對(duì)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的思考、理解與實(shí)踐

[摘 要] 本文結(jié)合筆者教學(xué)實(shí)踐，對(duì)建模教學(xué)進(jìn)行了思考，闡述了自己對(duì)建模思想的獨(dú)到見(jiàn)解，并提出了實(shí)施建模思想的教學(xué)策略，供讀者參考.

[關(guān)鍵詞] 建模；理解；培養(yǎng)；意識(shí)

緣起

2012年9月起，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）正式實(shí)施，《標(biāo)準(zhǔn)》自然成為相關(guān)教育部門(mén)、教育專家特別是一線教師關(guān)注的焦點(diǎn). 《標(biāo)準(zhǔn)》提到10個(gè)核心概念：數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力、模型思想、空間觀念、幾何直觀、推理能力、數(shù)據(jù)分析觀念、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí). 這些核心概念都是數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)點(diǎn)，也應(yīng)該成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的目標(biāo). 所以教師應(yīng)解讀核心概念，落實(shí)課標(biāo)教學(xué). 筆者曾對(duì)核心概念做了重點(diǎn)學(xué)習(xí)，也曾將自己的理解認(rèn)識(shí)和實(shí)踐探索撰寫(xiě)成文：《解讀好核心概念，落實(shí)好課標(biāo)教學(xué)——例談〈標(biāo)準(zhǔn)〉課標(biāo)中“幾何直觀”的理解》等發(fā)于《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》2012年第10期.

《標(biāo)準(zhǔn)》中的建模教學(xué)

《標(biāo)準(zhǔn)》在實(shí)驗(yàn)稿課標(biāo)的基礎(chǔ)上正式提出了小學(xué)階段模型思想的基本理念和作用，更加明確了模型思想的重要意義. 數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)在呈現(xiàn)作為知識(shí)與技能的數(shù)學(xué)結(jié)果的同時(shí)，應(yīng)重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，尋求結(jié)果，解決問(wèn)題的過(guò)程，并對(duì)數(shù)學(xué)模型和模型思想的要求更加具體化，強(qiáng)調(diào)模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑. 這不僅表明了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，也明確了建立數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)應(yīng)用和解決問(wèn)題的核心，應(yīng)從小學(xué)數(shù)學(xué)就成為關(guān)注點(diǎn).

《標(biāo)準(zhǔn)》中10次提到建立數(shù)學(xué)模型和模型思想，指出：義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)，要充分考慮本學(xué)段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律和心理特征，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考；充分考慮數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)；在呈現(xiàn)作為知識(shí)與技能的數(shù)學(xué)結(jié)果的同時(shí)，重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，尋求結(jié)果，解決問(wèn)題的過(guò)程. 模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑. 建立和求解模型的過(guò)程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義. 這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí). 課程總體目標(biāo)提到經(jīng)歷數(shù)與代數(shù)的抽象、運(yùn)算與建模等過(guò)程，掌握數(shù)與代數(shù)的基本知識(shí)和基本技能. 學(xué)段目標(biāo)中提到通過(guò)代數(shù)式和方程等表示數(shù)量關(guān)系的過(guò)程，體會(huì)模型的思想，建立符號(hào)意識(shí)；能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型；結(jié)合實(shí)際情景，經(jīng)歷設(shè)計(jì)解決問(wèn)題的方案，并加以實(shí)施的過(guò)程，體驗(yàn)建立模型、解決問(wèn)題的過(guò)程，并在此過(guò)程中嘗試發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題. 《標(biāo)準(zhǔn)》中還強(qiáng)調(diào)：設(shè)計(jì)試題時(shí)，也應(yīng)該關(guān)注并且體現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)的設(shè)計(jì)思路中提到的模型思想等核心詞. 數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的呈現(xiàn)應(yīng)體現(xiàn)過(guò)程性，反映數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用過(guò)程，教材應(yīng)當(dāng)根據(jù)課程內(nèi)容，設(shè)計(jì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的活動(dòng)，這樣的活動(dòng)應(yīng)體現(xiàn)“問(wèn)題情境——建立模型——求解驗(yàn)證”的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程要有利于理解和掌握相關(guān)的知識(shí)技能，感悟數(shù)學(xué)思想，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；要有利于提高發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).

