解題教學(xué)中教師應(yīng)做些什么

[摘 要] 解題教學(xué)我們要做些什么？南通市教科研中心袁亞良老師對(duì)這個(gè)問題給出了明確的解答，他認(rèn)為材料的組織要不斷錘煉，精益求精，學(xué)生的活動(dòng)要精心組織，精確調(diào)控.同時(shí)要注意解題教學(xué)思維的三個(gè)層次：策略性解決數(shù)學(xué)問題的思維層次，功能性解決數(shù)學(xué)問題的思維層次，以及特殊性解決數(shù)學(xué)問題的思維層次.

[關(guān)鍵詞] 解題教學(xué)；課前導(dǎo)入材料；思維層次

去年11月底，筆者應(yīng)邀去如皋港城實(shí)驗(yàn)學(xué)校參加關(guān)于“解題教學(xué)”的研討活動(dòng). 在這次教研活動(dòng)中， 共展示了四節(jié)公開課，其中兩節(jié)一次函數(shù)的應(yīng)用，兩節(jié)二次函數(shù)的復(fù)習(xí). 在評(píng)課的時(shí)候，南通教科研中心袁亞良老師作了關(guān)于“解題教學(xué)中教師應(yīng)做些什么”的精彩發(fā)言，筆者聽后感覺收獲很大，現(xiàn)將袁老師發(fā)言整理成文，與各位同行分享.

材料的組織要不斷錘煉，精益求精

1. 小小變動(dòng)，效果迥異——關(guān)于活動(dòng)材料的組織

一次函數(shù)應(yīng)用這節(jié)課，何老師和陳老師的課堂設(shè)計(jì)貌似相同，其實(shí)不然，兩人所選的材料雖然一樣，但材料出現(xiàn)的先后順序不同. 正是這一點(diǎn)點(diǎn)順序的不同，就可能造成教學(xué)效果的不同，我個(gè)人傾向于何老師組織材料的方式.

在平面直角坐標(biāo)系中畫出小明和小亮離家的路程和時(shí)間之間的關(guān)系圖象，相對(duì)來說比較簡(jiǎn)單，比較好畫. 第二個(gè)問題要求甲、乙兩人之間距離與時(shí)間的函數(shù)圖象，這個(gè)比較難，聽了陳老師這堂課以后，聽課老師明顯感覺這堂課里面學(xué)生的“夾生飯”比較多.

附：何老師的活動(dòng)1設(shè)計(jì)

活動(dòng)1：以數(shù)解形

1. 小明剛離開家門去學(xué)校時(shí)，發(fā)現(xiàn)小亮在他前面100米處，于是小明開始追趕小亮，在追上小亮后，因?yàn)樾∶饕s到學(xué)校值日，于是小明立即按原速度步行去學(xué)校，而沒有等小亮. 已知學(xué)校離小明家的路程為1200 m，小亮的速度為4 m/s，而小明的速度為6 m/s，你能在下列坐標(biāo)系中畫出小明和小亮離小明家的路程和時(shí)間的關(guān)系的大致圖象嗎？

2. 此時(shí)若設(shè)兩人從小明離開家至其中一人先到達(dá)學(xué)校的過程中，小明、小亮兩人之間的距離為y（m），時(shí)間為t（s），那么y與x之間的函數(shù)圖象是（ ）

陳老師的活動(dòng)1設(shè)計(jì)

活動(dòng)1：以數(shù)解形

1. 甲、乙兩人準(zhǔn)備在一段長為1200 m的筆直公路上進(jìn)行跑步，甲、乙跑步的速度分別是6 m/s和4 m/s，起跑前甲在起點(diǎn)，乙在甲前面100 m處，若同時(shí)起跑，則兩人從起跑至其中一人先到達(dá)終點(diǎn)的過程中，甲、乙兩人之間的距離y（m）與時(shí)間t（s）的函數(shù)圖象是（ ）

2. 變式：以上條件不變，你能在下面的坐標(biāo)系中畫出兩人同時(shí)起跑至甲、乙都達(dá)到終點(diǎn)的過程中，甲、乙分別離起點(diǎn)的距離y1，y2與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系的大致圖象嗎？

2. “小明”還是“劉翔”——關(guān)于活動(dòng)材料的選擇

陳老師導(dǎo)入這節(jié)課的時(shí)候，所采用的材料是用函數(shù)關(guān)系式表示劉翔奪冠那場(chǎng)比賽. 何老師的課堂導(dǎo)入直接采用函數(shù)關(guān)系式表示小明從學(xué)?；丶衣烦膛c時(shí)間的關(guān)系. 對(duì)比兩位老師的課堂導(dǎo)入材料，袁老師也做了精彩的指導(dǎo).

