談一道平面幾何試題的一題多變

[摘 要] 在教學(xué)中，要想提高學(xué)生的解題能力，除了抓好基礎(chǔ)知識、基本能力的學(xué)習(xí)與培養(yǎng)外，更重要的培養(yǎng)途徑就是解題實踐，就是遵循科學(xué)的解題順序，有目的、有計劃地引導(dǎo)學(xué)生親自參與解題實踐過程，學(xué)會解題，從中獲得能力.一題多變教學(xué)可謂效果良好的一種解題教學(xué)方法，本文將闡述如何通過對一道平面幾何試題進(jìn)行一題多變教學(xué)，讓學(xué)生受益匪淺.

[關(guān)鍵詞] 平面幾何；一題多變

在教學(xué)中，要想提高學(xué)生的解題能力，除了抓好基礎(chǔ)知識、基本能力的學(xué)習(xí)與培養(yǎng)外，更重要的培養(yǎng)途徑就是解題實踐，即遵循科學(xué)的解題順序，有目的、有計劃地引導(dǎo)學(xué)生親自參與解題實踐過程，學(xué)會解題，從中獲得能力. 解答完一個數(shù)學(xué)題時，教師有必要對該題的內(nèi)容、形式、條件、結(jié)論做進(jìn)一步探討，以真正讓學(xué)生掌握該題所反映的實質(zhì).

筆者在教授初中數(shù)學(xué)平面幾何時，曾遇到這樣一道題，在課堂教學(xué)中，筆者稍微將其變換，便得到了不同“包裝”的平面幾何試題. 通過一題多變，學(xué)生對這一類試題也有了較深刻的印象，課堂達(dá)到了前所未有的效果，筆者現(xiàn)將其整理出來，愿與讀者共享.

例題再現(xiàn)

例題 如圖1所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，求證：

（1）CD2=AD·BD，AC2=AD·AB，BC2=BD·AB；

（3）設(shè)AB的中點為M，求證：AC2-BC2=2DM·AB.

第一問解題思路較簡單，絕大多數(shù)學(xué)生都能夠做出來，第一問的結(jié)論也稱之為“射影定理”；對于第二問和第三問，相當(dāng)一部分學(xué)生沒有思路，在經(jīng)過筆者提示后，多數(shù)學(xué)生給出了如下答案：

（3）因為M為AB的中點，所以AM=MB，AD-DB=AM+DM-（MB-DM）=2DM，所以AC2-BC2=AD·AB-BD·AB=（AD-BD）·AB=2DM·AB.

至此，倘若筆者就此打住，此題也就喪失了原有的價值.容易發(fā)現(xiàn)，以此題為背景的各類試題經(jīng)常在各類考試中出現(xiàn)，學(xué)生對于解決以此題為“模板”的各類試題仍有不少困難.基于以上原因，筆者對此題進(jìn)行了一系列引申.

變式1？搖 如圖2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，求證：

證明：由已知條件，易得∠ACD=∠ABC，由CE平分∠BCD，得∠BCE=∠DCE.因為∠AEC=∠ABC+∠BCE，∠ACE=∠ACD+∠DCE，所以∠AEC=∠ACE.所以AE=AC.由射影定理，AC2=AD·AB，所以AE2=AD9b2c128debba24f93a427df45c0bab1600231d441e289587473ae110da47563e·AB.

變式5 如圖5所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，求證：CE∶EB=CD∶CB.

變式6 如圖6所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，交CD于F，F(xiàn)G∥AB交BC于點G，求證：CE=BG.

證明：過F作FH∥BC交AB于H，又FG∥AB，所以四邊形FGBH是平行四邊形，所以BG=FH，且∠B=∠FHA.由題設(shè)，可得∠ACD=∠ABC，又AE平分∠BAC交BC于E，所以∠CAF=∠HAF. 所以△AFC≌△AFH，所以CF=HF=BG.又∠CEF=∠B+∠BAE， ∠CFE=∠CAF+∠ACF=∠BAE+∠AHF=∠BAE+∠B，所以∠CEF=∠CFE，所以CE=CF. 故CE=BG.

變式7？搖 如圖7所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，交CD于F，F(xiàn)G∥BC交AB于點G，連結(jié)EG，求證：四邊形CEGF是菱形.

此題仍是在變式5的基礎(chǔ)上增加了一條平行線. 證明過程類似于變式6，在此不再重復(fù)，易得四邊形CEGF是菱形.

變式8 如圖8所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，延長CB到E，使EB=CB，連結(jié)AE，DE，求證：DE·AB= AE·BE.

證明：由射影定理，CB2=BD·AB，因為EB=CB，所以EB2=BD·AB，所以EB∶BD=AB∶BE. 又∠EBD=∠ABE，所以△EBD∽△ABE. 所以EB∶AB=DE∶AE. 所以DE·AB=AE·BE.

變式9？搖？搖 如圖9所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，延長CB到E，使EB=CB，連結(jié)AE交CD的延長線于F，如果此時AC=EC，求證：AF=2FE.

證明：此題在變式6的基礎(chǔ)上作了進(jìn)一步變換，過點E作EM⊥CF，M為垂足，如圖10所示，則AD∶DB=AC2∶CB2=4∶1. 又DB∶EM=1∶2，所以AD∶EM=2∶1，△ADF∽△EMF，所以AF∶EF=AD∶EM=2∶1，所以AF=2EF.

至此，筆者講解結(jié)束，就筆者所知，以該道例題為“母題”的試題變形不下五六十道，筆者雖在此只講解了九個變式，可在講解過程中，學(xué)生明白了“一題多變”的道理，在一定程度上學(xué)生有了“以不變應(yīng)萬變”的底氣，這也是筆者在講課之前希望達(dá)到的效果.