建模教學(xué)的思考

伴隨著實(shí)驗(yàn)稿課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施，歷經(jīng)十多年的課改，中學(xué)數(shù)學(xué)加強(qiáng)應(yīng)用能力的培養(yǎng)已獲得全社會(huì)的共識(shí)，作為解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的主要能力——數(shù)學(xué)建模能力也逐漸被教育工作者及一線教師所重視. 從教學(xué)的角度來(lái)看，筆者認(rèn)為，建模是一種新的學(xué)習(xí)方式，它為學(xué)生提供了自主的學(xué)習(xí)空間，有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的價(jià)值和作用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系，體驗(yàn)綜合運(yùn)用知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力. 而從實(shí)質(zhì)上講，數(shù)學(xué)建模教學(xué)過(guò)程不是簡(jiǎn)單的外部知識(shí)和內(nèi)部知識(shí)的疊加，而是一個(gè)師生之間反復(fù)交流、相互作用的過(guò)程. 所以影響數(shù)學(xué)建模教學(xué)的主要原因有兩個(gè)方面：教學(xué)雙邊，學(xué)生因素和教師因素.

（一）學(xué)生因素

1. 數(shù)學(xué)建模信心不足

數(shù)學(xué)建模是用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際生活中各種各樣的問(wèn)題，是一種創(chuàng)造性的勞動(dòng)，涉及各種心理活動(dòng). 現(xiàn)實(shí)中許多學(xué)生遇到數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，感到茫然，不知從何下手，產(chǎn)生害怕數(shù)學(xué)建模題的心理.筆者認(rèn)為，造成學(xué)生對(duì)解建模題沒(méi)有信心的主要原因是缺乏數(shù)學(xué)建模成功的體驗(yàn). 解決這一問(wèn)題的最好辦法是讓學(xué)生從簡(jiǎn)單應(yīng)用題開(kāi)始，樹(shù)立信心，經(jīng)歷理解簡(jiǎn)單情境、轉(zhuǎn)化語(yǔ)言、選擇模型、解決問(wèn)題等主要過(guò)程. 通過(guò)建模解簡(jiǎn)單應(yīng)用題，循序漸進(jìn)為復(fù)雜題目的成功建模打下良好的心態(tài)基礎(chǔ). 比如，遇到相對(duì)敘述復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題：

小明和同桌小聰在課后復(fù)習(xí)時(shí)，對(duì)課本“目標(biāo)與評(píng)定”中的一道思考題進(jìn)行了認(rèn)真探索. 如圖1，一架2.5米長(zhǎng)的梯子AB斜靠在豎直的墻AC上，這時(shí)點(diǎn)B到墻底端C的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么點(diǎn)B將向外移動(dòng)多少米？

（1）請(qǐng)你將小明對(duì)“思考題的解答補(bǔ)充完整：

（2）解完“思考題”后，小聰提出了如下兩個(gè)問(wèn)題：

【問(wèn)題一】在“思考題”中將“下滑0.4米”改為“下滑0.9米”，那么該題的答案會(huì)是0.9米嗎？為什么？

【問(wèn)題二】在“思考題”中，梯子的頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離，有可能相等嗎？為什么？請(qǐng)你解答小聰提出的這兩個(gè)問(wèn)題.

對(duì)于（1），這種明顯的方程模型學(xué)生求解起來(lái)很輕松，但對(duì)于（2），要根據(jù)題意建立勾股定理模型，通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證它是否符合題意，并在假設(shè)結(jié)論成立的條件下，建立一元二次方程模型，看看方程是否有實(shí)數(shù)解，這就有難度了，需要學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中循序漸進(jìn)提高建模信心和能力.

2. 數(shù)學(xué)抽象能力較弱

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，呈現(xiàn)在學(xué)生面前的習(xí)題總是數(shù)據(jù)簡(jiǎn)單、語(yǔ)言精練、學(xué)生能一目了然知道已知條件與所求的問(wèn)題. 而數(shù)學(xué)建模教學(xué)過(guò)程中，呈現(xiàn)在學(xué)生面前的是一個(gè)現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題，雖然文字貼近現(xiàn)實(shí)生活，但是題目相對(duì)較長(zhǎng)，數(shù)據(jù)相對(duì)較多，信息量較大，數(shù)量關(guān)系復(fù)雜并且有時(shí)顯得隱蔽，這就要求學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)閱讀理解的過(guò)程. 面對(duì)冗長(zhǎng)的非形式化的素材，許多學(xué)生感到困惑. 數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵是第一步驟，即將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，學(xué)生必須整理數(shù)據(jù)，簡(jiǎn)化現(xiàn)實(shí)問(wèn)題. 這就需要學(xué)生能從繁雜信息中提煉出抽象的有效信息，并對(duì)各項(xiàng)信息的內(nèi)在關(guān)系進(jìn)行分析，選用合理的數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題. 比如問(wèn)題：

