全面把握標(biāo)準(zhǔn)精神，正確處理四個(gè)關(guān)系

[摘 要] 數(shù)學(xué)教學(xué)中存在著多種關(guān)系，這些關(guān)系直接影響著課堂教學(xué)的效果. 本文作者結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐，從面向全體與關(guān)注個(gè)體差異的關(guān)系、合情推理與演繹推理之間的關(guān)系、結(jié)果與過(guò)程的關(guān)系以及預(yù)設(shè)與生成的關(guān)系四方面進(jìn)行了詳細(xì)闡述.

[關(guān)鍵詞] 課程標(biāo)準(zhǔn)；數(shù)學(xué)教學(xué)；處理關(guān)系；形成過(guò)程

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）無(wú)論從課程的性質(zhì)、基本理念、課程目標(biāo)、課程內(nèi)容到實(shí)施，與2001年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》相比都有較大的變化. 為了更好地落實(shí)《標(biāo)準(zhǔn)》的理念，實(shí)現(xiàn)它所提出的各項(xiàng)目標(biāo)，教師要在深入學(xué)習(xí)和研究《標(biāo)準(zhǔn)》的基礎(chǔ)上，充分認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)課程改革的理念和目標(biāo)，全面把握其精神，正確處理以下四個(gè)關(guān)系.

《標(biāo)準(zhǔn)》在界定課程的性質(zhì)時(shí)指出“義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程是培養(yǎng)公民素質(zhì)的基礎(chǔ)課程，具有基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性.” 它所規(guī)定的課程目標(biāo)是全體學(xué)生經(jīng)過(guò)努力都能實(shí)現(xiàn)的“底線”要求. 數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)致力于實(shí)現(xiàn)《標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定的培養(yǎng)目標(biāo)，做到面向全體學(xué)生，促使每一個(gè)學(xué)生都能有所發(fā)展，實(shí)現(xiàn)“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育”的目標(biāo).

一提到面向全體，有人就在想，我應(yīng)該把教學(xué)的難度定位在“優(yōu)等生”“學(xué)困生”還是“中等生”？假如這樣思考，面向全體就成了一個(gè)“悖論”. 我們認(rèn)為“面向全體”不只體現(xiàn)在教學(xué)難度上，主要是落實(shí)在學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)重點(diǎn)、學(xué)習(xí)難點(diǎn)的確定上，落實(shí)在探究活動(dòng)、練習(xí)題的設(shè)計(jì)上. 所以教師應(yīng)圍繞這些方面精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，為學(xué)生提供足夠的時(shí)間和空間使其經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程，做到盡可能地激發(fā)全體學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)每一位學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，從而讓他們主動(dòng)參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中來(lái)，這就是我們倡導(dǎo)的面向全體. 只有在這樣的過(guò)程中，所有的學(xué)生才能充分發(fā)表自己的意見(jiàn)，做到“清晰地表達(dá)自己的想法”，不斷“養(yǎng)成認(rèn)真勤奮、獨(dú)立思考、合作交流、反思質(zhì)疑等學(xué)習(xí)習(xí)慣”.

不可否認(rèn)，學(xué)生的智力水平、學(xué)習(xí)水平是有差異的. 特別是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的個(gè)體差異表現(xiàn)得尤為突出，甚至相當(dāng)嚴(yán)重. 對(duì)于這些差異，教師必須下大力氣去研究并在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程中加以區(qū)別對(duì)待，不可搞“一刀切”. 我們認(rèn)為教師在教學(xué)中要特別關(guān)注與幫助學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生，設(shè)法鼓勵(lì)他們主動(dòng)參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，并嘗試用自己的方式解決問(wèn)題、發(fā)表自己的看法. 在學(xué)習(xí)過(guò)程中，雖然他們可能會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的問(wèn)題，但是教師一定要善于發(fā)現(xiàn)他們的閃光點(diǎn)，充分肯定他們的點(diǎn)滴進(jìn)步，以期不斷增強(qiáng)其學(xué)習(xí)的興趣和信心，千萬(wàn)不可打擊其積極性. 對(duì)學(xué)有余力并對(duì)數(shù)學(xué)有興趣的學(xué)生，教師應(yīng)為他們單獨(dú)“加餐”，以杜絕“吃不飽”的現(xiàn)象發(fā)生. 如為他們提供足夠的材料和發(fā)展空間，指導(dǎo)他們進(jìn)行閱讀和思考，從而發(fā)展其數(shù)學(xué)才能.

