教學(xué)反思例談數(shù)學(xué)概念導(dǎo)入教學(xué)中的“操作”

[摘 要] “操作”，包括外在的活動操作與內(nèi)在的智力操作.在數(shù)學(xué)概念導(dǎo)入的教學(xué)中，學(xué)生通過“操作”，經(jīng)歷復(fù)雜而豐富的認(rèn)知過程，獲得數(shù)學(xué)概念的豐富表象，促進(jìn)對數(shù)學(xué)概念的表征. 本文闡述數(shù)學(xué)概念導(dǎo)入教學(xué)中“操作”的設(shè)計：在“直線、射線、線段”概念導(dǎo)入教學(xué)中實施動手動腦式的“操作”； 在“相交線”概念教學(xué)中實施問題解決式的“操作”； 在概率定義的導(dǎo)入教學(xué)中實施分組實驗活動式的“操作”.

[關(guān)鍵詞] 操作；數(shù)學(xué)概念教學(xué)；概念導(dǎo)入

美國數(shù)學(xué)教育家杜賓斯基認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念需要進(jìn)行心理建構(gòu)，只有在自身已有知識、經(jīng)驗的基礎(chǔ)上主動建構(gòu)新知識的意義，才能達(dá)成理解. 而這一建構(gòu)過程需要經(jīng)歷四個階段，即操作階段、過程階段、對象階段、圖式階段. 李善良先生在其著作《現(xiàn)代認(rèn)知觀下的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)與教學(xué)》中指出： 數(shù)學(xué)概念教學(xué)的“線性漸進(jìn)模式”共由五個階段組成，即操作階段、表象階段、定義階段、運用階段、體系階段. 可見，數(shù)學(xué)概念形成教學(xué)的第一步是讓學(xué)生“操作”. 那么，為什么要在數(shù)學(xué)概念形成教學(xué)的開始先讓學(xué)生“操作”？“操作”的含義是什么？怎樣在數(shù)學(xué)概念的導(dǎo)入教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“操作”？這正是筆者要闡述的問題.

“操作”泛指數(shù)學(xué)活動，如動手操作、猜想、回憶、計算、推理等，“操作”，包括外在的活動操作與內(nèi)在的智力操作，而不是僅指學(xué)生的肢體動作，學(xué)生通過“操作”，為理性的抽象概括提供感性基礎(chǔ). 應(yīng)當(dāng)注意的是，在概念學(xué)習(xí)中不存在單獨的內(nèi)部操作和單獨的外部操作，外部操作是在已有的內(nèi)部操作基礎(chǔ)上進(jìn)行的，而內(nèi)部操作又是由外部操作內(nèi)化而來的.

學(xué)生要構(gòu)造自己理解的數(shù)學(xué)概念，關(guān)鍵是一種思想上的飛躍，即皮亞杰提出的“反省抽象”. 為了形成反省，必須將自己的實踐性活動變?yōu)樗伎嫉膶ο螅幢环词〉幕A(chǔ)是“操作”過程，缺少了“操作”，反省無法落實；“操作”達(dá)不到一定數(shù)量，過程的各種狀態(tài)和性質(zhì)在心理o+v6j4fq4S7zxDmEkfviIw==上不易引起注意. 因此，學(xué)生“操作”的直接目的是現(xiàn)場積累學(xué)習(xí)新知識所必需的經(jīng)驗，或是對自己已具有的相對模糊的經(jīng)驗進(jìn)行強(qiáng)化，增強(qiáng)體驗使之處于活躍狀態(tài)，從而為進(jìn)一步的抽象概括提供對象和素材. 學(xué)生通過“操作”，經(jīng)歷復(fù)雜而豐富的認(rèn)知過程，把外在的動作物化出來，又通過自己的語言內(nèi)化成自己的思維動作，達(dá)到內(nèi)外合一，從而獲得數(shù)學(xué)概念的豐富表象，促進(jìn)對數(shù)學(xué)概念的表征.