溫州享有“中國(guó)筆都”之稱，其產(chǎn)品暢銷(xiāo)全球. 某制筆企業(yè)欲將n件產(chǎn)品運(yùn)往A，B，C三地銷(xiāo)售，要求運(yùn)往C地的件數(shù)是運(yùn)往A地件數(shù)的2倍，各地的運(yùn)費(fèi)如圖2所示. 設(shè)安排x件產(chǎn)品運(yùn)往A地.

（1）當(dāng)n=200時(shí)，

①根據(jù)信息填表：

②若運(yùn)往B地的件數(shù)不多于運(yùn)往C地的件數(shù)，總運(yùn)費(fèi)不超過(guò)4000元，有哪幾種運(yùn)輸方案？

（2）若總運(yùn)費(fèi)為5800元，求n的最小值.

解決此問(wèn)題時(shí)，學(xué)生面對(duì)大量的信息，可能會(huì)丈二和尚摸不著頭腦，此時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生逐步學(xué)會(huì)找準(zhǔn)“不多于”“不超過(guò)”等關(guān)鍵信息，進(jìn)而選用不等式模型解決問(wèn)題，當(dāng)然，這需要學(xué)生分清每種模型的特點(diǎn)以及必要的抽象能力.

3. 缺乏實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)模型的經(jīng)驗(yàn)

分析近年各?。ㄊ校┑闹锌碱}目，各地?cái)?shù)學(xué)建模應(yīng)用題的呈現(xiàn)形式是多種多樣的，有的以函數(shù)顯示，有的以方程顯示，有的以圖形顯示，有的以不等式顯示，有的以概率統(tǒng)計(jì)顯示，還有其他各種形式，但都從生活中的實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，創(chuàng)設(shè)情境. 例如有一道數(shù)學(xué)題：

某汽車(chē)城銷(xiāo)售某種型號(hào)的汽車(chē)，每輛進(jìn)貨價(jià)為25萬(wàn)元，市場(chǎng)調(diào)研表明，當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)為29萬(wàn)元時(shí)，平均每周能售出8輛，而當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)每降低0.15萬(wàn)元時(shí)，平均每周能多售出4輛. 如果設(shè)每輛汽車(chē)降價(jià)x萬(wàn)元，每輛汽車(chē)的銷(xiāo)售利潤(rùn)為y萬(wàn)元.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并在保證商家不虧本的前提下，寫(xiě)出x的取值范圍.

（2）假設(shè)這種汽車(chē)平均每周的銷(xiāo)售利潤(rùn)為w萬(wàn)元，試寫(xiě)出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（3）當(dāng)每輛汽車(chē)的定價(jià)為多少萬(wàn)元時(shí)，平均每周的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

該題的問(wèn)題情境就是汽車(chē)銷(xiāo)售的利潤(rùn)問(wèn)題，目的是考查學(xué)生利用函數(shù)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的能力. 學(xué)生需要將“問(wèn)題情境”的語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)式子表達(dá)關(guān)系. 這就需要知道進(jìn)貨價(jià)、銷(xiāo)售價(jià)、銷(xiāo)售利潤(rùn)的含義，才能很好地解決問(wèn)題.

中考中的數(shù)學(xué)建模題有時(shí)文字語(yǔ)言、有時(shí)符號(hào)語(yǔ)言、有時(shí)圖形語(yǔ)言，相互交織，這就對(duì)學(xué)生的閱讀理解和邏輯思維能力提出了一定的要求，但學(xué)生往往由于生活閱歷積累不夠，對(duì)問(wèn)題的背景感覺(jué)陌生，從而產(chǎn)生畏難情緒，難以成功建模.

