“有理數(shù)”教學(xué)實(shí)踐與反思

[摘 要] 有理數(shù)是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，對其概念的引入、教學(xué)直接影響今后的學(xué)習(xí)，筆者結(jié)合自己的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，從教學(xué)設(shè)計(jì)、實(shí)施、反思三方面進(jìn)行了詳細(xì)闡述.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；有理數(shù)；教學(xué)實(shí)踐；反思

有理數(shù)是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，因?yàn)槭腔A(chǔ)，所以有時(shí)我們往往容易忽略這個(gè)知識在實(shí)際教學(xué)中所遇到的困難，因?yàn)槭腔A(chǔ)，所以我們往往有時(shí)容易認(rèn)為學(xué)生會很輕松地學(xué)會這一知識. 可事實(shí)上，根據(jù)筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，本知識點(diǎn)雖然看起來簡單，但因其與學(xué)生原來所學(xué)“數(shù)”的概念具有很大的差異，因此學(xué)生在初學(xué)時(shí)其實(shí)并不會感覺有多容易. 而且根據(jù)實(shí)際工作情況來看，在數(shù)學(xué)教學(xué)中如果忽略了這種復(fù)雜性，將會對學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況產(chǎn)生不準(zhǔn)確的判斷，因而造成對學(xué)生學(xué)習(xí)情況的錯誤判斷，從而造成最終不利于后面知識學(xué)習(xí)的結(jié)果.

鑒于這一認(rèn)識，筆者在近幾次的教學(xué)實(shí)踐中不斷反思，形成了對學(xué)生學(xué)習(xí)情況的把握，以及對教學(xué)過程相對系統(tǒng)的認(rèn)識，現(xiàn)簡述如下.

對“有理數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)的思考

從知識目標(biāo)的角度來看，有理數(shù)屬于基本的關(guān)于“數(shù)”的數(shù)學(xué)范疇，作為“數(shù)”的教學(xué)，我們知道一般學(xué)生已經(jīng)具有比較完整的整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的概念，也熟悉了相關(guān)的運(yùn)算法則. 但根據(jù)我們的教學(xué)觀察，發(fā)現(xiàn)有理數(shù)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)體現(xiàn)在負(fù)數(shù)的出現(xiàn)及其運(yùn)算規(guī)則兩個(gè)方面. 具體地說，包括如下幾個(gè)問題. 第一個(gè)問題，為什么要引入負(fù)數(shù)？第二個(gè)問題，負(fù)數(shù)在實(shí)際生活中有什么實(shí)際意義與運(yùn)用？第三個(gè)問題，負(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則與已經(jīng)學(xué)過的運(yùn)算有什么區(qū)別與聯(lián)系？這三個(gè)問題看起來都不在考試范疇，但卻是學(xué)生建立有理數(shù)概念必須思考的問題. 不搞清楚這些問題，學(xué)生對知識的建構(gòu)過程就不會完整，學(xué)到的知識就會處于一知半解的地位，而筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與一些同行的研究結(jié)果均表明，只有建立對類似問題思考與解決的基礎(chǔ)上的有理數(shù)概念才是扎實(shí)、牢固的，也才能在以后的知識學(xué)習(xí)中熟練地運(yùn)用.

另外，從過程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀的角度來看，筆者傾向于通過學(xué)生的親身體驗(yàn)建立初步認(rèn)識，然后教師通過有意義的講授幫學(xué)生建立概念的方式，這樣既體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)提倡的教學(xué)方式，更重要的是可以讓學(xué)生在親身體驗(yàn)中獲得認(rèn)知. 這里所說的親身體驗(yàn)主要不是指讓學(xué)生親自參與某些數(shù)學(xué)體驗(yàn)（雖然其中也包括一些學(xué)生活動，但我們認(rèn)為這只是形式），我們強(qiáng)調(diào)的學(xué)生親身體驗(yàn)是指教師在提供了相應(yīng)的教學(xué)情境之后，讓學(xué)生希望能夠運(yùn)用思維在一定的情境中產(chǎn)生一些經(jīng)驗(yàn)性的東西.

筆者以為，只有在這樣的情境中構(gòu)建出來的數(shù)學(xué)概念，才可以說是以學(xué)生的親身體驗(yàn)出的思維結(jié)果為基礎(chǔ)的，這樣的思維結(jié)果，一方面與所要學(xué)習(xí)的有理數(shù)高度相關(guān)，另一方面又以顯性或隱性的形式存在于學(xué)生的思維之中，成為支撐有理數(shù)概念的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ). 同時(shí)，在這個(gè)體驗(yàn)過程中，學(xué)生會產(chǎn)生相應(yīng)的情感體驗(yàn)，尤其是思維順利時(shí)的興奮與思維阻塞時(shí)的煩惱，都會成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中有意義的過程. 經(jīng)常有學(xué)生告訴我，在經(jīng)歷思考之后能夠?qū)⒁坏李}解答出來是一件讓人興奮的事情，我想這就是學(xué)生值得珍惜的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)過程. 當(dāng)然，也可以讓他們認(rèn)識到，包括有理數(shù)在內(nèi)的任何一個(gè)數(shù)學(xué)概念或法則的建立均不是一件容易的事情.