在數(shù)學(xué)概念導(dǎo)入的教學(xué)中怎樣引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行具體的“操作”？下面列舉筆者的一些做法，以求教于同行.

教學(xué)過程設(shè)計如下：

1. 提出問題

問題：要在墻上固定一根木條，至少需要幾個釘子？

先讓學(xué)生動手操作，并記錄每一步的結(jié)果，再讓學(xué)生寫出經(jīng)過探索得到的結(jié)論.

動畫演示：分別演示一根木條釘一個釘子和一根木條釘兩個釘子的情境.

2. 模型建立

畫圖：①經(jīng)過一點O畫直線，能畫幾條？

②經(jīng)過A，B兩點呢？

先讓學(xué)生動手畫一畫，然后在小組中交流畫圖的結(jié)果.

3. 模型解釋

通過實驗和探索，得到：

①經(jīng)過一點有無數(shù)條直線.

②經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線.

“動手實踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要方式，觀察、操作、實驗等數(shù)學(xué)活動是學(xué)習(xí)幾何知識的主要學(xué)習(xí)形式. ”通過“操作”，讓學(xué)生感知具體的“要在墻上固定一根木條，至少需要2個釘子”的事實，通過畫圖，讓學(xué)生經(jīng)歷把釘子抽象成點、把木條抽象成直線的過程，從而獲得直線的性質(zhì). 通過上述“操作”，學(xué)生經(jīng)歷了知識的發(fā)生、發(fā)展過程，歸納得到直線的性質(zhì)，實現(xiàn)概念理解和結(jié)論由來的從感性到理性的自然深化，也就提升了學(xué)生對幾何知識的感悟.

筆者認(rèn)為，幾何教學(xué)不容忽視的是：應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生多操作、勤畫圖，畫“美”圖，讓畫圖美術(shù)、實驗操作與推理論證有機(jī)結(jié)合、相輔相成，引導(dǎo)學(xué)生用視覺、觸覺等多種感官參與認(rèn)知，幫助學(xué)生在操作、體驗的過程中，認(rèn)識圖形的特征，以此來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣.

上課開始，老師創(chuàng)設(shè)問題情境讓學(xué)生“操作”，即如圖1，兩堵墻圍成一個角∠AOB，現(xiàn)給你一個木頭制作的大量角器，但不能進(jìn)入圍墻，你如何用這個量角器去測量這個角的大?。?/p>

用量角器測量一個角的大小，學(xué)生是熟悉的，但這是一個實際問題，不能進(jìn)入圍墻用量角器去測量∠AOB的大小，只能在圍墻外測量，于是引發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突，學(xué)生自覺地嘗試著去思考和解決這個問題. 經(jīng)過學(xué)生的“操作”，老師請有不同思考的同學(xué)在全班交流，這樣，學(xué)生不同的想法就出來了：如圖2，有的說，反向延長射線OB得到OC，因為∠BOC是一平角，所以只要測量出∠AOC的度數(shù)，就可知道∠AOB的度數(shù)；也有的說，反向延長射線OA得到OD，同樣，只要測量出∠BOD的大小，就可知道∠AOB的大小；還有的說，反向延長射線OB得到OC，反向延長射線OA得到OD，∠COD的大小就是∠AOB的大小. 通過學(xué)生的“操作”，相交線、鄰補(bǔ)角、對頂角等概念的基本圖形在學(xué)生的頭腦中已初成雛形.

以上學(xué)生在探究如何測量∠AOB的大小過程中，從不同的方向去思考和添作輔助線，這樣的“操作”，為真正理解鄰補(bǔ)角、對頂角等數(shù)學(xué)概念積累了感性經(jīng)驗，也正是這樣的“操作”，下面構(gòu)建的鄰補(bǔ)角、對頂角及“對頂角相等”等數(shù)學(xué)概念在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中才會有所依托，才會鞏固.

