備課參考一道課本折疊試題的設(shè)問(wèn)方式探究

[摘 要] 本文圍繞新課程理念，從分析課本例題入手，以問(wèn)題為載體，開展多角度探究，剖析解題思路，滲透數(shù)學(xué)思想方法，并進(jìn)行變式設(shè)問(wèn)，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力和求異思維，從而促進(jìn)“學(xué)生全面、持續(xù)、和諧的發(fā)展”.

[關(guān)鍵詞] 探究；新課程；多角度；變式

課本上例題、習(xí)題的權(quán)威性和示范性無(wú)疑是創(chuàng)新變式的源泉，有必要進(jìn)行反思和深層次的探究，一方面，進(jìn)行適當(dāng)?shù)刈儞Q、延伸、拓展，能在加深、鞏固基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，開拓解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力；另一方面，能將題目之間的共性及本質(zhì)的東西進(jìn)行提煉、概括、升華，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，開闊視野、豐富思維，培養(yǎng)學(xué)生積極探究的精神和創(chuàng)新的能力. 張奠宙先生說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有問(wèn)題的數(shù)學(xué)教學(xué)，不會(huì)有火熱的思考. ”數(shù)學(xué)源于問(wèn)題，問(wèn)題是思維的起點(diǎn). 所以在課堂教學(xué)中，應(yīng)以學(xué)生合作討論交流為前提，以教材為基礎(chǔ)，以問(wèn)題為載體，在教師的啟發(fā)、指引下，學(xué)生通過(guò)觀察、猜測(cè)、推理、驗(yàn)證、交流等有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)，積極發(fā)揮自主能動(dòng)性，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與應(yīng)用過(guò)程，掌握方法，培養(yǎng)能力，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的目的.

題目引入

在數(shù)學(xué)課本110頁(yè)（人教版八年級(jí)下冊(cè)四邊形）有這樣一道習(xí)題：

如圖1，四邊形ABCD是矩形， BC=4 cm，AB=3 cm，將矩形紙片沿對(duì)角線BD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE交AD于點(diǎn)F，連結(jié)AE. 四邊形ABDE是什么圖形？為什么？它的面積是多少？周長(zhǎng)呢？

分析 本題的綜合性較強(qiáng)，考查的知識(shí)點(diǎn)較多，對(duì)學(xué)生的推理能力和思維要求較高，須降低難度或改變?cè)O(shè)問(wèn)方式，以增設(shè)低起點(diǎn)問(wèn)題的形式，供數(shù)學(xué)能力層次低一些的同學(xué)作答，從而促使學(xué)生的思維向深層次、多角度、多方面發(fā)散，引導(dǎo)學(xué)生積極、主動(dòng)探索知識(shí)的形成、應(yīng)用過(guò)程，有意識(shí)地展現(xiàn)教學(xué)中師生思維互動(dòng)的活動(dòng)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立分析、解決問(wèn)題的能力，以及大膽創(chuàng)新、勇于探索的精神，體現(xiàn)“實(shí)現(xiàn)人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)；人人都獲得必需的數(shù)學(xué)；不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的新課程理念，真正把學(xué)生的能力培養(yǎng)落到實(shí)處.

題目設(shè)問(wèn)方式

皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是一種能動(dòng)的建構(gòu)過(guò)程. 新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)，要培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力，能綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)和技能解決問(wèn)題，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)變技巧. 要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)要求，遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律進(jìn)行基礎(chǔ)教學(xué)，讓學(xué)生牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)，形成基本技能，了解數(shù)學(xué)的基本思想和體會(huì)數(shù)學(xué)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（即“四基”），從而使學(xué)生打下扎實(shí)“雙基”的同時(shí)，學(xué)會(huì)從各個(gè)角度推出新穎獨(dú)特的解決問(wèn)題的方法，培養(yǎng)他們解決問(wèn)題的實(shí)踐能力，發(fā)展他們的創(chuàng)新思維.

1. 基礎(chǔ)設(shè)問(wèn)

設(shè)問(wèn)1 （2000山西）如圖2，將矩形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，BC′交AD于點(diǎn)E，AD=8，AB=4.

（1）請(qǐng)說(shuō)明：BE=DE；

（2）求△BED的面積.

