忽如一夜春風來千樹萬樹梨花開

[摘 要] 本文從五個方面來探討在數(shù)學教學中學生的頓悟如何激發(fā)以及各種方法在數(shù)學教學中的應用.

[關鍵詞] 數(shù)學教學；學生頓悟；激發(fā)方式

在數(shù)學學習過程中，頓悟非常重要，是分析和解決實際問題能力的一個重要手段，對于開發(fā)學生的智力是一個不可忽視的因素. 因此，在數(shù)學教學中，重視頓悟能力的培養(yǎng)，對培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力是至關重要的.

華羅庚教授指出：“數(shù)學頓悟是可以后天培養(yǎng)的.” 任何數(shù)學問題的解決，都離不開數(shù)學頓悟的引導作用. 它都是數(shù)學邏輯思維、直覺思維和頓悟交替作用的結(jié)果. 數(shù)學邏輯思維、直覺思維是數(shù)學頓悟的基礎. 它們促進了數(shù)學頓悟的認知結(jié)構(gòu)由低層次向高層次發(fā)展，從而促進了數(shù)學頓悟的產(chǎn)生和發(fā)展. 筆者就平時教學過程中培養(yǎng)學生頓悟思維的一些做法進行探討.

強化邏輯思維訓練，激發(fā)頓悟

任何數(shù)學頓悟的產(chǎn)生和發(fā)展都離不開該領域的基礎知識. 學生只有具備了一定的知識儲備和良好的認知策略，才能去想象、去聯(lián)想、去發(fā)散、去求異，才能產(chǎn)生數(shù)學頓悟. 邏輯思維就是以分析、綜合、比較、抽象、概括和具體化作為思維的基本過程，從而揭露事物的本質(zhì)特征和規(guī)律性聯(lián)系. 因此，在教學過程中，教師應幫助學生在掌握知識的過程中，主動地建構(gòu)功能良好的數(shù)學認知策略.

例1 解方程組：

加強直覺思維訓練，激發(fā)頓悟

直覺思維對頓悟的產(chǎn)生有著重要的作用，在教學中注重直覺思維的訓練有助于學生對數(shù)學的理解運用.

例2 如圖1，已知在△ABC中，AD，BE，CF分別是BC，AC，AB邊上的中線，G是重心，AG=6，BG=8，CG=10，求△ABC的面積.

直覺告訴我們，三個數(shù)據(jù)6，8，10不就是勾股數(shù)么，于是產(chǎn)生頓悟，以6，8，10為長的三線段構(gòu)造一個直角三角形，延長GD至G′，使得G′D =GD，連結(jié)G′C，易證GG′=AG=6，△GDB≌△G′DC. 所以G′C=BG=8，所以△GG′C是直角三角形. 所以△GG′C的面積是6×8÷2=24. 所以△ABC的面積為72.

事物的特殊性中包含著事物的普遍性，從事物的特殊性去探求它的一般規(guī)律是一種重要的數(shù)學方法. 所以在研究某些有關一般值的數(shù)學問題而直接解答有困難時，我們可以直接利用特殊值去研究解決，從而促使原問題獲解. 特殊法能幫助學生產(chǎn)生解題的頓悟.

例3 如圖2，矩形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，BC，CD，DA上，點P在矩形ABCD內(nèi). 若AB=4 cm，BC=6 cm，AE=CG=3 cm，BF=DH=4 cm，四邊形AEPH的面積為5 cm2，則四邊形PFCG的面積為_______cm2.

此題的四邊形AEPH和CFPG是任意四邊形，這對問題的解決帶來困難. 由題意可知，四邊形CFPG的面積大小只與四邊形AEPH的面積大小有關，而與它們的形狀無關，因此我們可以采用“特殊”思想來解答. 當四邊形AEPH是梯形，AH∥EP時，如圖3.

在平時的教學過程中，教師能正常滲透“特殊”思想，訓練學生把復雜問題簡單化，如果能使它落實到學生學習和運用到數(shù)學思維上，它就能在發(fā)展學生的數(shù)學靈感方面發(fā)揮出重要作用.

獲得頓悟的過程須經(jīng)歷一個認識的過程，然后逐步提高深化發(fā)生“頓悟”，進而產(chǎn)生靈感. 對某類事物的部分對象進行考查，從中尋找可能存在的規(guī)律，將這種認識加以推廣形成一般性的結(jié)論，即對這類事物的某種猜測. 在教學中，相同的數(shù)學結(jié)構(gòu)特征往往孕育著相同的數(shù)學本質(zhì)特征. 由條件或結(jié)論的外表形象與結(jié)構(gòu)特征， 猜想到熟知的定理和圖形，從而找到解題的靈感.