究竟怎樣才能做到既面向全體又關(guān)注個(gè)體差異呢？這是一個(gè)永遠(yuǎn)都不能結(jié)題的“課題”. 我們認(rèn)為，面向全體時(shí)重要的不是教學(xué)難度的定位，而是教學(xué)方法的改革；不是灌輸，而是啟發(fā). 教師要解決這個(gè)問(wèn)題就應(yīng)著眼于教學(xué)過(guò)程. 實(shí)踐證明，下面的做法就比較成功.

（1）在設(shè)計(jì)課堂提問(wèn)時(shí)，要針對(duì)不同學(xué)生的情況提出不同的問(wèn)題，對(duì)學(xué)習(xí)水平相對(duì)高的學(xué)生可適當(dāng)“提高”，對(duì)學(xué)習(xí)水平中等的學(xué)生可逐步“升級(jí)”，對(duì)學(xué)習(xí)水平相對(duì)較弱的“困難學(xué)生”可適當(dāng)“降級(jí)”，以滿足不同水平學(xué)生的需要. 教師雖然無(wú)法為每一位學(xué)生設(shè)計(jì)一套問(wèn)題，但可以做到設(shè)計(jì)的問(wèn)題有層次和梯度的區(qū)別，并根據(jù)問(wèn)題的難易程度提問(wèn)不同水平的學(xué)生，從而做到兼顧每一位學(xué)生.

（2）在實(shí)行分組教學(xué)時(shí)，不把同質(zhì)的學(xué)生放在一個(gè)組，而是采取讓異質(zhì)的學(xué)生同組，這樣的安排能使不同的學(xué)生在組內(nèi)根據(jù)不同的傾向扮演不同的角色，確保他們?cè)谡故緜€(gè)性的過(guò)程中充分發(fā)揮自己的潛能.

（3）同樣的課，有不同層次的解決，不必要求千篇一律，重要的是要讓學(xué)生覺(jué)得有趣. 學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容一旦有了興趣，就會(huì)出現(xiàn)“百花齊放”的局面，這也正是面向全體和關(guān)注差異所希望的結(jié)果.

（4）在學(xué)完一節(jié)（章）內(nèi)容后，可根據(jù)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的規(guī)律圍繞一個(gè)中心知識(shí)點(diǎn)設(shè)計(jì)“復(fù)習(xí)與鞏固”“拓展與延伸”“探索與創(chuàng)新”三組不同水平的題目，其中前兩組供全體學(xué)生解答，后一組供學(xué)有余力的學(xué)生選用. 這樣的安排能幫助學(xué)生鞏固、理解所學(xué)知識(shí)，獲得基本技能，還能促使少數(shù)優(yōu)等生更好地發(fā)展. 即使同一道題，也要考慮分層次，不要“一刀切”，否則容易挫傷“困難學(xué)生”的學(xué)習(xí)積極心，使他們喪失學(xué)習(xí)信心. 這樣做符合《標(biāo)準(zhǔn)》提出的“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同發(fā)展”的課程理念.

案例1 “最多能生產(chǎn)多少套衣服”

天泉村有兩家服裝廠生產(chǎn)同一規(guī)格的上衣和褲子. 甲廠每月（按30天計(jì)算，以下同）用16天生產(chǎn)上衣，14天做褲子，共生產(chǎn)448套衣服（每套包括上衣、褲子各一件）；乙廠每月用12天生產(chǎn)上衣，18天做褲子，共生產(chǎn)720套衣服. 兩廠合并后，每月按現(xiàn)有能力最多能生產(chǎn)多少套衣服？

這是一個(gè)非常有趣的實(shí)際問(wèn)題，也是一個(gè)具有一定難度的問(wèn)題. 考慮到學(xué)生接受能力不同的實(shí)際，在學(xué)習(xí)完用方程組的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題之后，可以安排這道題，主要是供學(xué)有余力的學(xué)生思考.