（二）教師因素

1. 對(duì)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的理解存在偏差

數(shù)學(xué)建模教學(xué)是一個(gè)較新的事物，很多數(shù)學(xué)教師對(duì)此沒(méi)有學(xué)習(xí)和接觸，因而，數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的理解參差不齊. 比如，有的教師沒(méi)有體會(huì)到數(shù)學(xué)建模教學(xué)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程；有些教師認(rèn)為，數(shù)學(xué)建模與解數(shù)學(xué)應(yīng)用題無(wú)關(guān)；而有的教師認(rèn)為數(shù)學(xué)建模就是解數(shù)學(xué)應(yīng)用題. 對(duì)數(shù)學(xué)建模的這些片面性認(rèn)識(shí)給數(shù)學(xué)教師開(kāi)展數(shù)學(xué)建模教學(xué)帶來(lái)了很多困難.

2. 角色的轉(zhuǎn)換不到位

數(shù)學(xué)建模教學(xué)的基本特點(diǎn)要求教師選擇合理的建模問(wèn)題，精心創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索，發(fā)揮他們的想象力和創(chuàng)造力，并為學(xué)生提供參考和建議等. 數(shù)學(xué)建模是促使學(xué)生“從做中學(xué)”的一種重要方式，在建模教學(xué)活動(dòng)中，教師要放手讓學(xué)生去“做”，并且給他們自主選擇解題方法的權(quán)利.

不少教師認(rèn)為建模問(wèn)題一般都較為復(fù)雜，側(cè)重于綜合性知識(shí)、應(yīng)用性知識(shí)，懷疑中學(xué)生的解題能力，于是，將自己的解題過(guò)程講解給學(xué)生，失去了建模教學(xué)活動(dòng)的意義. 在建模教學(xué)活動(dòng)中，教師給學(xué)生以適時(shí)的引導(dǎo)是必要的，但主要的工作應(yīng)放手讓學(xué)生去做，要相信你的學(xué)生. 教師是建模教學(xué)活動(dòng)的組織者、參與者，而不是單純的示范者、傳道者. 因此，數(shù)學(xué)建模教學(xué)必將對(duì)教師的傳統(tǒng)角色提出挑戰(zhàn)，導(dǎo)致教師在教學(xué)理念、教學(xué)行為等方面發(fā)生變化.

3. 數(shù)學(xué)素質(zhì)有待提高

開(kāi)展數(shù)學(xué)建模教學(xué)，需要教師廣博的知識(shí)和較高的業(yè)務(wù)素質(zhì). 教師除了要了解數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展歷史、動(dòng)態(tài)變化，學(xué)習(xí)必要的數(shù)學(xué)建模理論外，還要探究如何把數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活，學(xué)會(huì)從教材中挖掘數(shù)學(xué)建模教學(xué)的素材，還要注意加強(qiáng)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系. 俗話說(shuō)“站得高，看得遠(yuǎn)”，教師還要有較高的數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)，特別是應(yīng)有高等數(shù)學(xué)知識(shí)，以便能用高觀點(diǎn)看待數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題，這樣更容易發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)中的建模素材. 在現(xiàn)實(shí)中，教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的好奇心、求知欲，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力，為學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)活躍的學(xué)習(xí)空間. 除此之外，教師還要加強(qiáng)建模教學(xué)方法研究，理解數(shù)學(xué)建模的重要思想和基本方法，把數(shù)學(xué)建模意識(shí)和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力統(tǒng)一起來(lái).

4. 改變對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)方式

數(shù)學(xué)建模教學(xué)為學(xué)生提供了自主學(xué)習(xí)的空間，有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的價(jià)值和作用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系，體驗(yàn)綜合運(yùn)用知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力. 而在數(shù)學(xué)建模教學(xué)過(guò)程中，有的教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的評(píng)價(jià)沒(méi)有改變，不注重過(guò)程，而只看結(jié)果. 如果學(xué)生最終沒(méi)能解出正確答案，教師則對(duì)教學(xué)效果不滿意，這都會(huì)影響數(shù)學(xué)建模教學(xué)的開(kāi)展.