對“有理數(shù)”教學(xué)實(shí)施的思考

按照上面的思考，筆者和同組教師進(jìn)行了一些嘗試. 我們注意到，在具體的教學(xué)實(shí)施中，學(xué)生的思維展開基本上都是按筆者預(yù)設(shè)的思路發(fā)生的，這說明我們的教學(xué)設(shè)計(jì)是有效的，當(dāng)然也出現(xiàn)了一些可喜的生成，這些生成的可喜的東西也證明了我們的教學(xué)具有適度的開放性和包容性. 筆者課后對教學(xué)過程進(jìn)行了一番梳理，在保持課堂原樣的基礎(chǔ)上對課堂上包括負(fù)數(shù)概念的建立和有理數(shù)的運(yùn)算法則等幾個(gè)重點(diǎn)進(jìn)行了反思，贅述如下.

1. 數(shù)學(xué)教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)

上面已經(jīng)說過，筆者設(shè)計(jì)這一節(jié)課時(shí)是以學(xué)生體驗(yàn)的方式創(chuàng)設(shè)情境的，最主要的目的就是要讓學(xué)生感受到引入負(fù)數(shù)有著明顯的必要性. 關(guān)于這一點(diǎn)，在集體備課中組內(nèi)同事提出了多種創(chuàng)設(shè)情境的方式，主要都是圍繞“生活中有些場合會出現(xiàn)有增有減、有正有負(fù)的情形”來思考，從思路上來講，當(dāng)然是正確的. 當(dāng)然也是傳統(tǒng)的，因?yàn)閭鹘y(tǒng)且因?yàn)橛锌赡苁抢г趥鹘y(tǒng)中走不出去，因此最初的討論結(jié)果并不能讓所有人都滿意. 比如有老師提出可以用家庭中的收入與支出來創(chuàng)設(shè)情境，后來通過討論，認(rèn)為一方面家庭收支的情形學(xué)生并不太熟悉，而且其中涉及具體的購物消費(fèi)等情形，有可能會讓學(xué)生的注意力發(fā)生分散，從而不利于將思維集中到負(fù)數(shù)概念的建立上來. 還有老師提出用球類比賽中的勝負(fù)來表示得分和扣分，但很快也被否定了，因?yàn)樨?fù)的一方只是不得分，一般不會扣分，因此出現(xiàn)不了“負(fù)”的情形. 后來筆者提出不如走一條更簡單的創(chuàng)設(shè)情境的道路，就讓某個(gè)學(xué)生在教室講臺前面走路：先確定一個(gè)出發(fā)點(diǎn)，賦予其類似于數(shù)軸上原點(diǎn)的含義，當(dāng)其前進(jìn)時(shí)為正，每一步記作單位1. 在學(xué)生理解了的基礎(chǔ)上，向?qū)W生提出問題：“如果該同學(xué)后退，那我們該如何計(jì)數(shù)呢？”這個(gè)方案得到了同事的肯定，認(rèn)為可以嘗試并觀察結(jié)果如何.

根據(jù)我們的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在實(shí)際學(xué)習(xí)的過程中，不少學(xué)生對于這一問題的回答可能出現(xiàn)片刻的困難. 在這種情況下，筆者再舉出生活中的另一事例幫學(xué)生思考：在我們的溫度計(jì)中，當(dāng)天氣較熱時(shí)，溫度計(jì)的液面在0的上面，到了寒冷的冬天，溫度計(jì)的液面便會跑到0的下面，這個(gè)時(shí)候我們把天氣的溫度叫做什么呢？在這一事例的類比之下，學(xué)生往往會自然而然地出現(xiàn)“負(fù)”的想法，并且用“負(fù)”的思想去描述后退幾步時(shí)的計(jì)數(shù)方法.

通過這兩個(gè)事例的類比，再加上教師適時(shí)的引導(dǎo)與歸納，學(xué)生就可以產(chǎn)生一種類似于默會知識的想法：當(dāng)一些場合存在正、反兩個(gè)過程時(shí)，反的那個(gè)過程可以用“負(fù)”來描述. 學(xué)生有了這種意識之后，教師要留一兩分鐘的時(shí)間讓學(xué)生消化這個(gè)觀點(diǎn)，以確保下面的學(xué)習(xí)過程當(dāng)中能夠相對熟練地運(yùn)用.