對(duì)于全體學(xué)生，都要求能得到結(jié)論：甲廠每天能生產(chǎn)上衣28件或生產(chǎn)褲子32條. 乙廠每天能生產(chǎn)上衣60件或生產(chǎn)褲子40條.？搖對(duì)于大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)，從自己的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析和認(rèn)真思考，能得到下面的解答（1）和（2）.

解答：（1）如果甲廠每月用30天生產(chǎn)上衣，乙廠每月用x天生產(chǎn)上衣，y天生產(chǎn)褲子，則x+y=30，40y=60x+30×28，解得x=3.6，y=26.4，26.4×40=1056（件）.？搖

（2）如果甲廠每月用30天生產(chǎn)褲子，乙廠每月用x天生產(chǎn)上衣，y天生產(chǎn)褲子，則x+y=30，60x=40y+32×30，解得x=21.6，y=8.4，21.6×60=1296（件）.？搖

第（1）種安排方案雖然本身并沒(méi)有什么問(wèn)題，但是如果這樣安排卻沒(méi)有充分發(fā)揮甲廠的優(yōu)勢(shì)，所得到的結(jié)果不是最優(yōu)的. 所以應(yīng)選擇第（2）種方案，故兩廠合并后，每月按現(xiàn)有能力最多能生產(chǎn)1296套衣服.

對(duì)于極少數(shù)的同學(xué)，可能認(rèn)為還應(yīng)該有以下兩種情況：

（3）如果乙廠每月用30天生產(chǎn)上衣，甲廠每月用x天生產(chǎn)上衣，y天生產(chǎn)褲子，則x+y=30，28x+30×60=32y，解得x=-14，y=44，不符合實(shí)際.

（4）如果乙廠每月用30天生產(chǎn)褲子，甲廠每月用x天生產(chǎn)上衣，y天生產(chǎn)褲子，則x+y=30，28x=32y+30×40，解得x=36，y=-6，不符合實(shí)際.

這兩種情況顯然不符合實(shí)際，應(yīng)該舍去. 但是學(xué)生能得到這兩種情況，其思考問(wèn)題的能力會(huì)得到一定程度的“升華”與進(jìn)步，這也是我們希望看到的.

推理能力是《標(biāo)準(zhǔn)》提出的十大核心概念之一，并且強(qiáng)調(diào)指出：“推理是數(shù)學(xué)的基本思維形式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式. 推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)，通過(guò)歸納和類比等推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算. 在解決問(wèn)題的過(guò)程中，兩種推理功能不同，但相輔相成. 合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論.” 由此可以看出，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)既培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力，又培養(yǎng)他們的合情推理能力.

楊振寧先生曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“我很有幸能夠在兩個(gè)具有不同文化背景的國(guó)度里學(xué)習(xí)和工作，我在中國(guó)學(xué)到了演繹推理，我在美國(guó)學(xué)到了歸納推理.” 可以說(shuō)，熟練地進(jìn)行這兩種推理是楊振寧先生取得巨大成功的條件之一. 正因?yàn)槿绱?，楊振寧先生主張中?guó)學(xué)生不僅要學(xué)會(huì)演繹法，更要掌握歸納法. 在教學(xué)中如何處理二者的關(guān)系，使學(xué)生的兩種推理能力都得到相應(yīng)的提高呢？

《標(biāo)準(zhǔn)》提出“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中.” 具體落實(shí)到數(shù)學(xué)課堂中，就是要“彰顯過(guò)程”，即引導(dǎo)學(xué)生做數(shù)學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與應(yīng)用過(guò)程，因?yàn)閷W(xué)生在經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中，能發(fā)展其合情推理能力和初步的演繹推理能力，并能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn).

