也談數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

[摘 要] 本文淺談了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)，主要從以下幾方面進(jìn)行闡述：營造綠色課堂，讓學(xué)生無慮；創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生提問；重視直覺思維，讓學(xué)生猜想；甄別猜想結(jié)論，讓學(xué)生演繹；引導(dǎo)及時(shí)反思，讓學(xué)生會(huì)悟.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)；基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；直觀判斷；歸納；演繹

經(jīng)驗(yàn)一詞，現(xiàn)代漢語詞典解釋為：由實(shí)踐得來的知識或技能. 原來數(shù)學(xué)的“雙基”即基礎(chǔ)知識和基本技能，完全可以把基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)包含其中，并且基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是一種“前科學(xué)”（產(chǎn)生科學(xué)認(rèn)識前個(gè)人對某種事物的認(rèn)識. 它源于個(gè)體日常生活經(jīng)驗(yàn)，自己對事物的判斷、推理等. 它具有個(gè)體性、廣泛性、自發(fā)性、頑固性和隱藏性. 前科學(xué)既有正確的認(rèn)識，又有不正確的認(rèn)識，因而它對認(rèn)識事物既可能產(chǎn)生正遷移，也可能產(chǎn)生負(fù)遷移），“其特征更多地表現(xiàn)為個(gè)性化的，而非普適于所有人”. 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂稿）把它與數(shù)學(xué)的基本知識、基本技能和基本思想并列為“四基”，顯然是要克服以往數(shù)學(xué)教學(xué)過分強(qiáng)調(diào)演繹推理，忽視歸納推理，特別是忽視直觀判斷的弊端而特意為之. 由于歸納、推理有助于人們發(fā)現(xiàn)未知，所以《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》修訂組組長史寧中教授認(rèn)為提出數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的根本目的在于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)已被廣泛認(rèn)同成為共識，那么哪些是數(shù)學(xué)活動(dòng)？有人認(rèn)為以往傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂中教師的講授、學(xué)生聆聽與做作業(yè)不屬于數(shù)學(xué)活動(dòng)，我們認(rèn)為這種觀點(diǎn)是偏激的，但數(shù)學(xué)活動(dòng)絕不是單純的教師講授、學(xué)生聆聽與做作業(yè). 數(shù)學(xué)活動(dòng)是由“情境問題”驅(qū)動(dòng)的，“問題解決”是其主要的活動(dòng)形式，課堂中表現(xiàn)為師生交流、生生交流和獨(dú)立探究，它包括外顯的實(shí)踐活動(dòng)，諸如觀察、實(shí)驗(yàn)等嘗試活動(dòng)；模型制作、數(shù)學(xué)游戲等操作活動(dòng)；閱讀、聆聽、答問、質(zhì)疑、討論、做習(xí)題等常規(guī)課堂教學(xué)活動(dòng)，也包括無形的思維活動(dòng)，并且它是所有外顯實(shí)踐活動(dòng)的根本，即通過外顯的實(shí)踐活動(dòng)，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生探索、思考、猜測，抽象、概括、歸納、類比，以及分析、演繹、綜合、反思等思維活動(dòng)，從而促使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)在生活情境中發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律并解決這些數(shù)學(xué)問題.

由此可見，外顯的數(shù)學(xué)活動(dòng)只不過是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的載體，缺少思維活動(dòng)的課堂活動(dòng)只是一種沒有數(shù)學(xué)教學(xué)意義的形式而已，如簡單的“對不對” “是不是”的問話；讓學(xué)生簡單地背誦書中現(xiàn)成的結(jié)論；照搬、照抄現(xiàn)成的答案；浮于表象的就事論事討論等，這些都不是真正意義上的數(shù)學(xué)活動(dòng).

據(jù)此，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)就是學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中得來的一些基本知識與基本技能，它也包含兩方面的經(jīng)驗(yàn)，其一是外顯的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，如觀察和實(shí)驗(yàn)、閱讀數(shù)學(xué)書、聆聽數(shù)學(xué)課、參與數(shù)學(xué)討論、做數(shù)學(xué)習(xí)題、制作數(shù)學(xué)模型、進(jìn)行數(shù)學(xué)測量等實(shí)踐經(jīng)驗(yàn). 其二是開展數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，如基于觀察的直覺思維，數(shù)學(xué)地思考，類比、歸納提出數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，演繹地求解驗(yàn)證等經(jīng)驗(yàn). 這是我們重視數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)所必須注意的兩個(gè)方面. 并且，作為數(shù)學(xué)教師，讓學(xué)生學(xué)會(huì)觀察和實(shí)驗(yàn)，學(xué)會(huì)閱讀數(shù)學(xué)書本、學(xué)會(huì)聆聽數(shù)學(xué)課和學(xué)會(huì)參與數(shù)學(xué)討論，學(xué)會(huì)怎樣做習(xí)題，嘗試撰寫數(shù)學(xué)小論文，怎樣做數(shù)學(xué)模型或走出課堂進(jìn)行數(shù)學(xué)應(yīng)用調(diào)查，進(jìn)行數(shù)學(xué)測量等技能、技巧并形成自己獨(dú)特的經(jīng)驗(yàn)都十分重要，但仍遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠. 更重要的是，要通過這些操作實(shí)踐，讓學(xué)生在“已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上經(jīng)歷和感悟歸納推理和演繹推理的過程，尤其是歸納推理的過程后建立的新經(jīng)驗(yàn)和更高層次的直觀”.