袁老師說，數(shù)學(xué)教學(xué)的三維目標(biāo)之一是情感、態(tài)度、價(jià)值觀，但是這個(gè)目標(biāo)并不是通過模塊來實(shí)現(xiàn)的，是鑲嵌在整個(gè)教學(xué)過程中的.

陳老師的公開課中，有一段劉翔材料的內(nèi)容，袁老師說，這段內(nèi)容完全可以留給政治老師帶領(lǐng)學(xué)生去理解，數(shù)學(xué)老師需要做的，是使得情境的創(chuàng)設(shè)花費(fèi)的時(shí)間最少，取得最好的效益，消除對(duì)課堂教學(xué)影響的負(fù)面的元素. 比如講到奧運(yùn)會(huì)，講到劉翔，講到他的腳扭傷了，學(xué)生會(huì)在想，我當(dāng)時(shí)看電視也是這樣子的，學(xué)生的思想就不集中在一次函數(shù)的應(yīng)用上面了. 所以在課堂教學(xué)中，在進(jìn)行組織教學(xué)之前，首先要洗課，把無效信息排除掉，使得所選的材料為教學(xué)服務(wù).

課堂上也好，試卷上也好，當(dāng)需要用到某個(gè)人名的時(shí)候，常常用到小明、小張等，為什么？因?yàn)檫@樣做的代價(jià)是最小的，小明、小張這些人名不會(huì)將學(xué)生的思維遷移到其他地方去，學(xué)生的思維就會(huì)凝聚在課堂教學(xué)內(nèi)容當(dāng)中.

人名僅僅是一個(gè)符號(hào)，你說A也可以，說B也可以，說小明也可以，但是你不能用“劉翔”. 用“劉翔”就會(huì)出問題，學(xué)生會(huì)浮想聯(lián)翩. 所以課堂教學(xué)中要特別注意所選的材料，在激發(fā)學(xué)生興趣的同時(shí)，要防止學(xué)生無意中將注意力遷移到其他地方去，而產(chǎn)生消極影響.

對(duì)于活動(dòng)2的問題，這個(gè)問題比較復(fù)雜，里面行走的方式有走的，有停的，有直接走的. 這就決定了它的背景是復(fù)雜的，圖象線條值是綜合的，在這樣一個(gè)線條紛繁的圖案中，能夠分離出必要的元素，對(duì)學(xué)生來講，是比較困難的. 對(duì)于這個(gè)活動(dòng)兩位老師組織得比較好，由易到難.

從整節(jié)課的材料來看，兩位老師沒有貪多，貪全，材料的量是適中的.

附：陳、何兩位老師的活動(dòng)2設(shè)計(jì)

活動(dòng)2：以形助數(shù)

小明從家騎自行車出發(fā)，沿一條直路到郵局辦事. 爸爸從郵局沿同一條道路步行回家，小明在郵局辦事后沿原路返回. 已知兩人離家的距離與時(shí)間的函數(shù)圖象如圖3所示. 假設(shè)他們出發(fā)后經(jīng)過t min，小明與家之間的距離為s1 m（圖中折線OABD），爸爸與家之間的距離為s2 m（線段EF）.

（1）你能確定s1、s2與t之間的函數(shù)關(guān)系式嗎？如能寫出，請(qǐng)同時(shí)寫出各函數(shù)自變量t的取值范圍.

（2）小明從家出發(fā)，經(jīng)過多長時(shí)間能在返回途中追上爸爸？這時(shí)他們距離家有多遠(yuǎn)？

學(xué)生的活動(dòng)要精心組織，精確調(diào)控

1. 對(duì)學(xué)生活動(dòng)組織要精確調(diào)控

老師不能布置任務(wù)后，就讓學(xué)生放野馬似的來活動(dòng)，有些活動(dòng)是可以的，有些是不可以的. 教師有一個(gè)主導(dǎo)作用，在學(xué)生思維的關(guān)隘之處，給予恰當(dāng)?shù)闹笇?dǎo).

（1）將解題的不法行為糾正為合法的解題舉措

在聽課的時(shí)候，常發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生的回答是不科學(xué)的，盡管他的答案是對(duì)的，這時(shí)老師就要給他一個(gè)指點(diǎn).比如對(duì)函數(shù)來講，從圖象看出它的解析式，這個(gè)按道理來講應(yīng)該由點(diǎn)的坐標(biāo)用待定系數(shù)法. 現(xiàn)在有些學(xué)生看著圖象把它解出來，但這樣解是錯(cuò)的，為什么呢？他沒有按照規(guī)范的程式走，他的思維是凌亂的，此時(shí)需要老師來校正他不規(guī)范的解題行為. 要求出兩條直線的交點(diǎn)，方法是什么？建立這兩條直線的方程，或者叫線段方程，然后解方程組得到函數(shù)解析式.