案例2 “兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”的證明過(guò)程

在數(shù)學(xué)性質(zhì)（定理）的教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生搞清它們的來(lái)源，分清它們的條件和結(jié)論，弄清抽象、概括或證明的過(guò)程. 在探求證明的過(guò)程時(shí)，可采用直觀操作和推理論證相結(jié)合的方式.

對(duì)于平行四邊形的判定定理“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”，教師在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)，不可直接給出證明，要設(shè)法讓學(xué)生先發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論，然后再給出證明. 讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)的方法有許多，為突出數(shù)學(xué)的直觀性，可選擇讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作（剪、拼接硬紙片三角形）的方式來(lái)發(fā)現(xiàn)，同時(shí)把論證作為學(xué)生探索活動(dòng)的自然延伸和必要的發(fā)展，讓學(xué)生在拼接硬紙片三角形的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)證明該定理的思路. 具體操作、探索過(guò)程為：

（1）如圖1，剪兩個(gè)一樣大的三角形硬紙片ABC，A′B′C′（三邊都不相等的）；

（2）用這兩個(gè)三角形拼成四邊形（如圖2），觀察所得到的四邊形的特點(diǎn)，你能得到怎樣的猜想？相互交流自己的結(jié)論；

（3）證明所得到的猜想，將其歸納成一般結(jié)論.

學(xué)生通過(guò)操作可以發(fā)現(xiàn)，在圖3中，已知AB=CD，且BC=AD，要證明四邊形ABCD是平行四邊形，只需連結(jié)AC，并證明△ABC與△CDA全等即可. 這個(gè)證明思路就是在拼接三角形紙片的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的，學(xué)生一旦發(fā)現(xiàn)這個(gè)思路，詳細(xì)的證明過(guò)程就容易了. 這樣的安排比教師直接添加輔助線AC，然后給出證明要有意義得多，因?yàn)橹苯痈嬖V學(xué)生添加輔助線的證明只是解決了證明的問(wèn)題，至于為什么要連結(jié)AC，學(xué)生并沒(méi)有真正搞清楚.

從上面的引導(dǎo)過(guò)程看，學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作會(huì)自己發(fā)現(xiàn)“添加輔助線AC”是證明的關(guān)鍵一步，也就是說(shuō)，上面的操作安排除了能讓學(xué)生完成證明外，還能培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的能力，而這正是合情推理能力的表現(xiàn). 我們廣大的數(shù)學(xué)教師應(yīng)把既教會(huì)學(xué)生猜想，又能把握證明，既能合情推理，又能嚴(yán)格論證作為教學(xué)的指導(dǎo)思想.

結(jié)果與過(guò)程的關(guān)系

結(jié)果與過(guò)程的關(guān)系是教學(xué)過(guò)程中一對(duì)十分重要的關(guān)系，與這一關(guān)系相關(guān)的還有：學(xué)習(xí)與思考、學(xué)會(huì)與會(huì)學(xué)、知識(shí)與智力、繼承與創(chuàng)新等關(guān)系. 從學(xué)科本身來(lái)講，結(jié)論表示的是該學(xué)科的結(jié)果，而過(guò)程則體現(xiàn)著該學(xué)科的探究過(guò)程與探究方法. 結(jié)論與過(guò)程是相互作用、相互依存、相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系，有什么樣的探究過(guò)程就有什么樣的探究結(jié)論，結(jié)論的獲得往往依賴于特定的探究過(guò)程. 二者的有機(jī)結(jié)合才能體現(xiàn)一門學(xué)科的整體內(nèi)涵和思想. 大部分教師都已經(jīng)認(rèn)識(shí)到“重結(jié)論、輕過(guò)程”的教學(xué)效果是不理想的，在教學(xué)中他們也在試圖努力展現(xiàn)知識(shí)的形成過(guò)程，因?yàn)檫@樣的授課需要教師創(chuàng)造性地使用教材，往往要用較長(zhǎng)的時(shí)間進(jìn)行備課準(zhǔn)備，所以很多教師不能“持之以恒”. 目前的授課仍然是以教師講“結(jié)論”為主，這樣的教學(xué)掩蓋、湮沒(méi)了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)創(chuàng)造、數(shù)學(xué)真實(shí)應(yīng)用的思維活動(dòng)，學(xué)生學(xué)到的只能是“死”的知識(shí)，不能靈活地將所學(xué)知識(shí)運(yùn)用到新的情境中.