例4 如果一條流水線上有依次排列的n臺機床在工作. 現(xiàn)在要設置一個零件供應站P，使這n臺機床到供應站P的距離總和最小，這個零件供應站P應該設在何處？

此題的難點是：n不是一個具體的值，不容易找到正確的解法. 應該引導學生取具體值，來猜測正確解法.

當n=2時，P應在何處？n=3呢？n=4呢？n=5呢？

通過上面特殊情況，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？經(jīng)過歸納，你能得到怎樣的猜想？

數(shù)學猜想是一種探索性思維，它與數(shù)學靈感有密切關系. 波利亞說：“先猜后證——這是大多數(shù)問題的發(fā)現(xiàn)之道”；“預見結(jié)論，途徑便可以有的放矢”. 所以，加強數(shù)學猜想的訓練對提高學生的靈感能力是十分有益的.

在教學中，教師應結(jié)合教材內(nèi)容，從新知與舊知、本類與它類、縱向與橫向等方面引導學生展開聯(lián)想，弄清知識之間的聯(lián)系，以拓寬學生的知識面，開拓學生的思維. 例如，求一次函數(shù)y=3x-1與y=-3x+5的交點的坐標，可以利用圖象法求解，也可以利用求方程組3x-y-1=0與3x+y-5=0的解得出. 不同的解法既可以揭示出數(shù)與形的聯(lián)系，又溝通了幾類知識的橫向聯(lián)系. 在教學中有意識地引導學生一題多解，讓學生用不同的思路、方法來解，有利于培養(yǎng)學生思維的廣闊性. 另外，有意通過一題多變、一題多答等具有發(fā)散性的題型進行訓練、培養(yǎng)學生思維的創(chuàng)新性. 在實際數(shù)學中，讓學生結(jié)合實際問題自編題目，也有助于創(chuàng)新性思維的培養(yǎng). 對于學生思維能力，特別是創(chuàng)新性思維能力的培養(yǎng)，是一個復雜而系統(tǒng)的領域，還需要我們在教學中不斷探索、總結(jié)，再探索、再研究才能取得很好的效果.

例題教學是數(shù)學教學的重要組成部分，是學生的數(shù)學知識轉(zhuǎn)化為能力的重要教學環(huán)節(jié). 書中的例題，有很強的示范性、探索性、典型性等特征. 書中的例題，有的是為了加深公式、定理、法則的理解，有的是為了啟發(fā)學生的思維等. 教學時，要向?qū)W生介紹合理的解題過程、科學的思維方法. 因為很多例題，都蘊涵著值得我們?nèi)ド钏?、探索的問題，這就需要教師進行創(chuàng)造性的加工，注重以例題為原型進行恰當?shù)耐卣? 通過拓展，培養(yǎng)學生思維的變通性，能觸類旁通，舉一反三；通過有意省去命題的結(jié)論，使學生由題設先探索結(jié)論，再進行說理或計算等.

例如，已知，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于O點.已知點E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點，試說明BFDE是平行四邊形. 教師在引導學生完成說理過程后，可再將此題進行拓展，創(chuàng)設如下問題情境.

問題1：若E，F(xiàn)不是中點，而是滿足AE=CF，能否得到BFDE為平行四邊形？

問題2：若E，F(xiàn)，G，H分別是AO，BO，CO，DO的中點，能否以圖中的點為頂點，盡可能多地畫出平行四邊形？

在此例題的教學中，設置不斷變換的問題情境，使學生能運用已有的知識，舉一反三，發(fā)展了學生的發(fā)散思維能力，從而提高學生的數(shù)學能力和創(chuàng)新意識.

通過對學生頓悟的培養(yǎng)，學生的思維品質(zhì)更加全面、深刻，他們在數(shù)學解題方面取得了長足進步，我們數(shù)學教師在自身素質(zhì)、教學理念上也有了很大的提高. 我們堅信：頓悟的教學是教學的重要組成部分，正如富克斯所說：“偉大的發(fā)現(xiàn)，都不是按邏輯的法則發(fā)現(xiàn)的，而都是由猜測得到的，換句話說，大都是從創(chuàng)造性的頓悟中取得的.”