學(xué)生是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的主體，教師是學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者與合作者. 教師要正確地認(rèn)識(shí)學(xué)生的個(gè)體差異，因材施教，使每個(gè)學(xué)生都在原有基礎(chǔ)上得到充分發(fā)展；要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，只有關(guān)注過(guò)程，教師才可能深入學(xué)生發(fā)展的進(jìn)程，及時(shí)了解學(xué)生在發(fā)展中遇到的問(wèn)題、所做出的努力以及獲得的進(jìn)步，這樣才有可能對(duì)學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展和提高進(jìn)行有效指導(dǎo)與評(píng)價(jià)，促進(jìn)發(fā)展的功能才能發(fā)揮作用. 與此同時(shí)，也只有在關(guān)注過(guò)程中，才能有效地幫助學(xué)生形成積極的學(xué)習(xí)態(tài)度、科學(xué)的探究精神，才能注重學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的情感體驗(yàn)、價(jià)值觀的形成，實(shí)現(xiàn)“知識(shí)與技能”“過(guò)程與方法”“情感態(tài)度與價(jià)值觀的全面發(fā)展”. 如果在整個(gè)建模教學(xué)過(guò)程中學(xué)生處于一種積極、活躍、興奮的狀態(tài)，并由此豐富了學(xué)生學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生獲取知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)能力的提高，這樣才能達(dá)到較好的學(xué)習(xí)效果.

模型教學(xué)的理解

實(shí)際上，不少學(xué)生或老師對(duì)“模型思想”“數(shù)學(xué)建?！泵Ｈ徊恢?，甚至產(chǎn)生畏懼感. 筆者認(rèn)為所謂“模型”指的是把研究對(duì)象的主要特征進(jìn)行抽象和簡(jiǎn)化. 模型的價(jià)值一方面在于能反映實(shí)際問(wèn)題中我們關(guān)心的某些因素，例如，艦艇模型在模型比賽中有真實(shí)艦艇一樣的外形特征、一樣的螺旋槳和一樣的馬達(dá)，能在水中航行，制造技術(shù)上也有等同之處. 再如樓房模型，從中可以看出房子的戶型和基本構(gòu)造，能更好地為購(gòu)房者提供參考. 另一方面，在成本上，模型要比原型低得多，但是艦艇模型不能用于戰(zhàn)斗，樓房模型不能用于住人，他們只是提供了一個(gè)低成本的、有價(jià)值的代替品.

《標(biāo)準(zhǔn)》中提到：所謂數(shù)學(xué)模型，就是根據(jù)特定的研究目的和問(wèn)題，采用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，去抽象地、概括地表征研究對(duì)象的主要特征、關(guān)系所形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu). 再通俗點(diǎn)，數(shù)學(xué)模型是將研究對(duì)象用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)出來(lái)，對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決有啟發(fā)作用. 在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)中，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來(lái)的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式，及各種圖表、圖形等都是數(shù)學(xué)模型.

比如：（1）基本公式，求梯形的面積，通常轉(zhuǎn)化為求“上底、下底和高”的模型、求“中位線和高”的模型或求“兩個(gè)三角形面積的差”的模型等. 又如，求利潤(rùn)，通常建立售價(jià)、成本、銷(xiāo)售量、利潤(rùn)這些量之間的等量關(guān)系式模型. （2）基本圖形，復(fù)雜圖形由幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形組合而成，建立基本圖形的解題模型有利于我們從復(fù)雜圖形中提煉出基本圖形，從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、逐個(gè)突破的目的. 例如，學(xué)了“相似三角形”之后，筆者和學(xué)生建立了如下五類圖形模型（如圖3），便于學(xué)生歸類建模解題. （3）基本輔助線，課本例題和習(xí)題為我們提供了很多基本的解題方法，其中一些典型的添加輔助線的方法通過(guò)數(shù)學(xué)建模，為我們分析類似問(wèn)題提供了思路，如圓中證切線“有交點(diǎn)，連半徑，證垂直；無(wú)交點(diǎn)，作垂直，證半徑”的輔助線模型.

在教學(xué)中，我們應(yīng)抓住這些建模材料，讓學(xué)生合作探究. 實(shí)踐證明，學(xué)生一旦靈活掌握一個(gè)模型，其應(yīng)用效率很高. “數(shù)學(xué)建模”就是通過(guò)建立模型的方法來(lái)求得問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程. 通俗地說(shuō)，建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程就是數(shù)學(xué)建模，其主要步驟如下：提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、模型假設(shè)、建立模型、求解模型、驗(yàn)證結(jié)果、問(wèn)題討論. 比如：

如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）三點(diǎn).

（1）求拋物線y=ax2+bx+c的解析式；

（2）若點(diǎn)M是該拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，求AM+OM的最小值.