為徹底改變這一現(xiàn)狀，《標(biāo)準(zhǔn)》明確指出“數(shù)學(xué)課程目標(biāo)包括結(jié)果目標(biāo)和過(guò)程目標(biāo)”. 結(jié)果目標(biāo)使用“了解”“理解”“掌握”“運(yùn)用”等行為動(dòng)詞表述，過(guò)程目標(biāo)使用“經(jīng)歷”“體驗(yàn)”“探索”等行為動(dòng)詞表述. 由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)教學(xué)展現(xiàn)知識(shí)形成過(guò)程是極其重要的，也是非常必要的. 這就要求教師以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行深加工，通過(guò)二次改造，按照“問(wèn)題情境——建立模型——求解驗(yàn)證”的思路指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行積極思考與探索. 教師通過(guò)創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境，能引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的建立過(guò)程、運(yùn)算法則及定律的歸納過(guò)程、數(shù)學(xué)命題的發(fā)現(xiàn)過(guò)程、解（證）數(shù)學(xué)題目時(shí)思路的分析過(guò)程等，讓他們以“再發(fā)現(xiàn)”和“再創(chuàng)造”的方式經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程. 在這個(gè)過(guò)程中，一方面，學(xué)生能容易地自己發(fā)現(xiàn)并掌握知識(shí)、形成技能，更好地體驗(yàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容中的情感，使原來(lái)枯燥、抽象的知識(shí)變得生動(dòng)形象；另一方面，學(xué)生在應(yīng)用這些知識(shí)解決新的實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中能達(dá)到鞏固知識(shí)、發(fā)展技能的目的，并獲得對(duì)這些知識(shí)所蘊(yùn)涵的基本數(shù)學(xué)思想的感悟、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累和積極向上的情感體驗(yàn).

為此，教師應(yīng)把數(shù)學(xué)概念的建立過(guò)程、運(yùn)算法則及定律的歸納過(guò)程、數(shù)學(xué)命題的發(fā)現(xiàn)過(guò)程、解（證）數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)思路的分析過(guò)程等充分地“暴露”給學(xué)生. 例如，數(shù)學(xué)概念是重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，許多教師對(duì)概念的教學(xué)采取的是“定義+例題”的方式，實(shí)質(zhì)上是在“滿堂灌”，最后只能導(dǎo)致學(xué)生是“知其然，而不知其所以然”. 事實(shí)上，一個(gè)概念的形成往往伴隨著數(shù)學(xué)模型的建立過(guò)程，所以一定要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的建立過(guò)程.

案例3 “零指數(shù)冪”的建立過(guò)程

“零指數(shù)冪”的意義是一種“規(guī)定”，但教學(xué)中不能單純地要求學(xué)生記住這個(gè)“規(guī)定”，并進(jìn)行相應(yīng)操練，而應(yīng)根據(jù)學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)適合探究的問(wèn)題，盡量充分地展開(kāi)“過(guò)程”，引導(dǎo)學(xué)生感悟這種“規(guī)定”的合理性. 這個(gè)概念的建立過(guò)程可分為以下三步.

（1）提出猜想：20=1

零指數(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一，教學(xué)時(shí)一定要把引入的合理性體現(xiàn)出來(lái)，為此，可這樣引導(dǎo)：

①讓學(xué)生計(jì)算22÷22. 啟發(fā)學(xué)生分別用除法和同底數(shù)冪除法的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，從而得到下面的結(jié)果：22÷22=1或22÷22=22-2=20.

②提問(wèn)學(xué)生：怎樣解釋用不同的方法計(jì)算同一個(gè)題目會(huì)得到兩種不同的答案？

③學(xué)生猜想：為了使被除式的指數(shù)等于除式的指數(shù)時(shí)，同底數(shù)冪除法的運(yùn)算性質(zhì)也能使用，應(yīng)當(dāng)有20=1.