（2）把零星的解題信息組裝為有序的解題策略

有些學(xué)生從圖象中得出信息1、信息2、信息3，但這些的思維是紊亂的，這時(shí)需要老師幫他將這些信息進(jìn)行有序的梳理. 比如說畫一個(gè)表格，甲的路程怎么樣，乙的路程怎么樣，甲的速度怎么樣，乙的速度怎么樣，按照路程、速度、時(shí)間，要有這樣一個(gè)有序的梳理. 常常在課堂上，學(xué)生回答，我看到信息啦，我看到2000，300，50秒……學(xué)生的這些信息是凌亂的，老師這時(shí)候需要幫助學(xué)生把這些零星的信息歸類，將這些信息規(guī)范、條理化之后，就正是讓學(xué)生形成科學(xué)的解題方法的時(shí)候，這樣一個(gè)過程可以為學(xué)生在以后的解題過程中指明思維的方向.

（3）把學(xué)生凌亂的思維化為有序的、科學(xué)的思維

有的學(xué)生雖然把題目結(jié)果解答出來了，可能是瞎貓碰了個(gè)死老鼠或者說他的思路是凌亂的，這位學(xué)生解題的時(shí)候正好抓了個(gè)有效的信息，他做另外一道題的時(shí)候，他又會(huì)雜亂無章地去思維，又會(huì)在解題過程中沒有程式地去走，這樣往往使得我們的解題教學(xué)事倍功半，所以我們這里科學(xué)的指導(dǎo)是很有必要的. 學(xué)生不規(guī)范的解題行為如何規(guī)范化、合法化？這是教師組織學(xué)生活動(dòng)時(shí)需要去思考的問題.

2. 精心組織學(xué)生的活動(dòng)

怎樣利用“活動(dòng)單導(dǎo)學(xué)”來組織學(xué)生的活動(dòng)Xze+A8vnl4r4qjIksJGI1g==，這是至關(guān)重要的.

如皋的教學(xué)模式，叫活動(dòng)單導(dǎo)學(xué)，活動(dòng)在前，說明活動(dòng)很重要，除了通過活動(dòng)單告訴學(xué)生要活動(dòng)的內(nèi)容之外，怎樣組織這個(gè)活動(dòng)也重要. 今天教研活動(dòng)的主題——解題教學(xué)，既然是解題教學(xué)，就要留給學(xué)生充裕的思考時(shí)間，從聽課的技術(shù)上說，叫時(shí)間等待，給學(xué)生充裕的思考時(shí)間，讓學(xué)生理清題意. 比如說，一次函數(shù)這堂課里面，我覺得起初的時(shí)間等待不夠長，應(yīng)該讓學(xué)生搞清楚這里涉及哪些變量，哪些常量；反映在圖象上有怎樣的規(guī)律和特征；它們之間有怎樣的聯(lián)系. 要把這些理清以后，才能得到解題的程序.

教師的講解要雪中送炭，精準(zhǔn)到位

學(xué)生在活動(dòng)過程中，通過同伴之間的交流與合作，能夠?qū)⒁恍┖?jiǎn)單的問題在組內(nèi)消化. 對(duì)于一些比較復(fù)雜的問題，在小組內(nèi)找不到解決問題的方法或者求得一個(gè)結(jié)果，也沒法用比較規(guī)范的解答過程表達(dá)出來，此時(shí)學(xué)生會(huì)迫切需要教師能夠給予解題指導(dǎo)，教師此時(shí)的講解就是雪中送炭，此時(shí)的教學(xué)效果是最好的.

有了恰當(dāng)?shù)闹v解時(shí)機(jī)，講解的內(nèi)容還得做到精準(zhǔn)到位，判定講解內(nèi)容是否精準(zhǔn)到位，可先思考以下幾個(gè)問題：①老師的講解有沒有揭示解決問題的基本規(guī)律？②有沒有提煉解決問題的基本思路、方法或者通性通法？③有沒有在眾多解法中擇優(yōu)？④有沒有在我們題目解完之后進(jìn)行反思？⑤有沒有在我們題目解完后進(jìn)行變式？如果這些都沒有做到的話，那么教師的講解就談不上精準(zhǔn)到位.

