知識延伸例談?wù)噙呅蔚钠矫骅偳兑?guī)律

[摘 要] 在近年的中考試題中，出現(xiàn)了和平面鑲嵌有關(guān)的問題，本文主要探究了一種正多邊形的鑲嵌問題以及兩種正多邊形組合的鑲嵌問題.

[關(guān)鍵詞] 正多邊形；鑲嵌

探索一種正多邊形的鑲嵌問題

能夠鑲嵌的條件之一是，拼接點(diǎn)處的幾個角的和為360°，用單一正多邊形進(jìn)行鑲嵌時，應(yīng)滿足360°是該正多邊形每一個內(nèi)角的整數(shù)倍，因此，正三角形、正四邊形、正六邊形均能鑲嵌平面.

例1 下列正多邊形中，不能鋪滿地面的是（ ）

A. 正三角形

B. 正四邊形

C. 正五邊形

D. 正六邊形

解析：正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形的每一個內(nèi)角分別是60°、90°、108°、120°，顯然，360°是60°、90°、120°的整數(shù)倍，不是108°的整數(shù)倍，所以正三角形、正四邊形、正六邊形能夠鋪滿地面，而正五邊形不能鋪滿地面，答案為C.

探索兩種正多邊形的鑲嵌問題

解答兩種正多邊形的鑲嵌問題，只要判斷是否存在正整數(shù)x和y，使其中一種正多邊形的每個內(nèi)角α的x倍與另一種正多邊形每個內(nèi)角β的y倍的和等于360°即可. 例如，用正三角形和正六邊形的組合進(jìn)行鑲嵌，設(shè)在一個頂點(diǎn)周圍有m個正三角形的角，有n個正六邊形的角，由于正三角形的每一個內(nèi)角是60°，正六邊形的每一個內(nèi)角是120°，所以有m·60°+n·120°=360°，即m+2n=6. 這個方程的正整數(shù)解是m=4，n=1或m=2，n=2.

？搖可見，用正三角形和正六邊形鑲嵌時，有兩種類型，一種是在一個頂點(diǎn)的周圍有4個正三角形和1個正六邊形，另一種是在一個頂點(diǎn)的周圍有2個正三角形和2個正六邊形.

因此，根據(jù)以上探索兩種正多邊形進(jìn)行平面鑲嵌時有以下六種情形：①1個正三角形，2個正十二邊形；②2個正三角形，2個正六邊形；③3個正三角形，2個正四邊形；④4個正三角形，1個正六邊形；⑤1個正四邊形，2個正八邊形；⑥2個正五邊形，1個正十邊形，圖略.

例2 小明家準(zhǔn)備選用兩種形狀的地板磚鋪地，現(xiàn)在家中已有正六邊形地板磚，下列形狀的地板磚能與正六邊形的地板磚共同使用的是（ ）

A. 正三角形

B. 正四邊形

C. 正五邊形

B. 正八邊形

解析：正六邊形、正三角形、正四邊形、正五邊形、正八邊形的每個內(nèi)角分別是120°、60°、90°、108°、135°，不難發(fā)現(xiàn)，360°=120°×2+60°×2；不存在正整數(shù)x，y，使360°=120°x+90°y或360°=120° x+108°y或360°=120°x+135°y成立，所以僅正三角形可與正六邊形共同使用，答案為A.

假如讀者感興趣，可繼續(xù)探究用三種正多邊形或三種以上的正多邊形進(jìn)行鑲嵌的問題.