2. 有理數(shù)加減法則的建立

以前的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明，如果基于正負(fù)數(shù)概念直接給學(xué)生講授有理數(shù)的加減法則，學(xué)生也有可能會記住，在后面的學(xué)習(xí)中再通過習(xí)題的重復(fù)訓(xùn)練，可形成一種解題技能. 但這樣的教學(xué)行為常常被認(rèn)為是灌輸?shù)慕虒W(xué)方式，容易招致批評；同時(shí)，這種教學(xué)方式還有一個(gè)問題，就是學(xué)生缺少必要的生活根基，這會影響他們理解運(yùn)算規(guī)則. 那我們能否讓這個(gè)知識的學(xué)習(xí)再生動、形象一點(diǎn)呢？在結(jié)合對不同版本教材的學(xué)習(xí)與思考的基礎(chǔ)上，筆者提出了這樣的教學(xué)策略并付諸實(shí)施：

在上述學(xué)習(xí)情境的基礎(chǔ)上，提出新的問題——假如這位同學(xué)先走了5步，后走了7步，那最后的結(jié)果應(yīng)該記作多少呢？這個(gè)問題相對于上面的問題而言，其實(shí)是一種更為深入的遞進(jìn)關(guān)系，可以讓學(xué)生更深入地思考這個(gè)問題. 同時(shí)，這個(gè)問題又基于前面的情境，可以讓學(xué)生結(jié)合原來的思路進(jìn)行深化，從而為運(yùn)算規(guī)則的學(xué)習(xí)服務(wù).

在具體的教學(xué)實(shí)施過程中，對于這一問題，筆者首先讓學(xué)生獨(dú)立思考，大概三分鐘之后再讓他們在小組之內(nèi)進(jìn)行交流. 在此過程中，筆者深入各小組當(dāng)中傾聽他們的想法，收集他們的思考結(jié)果. 最后，我讓小組代表到黑板上寫出他們小組的收獲. 在這個(gè)過程中，分析得出全部情況并準(zhǔn)確地說出結(jié)果的表示方式，是負(fù)數(shù)概念形成并深化的關(guān)鍵. 根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，我們可以將學(xué)生的思維分成兩種：一是學(xué)生完全分析出四種情況，即先前進(jìn)再后退、先后退再前進(jìn)、先前進(jìn)再前進(jìn)、先后退再后退，如果是這樣則可采取分析綜合的策略，直接讓學(xué)生將獲得的經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)表達(dá)式，從而形成運(yùn)算法則；二是學(xué)生能夠分析出其中一種情況但無法完全分析出四種情況，這時(shí)就需要教師引導(dǎo)學(xué)生分析已經(jīng)得出的情況，然后以變式思想提出其余的情況，再進(jìn)行分析.

這一過程涉及數(shù)學(xué)建模，涉及過程中的正負(fù)確定以及結(jié)果正負(fù)的確定，自然也就隱含著運(yùn)算規(guī)則，當(dāng)這種規(guī)則明確體現(xiàn)出來時(shí)，關(guān)于有理數(shù)的運(yùn)算法則也就生成了.

“有理數(shù)”教后反思

對于有理數(shù)這樣的看似簡單的知識教學(xué)，我們在進(jìn)行深入思考之后發(fā)現(xiàn)，其中存在著很多非常有意思的地方，而且，這里還不僅僅是有意思，更是有思考意義的. 比如說，生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)教學(xué)研究告訴我們，負(fù)數(shù)的呈現(xiàn)其實(shí)不只是形式，更是一種思想，是生活中正負(fù)的描述. 接受了這一思想，現(xiàn)在生活中接觸到“正能量”和“負(fù)能量”等概念時(shí)，就能迅速理解其含義了，有過有理數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)歷的人，往往在聽到這兩個(gè)詞語時(shí)，就知道其在具體的語言環(huán)境中是什么含義. 而關(guān)于其運(yùn)算法則，其實(shí)是對學(xué)生已經(jīng)掌握了的運(yùn)算規(guī)則的一種拓展，也是生活規(guī)律的一種體現(xiàn). “同號數(shù)相加取相同符號，絕對值相加；異號數(shù)相加取絕對值大的符號，絕對值大的減絕對值小的”這樣的規(guī)則作為最終的生成，不能忽視其生成的土壤與過程，這樣就可以為學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中積淀更多的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 從這個(gè)角度看，筆者設(shè)計(jì)的教學(xué)中加強(qiáng)情境創(chuàng)設(shè)是有意義的.

值得強(qiáng)調(diào)的是，情境必須是學(xué)生看得懂的情境，過多的花樣、過繁的過程有時(shí)看起來好看，卻起不到情境促進(jìn)學(xué)習(xí)的效果，大道至簡是情境創(chuàng)設(shè)的必要原則，教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施中不能忘.