分析 （1）因?yàn)檎郫B前后∠DBC=∠DBC′，且因?yàn)槠叫?，?nèi)錯(cuò)角相等，所以∠DBC=∠ADB，所以根據(jù)角之間的等量代換可知DE=BE.

（2）要想求出三角形BED的面積，根據(jù)題中條件，只要求出DE的長(zhǎng)即可. 要求DE的長(zhǎng)，可利用勾股定理以及（1）的結(jié)論.

解答 （1）因?yàn)椤鰾DC′是由△BDC沿直線BD折疊得到的，所以∠C′BD=∠CBD. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以AD∥BC. 所以∠CBD=∠EDB. 所以∠C′BD=∠EDB. 所以BE=DE.

（2）設(shè)DE=x，則AE=AD-DE=8-x. 因?yàn)椤螦=90°，BE=DE=x，所以BE2=AB2+AE2，即x2=42+（8-x）2，解得x=5. 所以S△BED=■×DE×AB=■×5×4=10.

點(diǎn)評(píng) 設(shè)問(wèn)1引導(dǎo)學(xué)生從題目的基本條件出發(fā)，讀圖，分析，有條理地合情推理，試題內(nèi)容以幾何知識(shí)點(diǎn)為載體，融幾何的基本知識(shí)、基本方法、基本技能、基本思想為一體，考查學(xué)生的基本推理證明和計(jì)算，主要涵蓋等角的證明和勾股定理的應(yīng)用. 試題切入容易，能較好地激發(fā)學(xué)生解題的興趣和積極性.？搖

此外，問(wèn)題（1）還可改變?yōu)橐韵卤硎龇绞剑涸嚺袛嘀丿B部分（三角形BED）的形狀，并證明你的結(jié)論. 問(wèn)題（2）的解答還可用作差法解決：△BDE的面積=△ABD的面積-△ABE的面積.

設(shè)問(wèn)2 （2007寧夏）如圖3，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE交AD于點(diǎn)F，連結(jié)AE.

（1）證明：BF=DF.

（2）證明：AE∥BD.

分析與解 （1）與設(shè)問(wèn)1（1）一樣.

（2）因?yàn)椤鰾DE是由△BDC沿直線BD折疊得到的，所以BE=BC. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以AD=BC. 由（1）BF=DF得AF=EF；又由對(duì)頂角定義∠BFD=∠AFE，推出∠AEF=∠FBD. 所以AE∥BD.

設(shè)問(wèn)3 如圖4，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE交AD于點(diǎn)F，連結(jié)AE.

（1）求證：△AFB≌△EFD；

（2）四邊形ABDE是什么圖形？為什么？

分析與解 （1）因?yàn)椤鰾DE是由△BDC沿直線BD折疊得到的，所以DE=DC，∠BED=∠C=90°. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以AB=DC，∠BAF=90°. 所以AB=DE，∠BAF=∠BED=90°. 由對(duì)頂角定義可得∠AFB=∠EFD，所以△AFB≌△EFD.

（2）四邊形ABDE是等腰梯形. 理由如下：由設(shè)問(wèn)2（2）得AE∥BD，因?yàn)椤鰽FB≌△EFD，所以AB=DE. 又AE≠BD，由等腰梯形的定義可得出結(jié)論：四邊形ABDE是等腰梯形.

點(diǎn)評(píng) 通過(guò)三個(gè)設(shè)問(wèn)，無(wú)論是在試題內(nèi)容的呈現(xiàn)方式上，還是在解題思路的探尋過(guò)程中，試題總是引導(dǎo)過(guò)程教學(xué)，提高學(xué)生的思維層次. 一方面重視學(xué)生的思維過(guò)程，另一方面則重視數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，既遵循數(shù)學(xué)思維規(guī)律，又充分反映數(shù)學(xué)思維的基本特征，體現(xiàn)了新課程所倡導(dǎo)的學(xué)習(xí)方式.

此外，還可設(shè)置以下問(wèn)題：

（1）圖中有哪些等腰三角形？試寫出所有等腰三角形，并證明其中一個(gè).

（2）圖中有哪些全等三角形？試寫出所有全等三角形，并證明其中一對(duì).

（3）圖中有哪些相似三角形？試寫出所有相似三角形，并證明其中一對(duì).