（2）質(zhì)疑這個(gè)猜想是否合理，并通過(guò)多種途徑引導(dǎo)學(xué)生感受猜想的合理性.

用細(xì)胞分裂作為情境，提出問(wèn)題：一個(gè)細(xì)胞分裂1次變2個(gè)，分裂2次變4個(gè)，分裂3次變8個(gè)……那么一個(gè)細(xì)胞沒(méi)有分裂時(shí)個(gè)數(shù)為多少？

如圖4，觀察數(shù)軸上表示2的正整數(shù)次冪——16，8，4，2…的點(diǎn)的位置變化，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

觀察下列式子中指數(shù)、冪的變化：

24=16，23=8，22=4，21=2，2（ ）=1.

你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

通過(guò)探索活動(dòng)，學(xué)生能比較充分地感受到“20=1”的合理性，于是做出“零指數(shù)冪”意義的“規(guī)定”：a0=1（a≠0）.

（3）驗(yàn)證這個(gè)規(guī)定與原有“冪的運(yùn)算性質(zhì)”是相容、和諧的.

運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)：a5÷a0=a5-0=a5；

根據(jù)零指數(shù)冪意義的規(guī)定：a5÷a0=a5÷1=a5.

這樣引入“零指數(shù)冪”的概念，學(xué)生將經(jīng)歷如下的過(guò)程：面對(duì)挑戰(zhàn)→提出猜想（“規(guī)定”）→說(shuō)明猜想的合理性→做出“規(guī)定”→驗(yàn)證這種“規(guī)定”與原有知識(shí)體系的和諧性→數(shù)學(xué)得到進(jìn)一步發(fā)展. 這樣設(shè)計(jì)“零指數(shù)冪”的教學(xué)過(guò)程，能充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)自身發(fā)展的軌跡，有助于學(xué)生感受數(shù)學(xué)是如何在自身的矛盾運(yùn)動(dòng)中不斷得到發(fā)展的.

學(xué)生經(jīng)歷了上述探索過(guò)程，不僅能理解、掌握“零指數(shù)冪”的意義，還能借助學(xué)習(xí)“零指數(shù)冪”所獲得的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，科學(xué)地探究其他相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這一點(diǎn)對(duì)于形成學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)是非常必要的. 在教學(xué)中，教師應(yīng)抓住一些典型的知識(shí)點(diǎn)，努力引導(dǎo)學(xué)生沿著科學(xué)家的足跡，尋求解決問(wèn)題的方法，探索豐富多彩的自然現(xiàn)象中所蘊(yùn)藏的規(guī)律，使學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)完整的科學(xué)研究過(guò)程.

預(yù)設(shè)與生成的關(guān)系

教學(xué)從本質(zhì)上講就是預(yù)設(shè)和生成的矛盾統(tǒng)一體. “預(yù)設(shè)”是指在深入研究相關(guān)材料（主要指《標(biāo)準(zhǔn)》、數(shù)學(xué)教材和相應(yīng)的教學(xué)參考用書(shū)）的基礎(chǔ)上，在對(duì)學(xué)生的學(xué)情進(jìn)行科學(xué)分析的前提下進(jìn)行的“有形設(shè)計(jì)”，即我們平常所說(shuō)的學(xué)案. “生成”包括兩方面的含義：一方面是教師要通過(guò)啟發(fā)式的教授，引導(dǎo)學(xué)生明確所要思考和解決的問(wèn)題；另一方面是指教師要仔細(xì)觀察學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的各種表現(xiàn)和反應(yīng)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)并捕捉一些出乎意料的信息，充實(shí)并補(bǔ)充到課堂教學(xué)之中.

預(yù)設(shè)是非常必要的，沒(méi)有預(yù)設(shè)，課堂教學(xué)就有可能失控，難以完成教學(xué)任務(wù). 但在課堂教學(xué)中，教師如果按照預(yù)設(shè)方案不走樣地加以實(shí)施，并且要求學(xué)生必須按教案中的設(shè)想進(jìn)行回答，則會(huì)排斥學(xué)生的個(gè)性思考，抹殺學(xué)生的創(chuàng)造智慧，這是違背《標(biāo)準(zhǔn)》理念的.