例3？搖？搖在概率定義的導(dǎo)入教學(xué)中實施分組實驗活動式的“操作”.

環(huán)節(jié)1：上課開始，教師播放兩位同學(xué)拋硬幣游戲的錄像.

錄像內(nèi)容為：學(xué)生小明將壹元錢的硬幣往空中一投，然后宣布：“正面！”不滿足于一次的嘗試，他又投了一次，“正面！”，學(xué)生王敏靜靜地注視他投了一次又一次的“正面，正面，……，正面！”，居然連續(xù)100次投了“正面”，這時，王敏同學(xué)似乎有些不相信，忍不住一把抓住壹元硬幣，仔細(xì)檢查其兩面，發(fā)現(xiàn)與其他壹元硬幣沒什么兩樣. 然后，她也將這枚硬幣往空中一投，居然還是“正面”. 她若有所思地說：“怎么會這樣？正面和反面應(yīng)該有相同的機(jī)會出現(xiàn)??！”

此時，多數(shù)同學(xué)一邊觀看錄像，一邊在暗自發(fā)笑.

環(huán)節(jié)2：學(xué)生自由發(fā)言.

教師將錄像關(guān)掉，問全班同學(xué)：為什么這個片段會使你發(fā)笑？請同學(xué)們自由發(fā)言.

學(xué)生甲：我覺得這是不可能的，不可能連續(xù)投出100個正面.

師：你是怎么知道的？真的不可能嗎？

學(xué)生乙：是有可能，但可能性很小.

學(xué)生丙：如果像錄像中那樣連續(xù)投擲100次都是正面，我會感到驚訝. 一般來說，平均起來，正面和反面的次數(shù)應(yīng)該是一樣多??！

全班大多數(shù)學(xué)生齊聲說“對”.

師：好！請你們來檢驗自己的觀點.

環(huán)節(jié)3： 分組實驗活動.

按照興趣相近、特長互補(bǔ)，每組皆有組織協(xié)調(diào)能力較強(qiáng)者的原則，將全班同學(xué)分組（每4個人一組，一人拋，一人觀察，一人記錄，一人檢查）做實驗：把一枚硬幣拋多次，觀察其出現(xiàn)的結(jié)果，并記錄各結(jié)果出現(xiàn)的頻數(shù)，然后計算各頻率，再填寫下表：

環(huán)節(jié)4：全班交流.

每個組將自己的結(jié)果展示在黑板上，其中有一組陳述了自己的假設(shè)和觀點：“出現(xiàn)正面的平均次數(shù)恰好是投擲次數(shù)的一半.”

最后由一個同學(xué)用計算器把每個組的數(shù)據(jù)加起來，并除以小組個數(shù)，得到平均數(shù)，得到各組出現(xiàn)正面的平均比例為49.2%，很接近50%.

環(huán)節(jié)5： 得到定義.

值得注意的是， 在數(shù)學(xué)概念形成的教學(xué)中，如果教師只是借助于個別實例很快地進(jìn)入概念定義，沒有讓學(xué)生“操作”， 這種教學(xué)導(dǎo)致的后果是：學(xué)生失去由操作到定義的中介環(huán)節(jié)，難以真正完成概念的抽象，那么就容易導(dǎo)致學(xué)生在沒有理解數(shù)學(xué)概念時就機(jī)械地背誦定義，強(qiáng)記憶弱遷移和強(qiáng)記憶負(fù)遷移在所難免. 因此，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)的導(dǎo)入階段，教師要重視學(xué)生的“操作”，要提供給學(xué)生一個“好”的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生去“操作”， 同時，教師在創(chuàng)設(shè)“好”的數(shù)學(xué)問題時，要注意取材于學(xué)生所熟悉的背景材料之中，要考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知水平與能力水平，而材料是經(jīng)過學(xué)生的努力可以完成的.