2. 拓展設(shè)問(wèn)

設(shè)問(wèn)4 如圖5，四邊形ABCD是矩形，把矩形沿直線BD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，連結(jié)AE，BE，BE與AD交于點(diǎn)M.

（1）證明四邊形ABDE是等腰梯形；

設(shè)問(wèn)5 （2008湖北十堰）如圖6，把一張矩形的紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE與AD交于點(diǎn)F.

（1）線段BF與DF相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）若將折疊的圖形恢復(fù)原狀，點(diǎn)F與BC邊上的點(diǎn)G正好重合，連結(jié)DG，試判斷四邊形BGDF的形狀，并說(shuō)明理由.

（3）若AB=4，AD=8，在（1）（2）的條件下，求線段DG的長(zhǎng).

分析 （2）四邊形BGDF是菱形. 理由如下：由折疊可知BG=BF=DF，因?yàn)樵诰匦蜛BCD中，BG∥DF，所以四邊形BGDF是菱形.

（3）設(shè)DF=x，則AF=AD-DF=8-x. 因?yàn)椤螦=90°，BF=DF=x，所以BF2=AB2+AF2，即x2=42+（8-x）2，解得x=5. 因?yàn)樗倪呅蜝GDF是菱形，所以DG=DF=5.

設(shè)問(wèn)6 如圖7，已知矩形ABCD沿著BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，BC′交AD于點(diǎn)E，AD=8，AB=4. 若過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BD于點(diǎn)F，求EF的長(zhǎng).

設(shè)問(wèn)7 （2012廣東）如圖8，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8. 把△BCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在C′處，BC′交AD于點(diǎn)G；E，F(xiàn)分別是C′D和BD上的點(diǎn)，線段EF交AD于點(diǎn)H，把△FDE沿EF折疊，使點(diǎn)D落在D′處，點(diǎn)D′恰好與點(diǎn)A重合.

（1）求證：△ABG≌△C′DG；

（2）求tan∠ABG的值；

（3）求EF的長(zhǎng).

解答 （1）因?yàn)椤鰾DC′由△BDC翻折而成，所以∠C′=∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD. 又∠AGB=∠DGC′，所以△ABG≌△C′DG.

3. 改變折疊方式

設(shè)問(wèn)8 （2010湖南邵陽(yáng)）如圖9，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，EF為折痕.

（1）求證：△FGC≌△EBC；

（2）若AB=8，AD=4，求四邊形ECGF（陰影部分）的面積.

（2）在矩形紙片ABCD中，AB=5，AD=13. 如圖13所示，折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的A′處，折痕為PQ. 當(dāng)點(diǎn)A′在BC邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P，Q也隨之移動(dòng). 若限定點(diǎn)P，Q分別在AB，AD邊上移動(dòng)，求點(diǎn)A′在BC邊上可移動(dòng)的最大距離.

分析 （1）①先利用翻折變換的性質(zhì)及勾股定理求出AE的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出AF和EF的長(zhǎng)，即可得出△EFG的面積；②先證明四邊形BGEF是平行四邊形，再利用BG=EG得出四邊形BGEF是菱形，于是可求出FG的長(zhǎng).

（2）如圖16，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，根據(jù)翻折對(duì)稱性可得BA′=AB=5. 如圖17，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)Q重合時(shí)，根據(jù)翻折對(duì)稱性可得A′D=AD=13，在Rt△A′CD中，A′D2=A′C2+CD2，即132=（13-A′B）2+52，解得A′B=1，所以點(diǎn)A′在BC上可移動(dòng)的最大距離為5-1=4.

設(shè)問(wèn)11 （2011江蘇徐州）如圖，將矩形紙片ABCD按如下的順序進(jìn)行折疊：對(duì)折，展平，得折痕EF（如圖18）；沿CG折疊，使點(diǎn)B落在EF上的點(diǎn)B′處（如圖19）；展平，得折痕GC（如圖20）；沿GH折疊，使點(diǎn)C落在DH上的點(diǎn)C′處（如圖21）；沿GC′折疊（如圖22）；展平，得折痕GC′，GH（如圖23）.