教師要認(rèn)真研究教材和學(xué)生，精心設(shè)計(jì)學(xué)案，既要積極地按照計(jì)劃、預(yù)設(shè)推進(jìn)，也要及時(shí)發(fā)現(xiàn)即時(shí)生成的教學(xué)資源，并通過(guò)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考，隨著學(xué)生思維的拓展、心態(tài)的逆轉(zhuǎn)和情緒的波動(dòng)，敏銳地把握各種教育契機(jī)，捕捉課堂中出現(xiàn)的問(wèn)題、疑難、困惑，適時(shí)加以引導(dǎo)、深化，創(chuàng)造性地加以重組，以形成新的數(shù)學(xué)知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn). 實(shí)現(xiàn)有效的動(dòng)態(tài)生成，保證課堂教學(xué)的優(yōu)質(zhì)與高效并存.

案例4 “三角形的內(nèi)角和等于180°”的教學(xué)片段

這是數(shù)學(xué)中的一個(gè)定理，大部分教材都是通過(guò)“拼接”圖形的方法“直觀”得到的. 教師備課時(shí)考慮的拼接方法如圖5所示，將∠A、∠B剪下拼到點(diǎn)C處，于是得到∠A+∠B+∠C=180°.

上課時(shí)，有的學(xué)生提出了如圖6所示的剪拼方法. （事實(shí)上，這種方法與圖5是一樣的，教師便及時(shí)鼓勵(lì)了這個(gè)學(xué)生）

還有一個(gè)學(xué)生是這樣拼的：如圖7，只把∠A移動(dòng)拼在∠C處，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可得到∠A+∠B+∠C=180°.

這種拼接方法是教師預(yù)設(shè)時(shí)沒(méi)有想到的. 教師及時(shí)問(wèn)這個(gè)學(xué)生“你是怎么知道兩直線平行的？”這個(gè)學(xué)生說(shuō)由圖7的拼法可以發(fā)現(xiàn)：把∠A剪下并拼到點(diǎn)C處時(shí)，得到∠A=∠A，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，可以得到兩直線平行.

教師又問(wèn)：怎樣證明你的結(jié)論？

學(xué)生：過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E（如圖8），因?yàn)镃D∥AB，所以∠1=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∠2=∠B（兩直線平行，同位角相等）. 又因?yàn)椤螦CB+∠1+∠2=180°（平角意義），所以∠A+∠B+∠C=180°.

教師：你是怎樣想到過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線CD的？

學(xué)生：如果兩直線平行，那么∠A=∠1，就相當(dāng)于把∠A剪下并拼到點(diǎn)C處. 這樣，我們就得到了圖8所示的作平行線的方法.

至此，對(duì)這個(gè)問(wèn)題的探討似乎已經(jīng)很好了，出現(xiàn)了“生成”的資源，教師也把這一意外“收獲”巧妙地融入課堂中了. 可又有一個(gè)學(xué)生舉手回答說(shuō)：我們受到拼圖7的啟發(fā)，如圖9，過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB. 因?yàn)镃D∥AB，所以∠ACD=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∠B+∠BCD=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）. 所以∠A+∠B+∠ACB=180°.

當(dāng)然，課堂教學(xué)中，應(yīng)關(guān)注的關(guān)系還有很多，如教師主導(dǎo)與學(xué)生主體之間的關(guān)系、生活化與知識(shí)系統(tǒng)性之間的關(guān)系、直觀形象與抽象思維之間的關(guān)系，等等. 我們這里探討的是在諸多關(guān)系中處于重要地位的四種關(guān)系. 希望教師們加強(qiáng)研究《標(biāo)準(zhǔn)》的力度，不斷探索教學(xué)中出現(xiàn)的新情況、新問(wèn)題，為更好地落實(shí)《標(biāo)準(zhǔn)》提出的基本理念，培養(yǎng)創(chuàng)新型的人才而努力.