分析解決：（2）求AM+OM的最小值問(wèn)題時(shí)，學(xué)生如果平時(shí)積累了這樣的“模型素材”，很容易化歸建立人教版八年級(jí)第12章軸對(duì)稱P42中“求到直線同側(cè)兩點(diǎn)距離最短問(wèn)題”的模型（如圖5），進(jìn)而求解模型，解決問(wèn)題.

教學(xué)實(shí)踐中，若能將數(shù)學(xué)及時(shí)地與生活實(shí)際相聯(lián)系，加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模思想的教學(xué)，將會(huì)提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 數(shù)學(xué)建模問(wèn)題貼近實(shí)際生活，往往一個(gè)問(wèn)題有很多種思路，有較強(qiáng)的趣味性、靈活性，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，可以觸發(fā)不同水平的學(xué)生在不同層次上的創(chuàng)造性，因此我們?cè)诮虒W(xué)中要不斷結(jié)合實(shí)際追求新知，發(fā)現(xiàn)、提出、分析并創(chuàng)造性地解決實(shí)際問(wèn)題. 下面筆者結(jié)合幾個(gè)具體案例說(shuō)明如何進(jìn)行模型教學(xué).

1. 結(jié)合課本素材，開(kāi)發(fā)建模課程

結(jié)合課本素材資源，一是將教材中的問(wèn)題進(jìn)行改變，如改變?cè)O(shè)問(wèn)方式，變換題設(shè)條件，互換條件、結(jié)論組成新的建模應(yīng)用問(wèn)題；二是針對(duì)課本中的背景或有一定應(yīng)用價(jià)值的數(shù)學(xué)建模應(yīng)用問(wèn)題.

例如，在講“有理數(shù)的乘法”時(shí)，第一部分就是學(xué)習(xí)有理數(shù)的乘法法則，教材是利用蝸牛爬行提出問(wèn)題進(jìn)行實(shí)驗(yàn)、探索、概括的步驟來(lái)得出法則的. 在教學(xué)中，我提出問(wèn)題：一只蝸牛在一條東西方向的路上爬行，它以每分鐘2厘米的速度向東爬行，能否確定它3分鐘后位于原來(lái)位置的哪個(gè)方向？與原來(lái)位置相距多少？（學(xué)生的答案中包括了全部可能的答案，我又問(wèn)他們是如何想出來(lái)的，并把他們的回答一一寫(xiě)在黑板上）這時(shí)，我介紹數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)思想和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，并結(jié)合這個(gè)問(wèn)題介紹數(shù)學(xué)建模的一般步驟：

（1）首先，由問(wèn)題的意思可以知道，求幾分鐘前和幾分鐘后的結(jié)果是用乘法來(lái)解答.

（2）對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)假設(shè)：①如果蝸牛一直以每分鐘2厘米的速度向東爬行，3分鐘后它在什么位置？②如果蝸牛一直以每分鐘2厘米的速度向西爬行，3分鐘后它在什么位置？③如果蝸牛一直以每分鐘2厘米的速度向東爬行，3分鐘前它在什么位置？④如果蝸牛一直以每分鐘2厘米的速度向西爬行，3分鐘前它在什么位置？

（3）根據(jù)四種假設(shè)的條件規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，列出算式分別進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)實(shí)際意思求出這個(gè)問(wèn)題的結(jié)果.

（4）引導(dǎo)學(xué)生觀察上述四個(gè)算式，歸納出有理數(shù)的乘法法則.

這樣不僅使學(xué)生學(xué)習(xí)了有理數(shù)的乘法法則，理解有理數(shù)的乘法法則，而且使學(xué)生學(xué)習(xí)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，并且對(duì)數(shù)學(xué)建模有一個(gè)初步的印象，為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模打下了良好的基礎(chǔ).

利用課本知識(shí)的教學(xué)，在學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)建模的思想，能夠使學(xué)生初步體會(huì)數(shù)學(xué)建模的思想，了解數(shù)學(xué)建模的一般步驟，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)建模的思想來(lái)處理實(shí)際中的某些問(wèn)題，提高其解決問(wèn)題的能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高.

2. 聯(lián)系社會(huì)生活，強(qiáng)化建模意識(shí)

在實(shí)際生活中，存在著豐富多彩的數(shù)學(xué)問(wèn)題，因此，在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，教師若想培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)，就應(yīng)善于聯(lián)系生活實(shí)際，引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際生活中. 所以，在初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，教師應(yīng)為學(xué)生創(chuàng)造更多地運(yùn)用知識(shí)的條件，為他們提供更多的實(shí)踐機(jī)會(huì)，讓學(xué)生自然而然地進(jìn)行知識(shí)運(yùn)用，積極思考、分析與解決實(shí)際問(wèn)題，從而感受到數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用意義.