（1）求圖19中∠BCB′的大??；

（2）圖23中的△GCC′是正三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

設(shè)問(wèn)12 取一張矩形的紙進(jìn)行折疊，具體操作過(guò)程如下：

第一步：先把矩形ABCD對(duì)折，折痕為MN，如圖24所示；

第二步：把B點(diǎn)疊在折痕線MN上，折痕為AE，點(diǎn)B在MN上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，得Rt△AB′E，如圖25所示；

第三步：沿EB′線折疊得折痕EF，如圖26所示；展開圖如圖27所示.

探究 （1）△AEF是什么三角形？證明你的結(jié)論.

（2）對(duì)于任一矩形，按照上述方法是否都能折出這種三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）如圖28，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)A落在DC邊上的點(diǎn)A′處，x軸垂直平分DA，直線EF的表達(dá)式為y=kx-k（k<0）.

評(píng)析 前面題目的矩形紙片ABCD都是沿著對(duì)角線折疊方式進(jìn)行并提出問(wèn)題開展探究，通過(guò)改變折疊方式，設(shè)置問(wèn)題由易到難，題目綜合性增強(qiáng)，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維遷移能力，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識(shí)，并切實(shí)反映知識(shí)間的串聯(lián)關(guān)系，讓學(xué)生提升綜合解題能力，有助于鍛煉學(xué)生的邏輯思維，優(yōu)化思維品質(zhì)，培養(yǎng)創(chuàng)新精神，增強(qiáng)化生為熟、化繁為簡(jiǎn)的轉(zhuǎn)化意識(shí).

1. 試題的設(shè)問(wèn)應(yīng)具有多樣性，呈現(xiàn)方式應(yīng)豐富多彩，有文字、數(shù)字、表達(dá)式、圖形、圖象、表格等；試卷題型新穎別致、內(nèi)涵雋永、難易適中；試題內(nèi)容上應(yīng)體現(xiàn)探究性和思考性、針對(duì)性，能引導(dǎo)學(xué)生積極參與解題和熱烈討論，體現(xiàn)一定的解題思路和分析方法.

2. 試題以初中階段核心的內(nèi)容為載體，以四基為立足點(diǎn)，切實(shí)關(guān)注實(shí)際，培養(yǎng)學(xué)生能力的同時(shí)，加強(qiáng)知識(shí)間的縱橫類比與區(qū)別，且拓寬學(xué)生知識(shí)面的同時(shí)，有利于鞏固和加深所學(xué)知識(shí)的理解，達(dá)到活學(xué)活用的目的.

3. 試題的設(shè)問(wèn)以多元化、多途徑、開放式等為背景，能客觀、全面地測(cè)試學(xué)生觀察、操作、比較、概括、猜測(cè)、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)的水平，從而培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦的能力，活化思維，讓學(xué)生從被動(dòng)接受知識(shí)到主動(dòng)獲取知識(shí)，探究知識(shí)的形成過(guò)程.

4. 試題的設(shè)問(wèn)要發(fā)揮評(píng)價(jià)的導(dǎo)向功能，引導(dǎo)教師在教學(xué)方式的改變，在不斷了解學(xué)生的學(xué)情和教材的深化研究中修正、完善，進(jìn)一步提高試題的信度和效度，加強(qiáng)設(shè)問(wèn)的應(yīng)用性、創(chuàng)新性和綜合性，科學(xué)、合理、全面地體現(xiàn)新課程精神和學(xué)科特點(diǎn).

數(shù)學(xué)家笛卡兒說(shuō)過(guò)“我所解決的每一個(gè)問(wèn)題都成為一個(gè)模式，以用于解決其他相關(guān)的問(wèn)題. ”就題講題，教學(xué)枯燥；創(chuàng)新處理，師生活躍. 教師要調(diào)動(dòng)學(xué)生積極參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，要充分發(fā)揮例、習(xí)題的典型示范功能，讓學(xué)生從不同角度思考問(wèn)題、提出問(wèn)題，進(jìn)而解決問(wèn)題，可以通過(guò)多種方法的證明，優(yōu)化解題思路，起到舉一反三的效果；讓不同層次的學(xué)生在教師的引導(dǎo)下得到不同程度的提高，同時(shí)引起學(xué)生強(qiáng)烈的求異欲望和勇于創(chuàng)新的精神，體現(xiàn)“實(shí)現(xiàn)人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)；人人都獲得必需的數(shù)學(xué)；不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的新課程理念.