學(xué)生在小學(xué)階段的計(jì)算非常出色，但到中學(xué)遇到代數(shù)學(xué)習(xí)時(shí)卻出現(xiàn)非常大的困難.

對(duì)學(xué)校數(shù)與代數(shù)教學(xué)的啟示

以往傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)算術(shù)與代數(shù)的割裂帶有強(qiáng)烈的人為性，現(xiàn)在已經(jīng)有越來越FZ2mWOzfGc86IHP9h3xtE6YGK6/CljJo9yCGGSxBHDg=多的共識(shí)，因?yàn)檫@種對(duì)算術(shù)學(xué)習(xí)與代數(shù)學(xué)習(xí)的分離使得學(xué)生在以后學(xué)習(xí)代數(shù)更加困難，也剝奪了學(xué)生更好培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的機(jī)會(huì)，學(xué)生對(duì)算術(shù)的學(xué)習(xí)并沒有為今后代數(shù)的學(xué)習(xí)提供基礎(chǔ).

有研究者把學(xué)生在類型Ⅱ解法中對(duì)數(shù)字的這種運(yùn)用定義為“準(zhǔn)變量（表達(dá)式）”，并指出早期的兒童就能對(duì)數(shù)與運(yùn)算作出概括，還能嘗試驗(yàn)證這種概括. 這種認(rèn)識(shí)并解釋數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算的早期經(jīng)驗(yàn)?zāi)転榇鷶?shù)思維與數(shù)感的發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ). 也認(rèn)為準(zhǔn)變量表達(dá)式既動(dòng)搖了算術(shù)與代數(shù)之間的傳統(tǒng)割裂，又在算術(shù)思維與代數(shù)思維之間起到了橋梁作用，能夠幫助學(xué)生發(fā)展對(duì)以下這些重要思想的理解：算式的結(jié)構(gòu)；等式；根據(jù)具體的運(yùn)算運(yùn)用等式進(jìn)行抵消；數(shù)的變換以及概括化. 上述五個(gè)關(guān)鍵思想對(duì)于更有效地銜接數(shù)與代數(shù)的學(xué)習(xí)至關(guān)重要.

如今，在很多國(guó)家（如美國(guó)、澳大利亞、中國(guó)）的數(shù)學(xué)課程中都強(qiáng)調(diào)了對(duì)上述思想的重視，都將數(shù)與運(yùn)算的學(xué)習(xí)看做是早期的代數(shù)學(xué)習(xí)，而不僅僅強(qiáng)調(diào)計(jì)算. 在小學(xué)階段就加入了對(duì)代數(shù)學(xué)習(xí)的要求，這種代數(shù)學(xué)習(xí)更多地體現(xiàn)在對(duì)數(shù)與算式的關(guān)系與結(jié)構(gòu)的理解，且都強(qiáng)調(diào)了學(xué)生對(duì)于等式、結(jié)構(gòu)、概括化等關(guān)鍵思想的發(fā)展，也就是發(fā)展學(xué)生的早期代數(shù)思維. 學(xué)校數(shù)學(xué)課程的這種變化體現(xiàn)了加強(qiáng)算術(shù)與代數(shù)學(xué)習(xí)的可能性與必要性，在教學(xué)實(shí)踐中需要很好地實(shí)施.