實(shí)際上，在社會(huì)生活中，有不少問(wèn)題都能以構(gòu)建數(shù)學(xué)模型來(lái)解決，如住房問(wèn)題、保險(xiǎn)問(wèn)題、儲(chǔ)蓄問(wèn)題、成本與利潤(rùn)問(wèn)題、用水用電問(wèn)題、手機(jī)收費(fèi)問(wèn)題等，這些都是良好的數(shù)學(xué)建模素材，教師可靈活選取，巧妙融入建模教學(xué)中，以強(qiáng)化學(xué)生的建模意識(shí). 例如，在講“不等式的應(yīng)用”時(shí)，教師可聯(lián)系生活設(shè)計(jì)問(wèn)題：

李明買(mǎi)了一部新手機(jī)，想入網(wǎng)，其朋友肖亮介紹他用“神州行”卡，其收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為本地通話0.4元/分，來(lái)電顯示與月租費(fèi)全免；朋友劉軍推薦他入聯(lián)通130網(wǎng)，其收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為15元的月租費(fèi)，本地通話0.2元/分，來(lái)電顯示費(fèi)為6元/月. 李明的親戚、朋友多數(shù)在本地，且他想有來(lái)電顯示，那么選擇哪種更省錢(qián)？

解析：設(shè)李明每個(gè)月的通話時(shí)間為x分鐘，而話費(fèi)是y元/月，則有y1=0.4x；y2=0.2x+6+15=0.2x+21. 令0.4x=0.2x+21，解得x=105，即當(dāng)x=105，y2=y1；當(dāng)x>105，y1>y2；當(dāng)x<105，y1

這樣，通過(guò)以生活實(shí)例為背景來(lái)編擬數(shù)學(xué)應(yīng)用題，不但能調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還可讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的緊密關(guān)系，能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)分類討論思想，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí).

3. 加強(qiáng)實(shí)踐活動(dòng)，提高建模能力

教學(xué)不應(yīng)局限于課堂，還可向課外適當(dāng)拓展延伸，為學(xué)生提供更多的實(shí)踐機(jī)會(huì). 同樣，在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，課外實(shí)踐活動(dòng)也是不可忽視的. 教師可指導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)知識(shí)運(yùn)用到社會(huì)實(shí)踐中，在實(shí)踐中進(jìn)一步理解知識(shí)、升華知識(shí)，提高建模能力.

例如，在有關(guān)“利息”的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)后，教師可要求學(xué)生課后根據(jù)利率知識(shí)算算自家的儲(chǔ)蓄利息；在學(xué)習(xí)“面積計(jì)算公式”后，可要求學(xué)生算算教室面積，自己臥室、客廳等的面積；為增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)感知力，可讓學(xué)生對(duì)從家里至學(xué)校的間距加以估算，然后按照平時(shí)的速度算算所需時(shí)間；學(xué)習(xí)“平均數(shù)”后，可讓學(xué)生課后調(diào)查班級(jí)學(xué)生的身高，算算全班學(xué)生的平均身高，等等.

當(dāng)然，若想提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用意識(shí)，不可限定于某一知識(shí)點(diǎn)，還需展開(kāi)綜合性學(xué)習(xí)，進(jìn)行多方面的活動(dòng)，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力. 例如，開(kāi)展興趣小組活動(dòng)時(shí)，教師可適時(shí)引入哥尼斯堡七橋問(wèn)題，提出思考問(wèn)題：一個(gè)人如何才能一次性將七座橋走遍，而每一座橋僅走一次，且最終回至原點(diǎn)？若學(xué)生經(jīng)過(guò)思考后仍難以解決，教師再幫助解決. 這樣，學(xué)生不但可體驗(yàn)到模型建立的過(guò)程，而且可排除干擾因素，形成數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).

4. 與時(shí)俱進(jìn)，介紹建模方法

國(guó)家大事、社會(huì)熱點(diǎn)、市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中涉及諸如成本、利潤(rùn)、投標(biāo)及股份制等都是初中數(shù)學(xué)建模問(wèn)題的好素材，適當(dāng)選取并融入教學(xué)活動(dòng)中，使學(xué)生掌握相關(guān)類型的建模方法，不僅可以使學(xué)生樹(shù)立正確的經(jīng)濟(jì)觀念，還會(huì)為日后能主動(dòng)以數(shù)學(xué)的意識(shí)、方法、手段處理問(wèn)題提供能力準(zhǔn)備.