關(guān)于解題教學(xué)的三個(gè)思維層次

1. 解決數(shù)學(xué)問題的三個(gè)思維層次

解決數(shù)學(xué)問題分為三個(gè)思維層次：策略性解決數(shù)學(xué)問題的思維層次，功能性解決數(shù)學(xué)問題的思維層次，以及特殊性解決數(shù)學(xué)問題的思維層次.

（1）第1層次——策略性解決數(shù)學(xué)問題的思維層次

在今天二次函數(shù)復(fù)習(xí)課的活動(dòng)2里面，利用二次函數(shù)解決相關(guān)問題，當(dāng)我們這個(gè)題目出來之后，拿到這個(gè)題目的第一個(gè)念頭是什么？運(yùn)用二次函數(shù)知識(shí)解決相關(guān)問題，其實(shí)呢，什么都沒解決，但是他明確了解決問題的方向——需要運(yùn)用二次函數(shù)去解決，在這樣一個(gè)大的背景下，在這樣一個(gè)指導(dǎo)思想的指導(dǎo)下，我們來實(shí)施后面的解題行為，這里“第一個(gè)念頭”實(shí)際上就是解決數(shù)學(xué)問題思維層次的第一個(gè)層次，叫策略性解決數(shù)學(xué)問題的思維層次.

（2）第2層次——功能性解決數(shù)學(xué)問題的思維層次

一次函數(shù)的應(yīng)用這節(jié)公開課當(dāng)中，有兩個(gè)活動(dòng)：活動(dòng)1，以數(shù)解形；活動(dòng)2，以形助數(shù)，這實(shí)際上是功能性解決數(shù)學(xué)問題的思維層次. 第一個(gè)層次很顯然，你是用函數(shù)知識(shí)解決這個(gè)問題，或者用一次函數(shù)解決這個(gè)問題，就完了，但實(shí)際上什么都沒有解決，于是就有了第二個(gè)層面，什么呢？數(shù)形結(jié)合法！這就是功能性解決數(shù)學(xué)問題的思維層次.

（3）第3層次——特殊性解決數(shù)學(xué)問題的思維層次

一次函數(shù)的應(yīng)用里面，活動(dòng)2里面，小明從家中出發(fā)，經(jīng)過多長時(shí)間……這個(gè)就聚集到了我要建立一個(gè)小明和他爸爸的，反映他們行動(dòng)軌跡的一個(gè)函數(shù)解析式，然后去解方程組，這就是特殊性解決問題的思維層次.

2. 關(guān)于解題教學(xué)三個(gè)思維層次的教學(xué)

袁老師說，在解題教學(xué)中，缺少的往往就是第一和第二層次，老師或者學(xué)生往往都期望在短時(shí)間內(nèi)能結(jié)束戰(zhàn)斗，直接切入到第三層次，于是學(xué)生回答問題的時(shí)候，“老師，這么的……”，“作××的平行線”，“老師，怎么怎么解”，然后他把解題過程給出了. 如果在這時(shí)候，老師能夠再追問一句，“你為什么這么想到的？”這就追到了第二層次，再追問就回到第一層次.

目前解題教學(xué)中，缺少的就是這么一種居高臨下的解題指導(dǎo)，于是學(xué)生都陷入題海不能自拔，他們只能通過對(duì)大量題目的練習(xí)解答，來達(dá)到解題能力的提高，而不是在我們構(gòu)建之下的宏觀調(diào)控，宏觀的解題策略去指導(dǎo)，于是解題都是就題論題.解完題之后干什么呢？“好，下面我們一起來做下一道題目”，這個(gè)問題出在什么地方呢？就是我們對(duì)解題缺少研究，缺少解題之后的反思、拓展和延伸.

在解決應(yīng)用題的時(shí)候，當(dāng)實(shí)際應(yīng)用出來之后，產(chǎn)生的第一個(gè)念頭就應(yīng)該是建立目標(biāo)函數(shù)，或者是建立方程解決這個(gè)問題. 在這個(gè)框架之下，再來實(shí)施第二個(gè)方案——怎樣建立方程？怎樣建立函數(shù)？這就進(jìn)入第二個(gè)功能性解題. 怎么進(jìn)行功能性解題呢？是通過數(shù)形結(jié)合，還是通過待定系數(shù)法？那么接下來就到了第三個(gè)層次. 我們老師解決問題的時(shí)候，不是從上往下講，全部是從最基層開始做起，最后解完的時(shí)候，只能解一解，不能會(huì)一片. 只有明確解決數(shù)學(xué)問題的三個(gè)思維層次后，我們的解題教學(xué)才有理論上的指導(dǎo).