例如，根據(jù)《關(guān)于修改〈中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法〉的決定》的規(guī)定，公民全月工資、薪金所得不超過(guò)3500元的部分不必納稅，超過(guò)3500元的部分為全月應(yīng)納所得額，月個(gè)人所得稅按如下方法計(jì)算：月個(gè)人所得稅=（月工資薪金收入-3500）×適用率-速算扣除數(shù). （適用率指相應(yīng)級(jí)數(shù)的稅率）

某工程師2013年2月份的工資介于5000至8000元之間，且繳納個(gè)人所得稅245元，試問(wèn)這位工程師這個(gè)月的工資是多少？

這是一個(gè)列方程類的應(yīng)用題，本題把時(shí)下的熱點(diǎn)個(gè)人所得稅問(wèn)題巧妙地融于其中，不僅使學(xué)生從中學(xué)到數(shù)學(xué)建模的方法，也讓學(xué)生體會(huì)了數(shù)學(xué)的社會(huì)化功能.

5. 數(shù)學(xué)游戲，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識(shí)

成功的“數(shù)學(xué)建模”離不開(kāi)對(duì)生活中發(fā)生的現(xiàn)象進(jìn)行細(xì)致地觀察、認(rèn)真地記錄，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對(duì)材料進(jìn)行加工分析，大膽地猜想和不斷地提出問(wèn)題，并加以嚴(yán)密地論證再回到實(shí)踐中接受檢驗(yàn)，不斷地修正和完善，從而得出具有較高精度和一定指導(dǎo)價(jià)值的結(jié)論等重要環(huán)節(jié). 顯然，在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，實(shí)踐性處于第一位. 數(shù)學(xué)游戲有豐富的素材，如幻方、稱球、速算、擲骰子等，還可結(jié)合教材內(nèi)容適時(shí)提出游戲規(guī)則，讓學(xué)生在做游戲的過(guò)程中學(xué)到數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和思想. 例如，將編號(hào)依次為1，2，3，4的四個(gè)同樣的小球放進(jìn)一個(gè)不透明的袋子中，搖勻后甲、乙二人做如下游戲：每人從袋子中各摸出一個(gè)球，然后將這兩個(gè)球上的數(shù)字相乘，若積為奇數(shù)，則甲獲勝；若積為偶數(shù)，則乙獲勝. 請(qǐng)問(wèn)：這樣的游戲規(guī)則對(duì)甲、乙雙方公平嗎？請(qǐng)用概率的知識(shí)說(shuō)明理由.

6. 跨學(xué)科選題，提升學(xué)生用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的能力

現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，使數(shù)學(xué)敞開(kāi)了一個(gè)又一個(gè)沉睡于定性分析的科學(xué)大門(mén)，促進(jìn)了各學(xué)科的數(shù)學(xué)化趨勢(shì). 初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，還可以選取其他學(xué)科的應(yīng)用題，利用數(shù)學(xué)工具，解決其他學(xué)科的難題，從而達(dá)到數(shù)學(xué)建模教學(xué)的目標(biāo).

總之，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決各類實(shí)際問(wèn)題時(shí)，建立數(shù)學(xué)模型是十分關(guān)鍵的一步，同時(shí)也是十分困難的. 建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程是把錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過(guò)程. 數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)與實(shí)際問(wèn)題的橋梁，數(shù)學(xué)建模具有難度大、涉及面廣、形式靈活、對(duì)教師和學(xué)生要求高等特點(diǎn)，數(shù)學(xué)建模的教學(xué)本身是一個(gè)不斷探索、不斷創(chuàng)新、不斷完善和提高的過(guò)程. 數(shù)學(xué)建模教學(xué)的目標(biāo)是：通過(guò)教學(xué)使學(xué)生了解利用數(shù)學(xué)理論和方法分析和解決問(wèn)題的全過(guò)程，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)與能力，使他們?cè)谝院蟮墓ぷ髦心芙?jīng)常性地想到用數(shù)學(xué)去解決問(wèn)題. 為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，上述教學(xué)方式僅是引玉之磚，供讀者參考.