重視數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)應(yīng)該做到以下幾點(diǎn)：

1. 營造綠色課堂，讓學(xué)生無慮

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)來自活動(dòng)，學(xué)生自主地積極投入數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)是形成活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的前提，應(yīng)創(chuàng)設(shè)民主、和諧、寬松的教學(xué)氛圍，給學(xué)生以充分的信任和思考的充分自由（有利于創(chuàng)造的一般條件是心理的安全和心理的自由——羅杰斯），為學(xué)生提供主動(dòng)探究、自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)的廣闊時(shí)空，激發(fā)學(xué)生的好奇心和探究欲，消除學(xué)生在課堂上因怕老師和同學(xué)笑話而不敢主動(dòng)求索獨(dú)立思考和提出問題的緊張心理與顧慮.

例如，在學(xué)習(xí)相似形時(shí)，課始教師提出：遨游太空是人類千百年來夢寐以求的，許多神話故事都反映了人類的這一美好愿望，隨著科技的迅猛發(fā)展，許多神話已逐步變成現(xiàn)實(shí)，人類已實(shí)現(xiàn)了登月的理想. 中國在太空技術(shù)上也取得了突飛猛進(jìn)——“嫦娥一號”“嫦娥二號”探月衛(wèi)星發(fā)射成功，載人飛船“神舟九號”返回艙與太空軌道“天宮一號”成功對接. 相信只要我們不懈努力，說不定我們同學(xué)中將來會(huì)有人登上月球. 這里就產(chǎn)生了一個(gè)疑問：人在月球上看地球，能見到長城嗎？要解決這個(gè)問題，就要學(xué)習(xí)相似形的知識. 這樣的課始語，創(chuàng)設(shè)了一種信任、寬松、和諧的氛圍，為新知學(xué)習(xí)營造了期待心情和熱切探究的愿望，促使學(xué)生自主投入新知學(xué)習(xí).

2. 創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生提問

學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)極大部分是課堂活動(dòng). 一成不變的呆板形式，因缺少新鮮感會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生厭倦而不利教學(xué). 要改變這一現(xiàn)狀，就要求我們根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)相應(yīng)情境（生活現(xiàn)實(shí)情境，游戲活動(dòng)情境，已有知識情境等）. 羅杰斯認(rèn)為：“人的知識是由學(xué)習(xí)者在一定的情境中，借助他人（教師、學(xué)習(xí)伙伴等）的幫助，利用必要的學(xué)習(xí)資料，通過主動(dòng)建構(gòu)的方式而獲得.” 這說明創(chuàng)設(shè)情境只是手段而非目的. 一個(gè)好的情境必然隱含與本課學(xué)習(xí)內(nèi)容密切相關(guān)的問題（故稱“問題情境”），它既具有簡潔性（以免占用過多教學(xué)時(shí)間，喧賓奪主），又具有挑戰(zhàn)性和探究性；它既可激發(fā)學(xué)生的興趣，喚起學(xué)生的求知欲望，又能為新知找到“生長點(diǎn)”，使新知的學(xué)習(xí)不是空穴來風(fēng)，而是天然合理、水到渠成.

例如，在引入零指數(shù)時(shí)，可以創(chuàng)設(shè)如下情境.

教師：同底數(shù)冪的除法法則是怎樣的？

教師：利用同底數(shù)冪相除的法則，很容易計(jì)算出25÷23. 那如果要計(jì)算22÷22，能用上面的法則嗎？

學(xué)生：不能，因?yàn)樯厦娴姆▌t有條件m>n.

教師：那么，根據(jù)我們已學(xué)的知識，你能提出什么問題？

學(xué)生：我們都知道22÷22=4÷4=1，這說明如果m=n時(shí)，am÷an的結(jié)果是存在的.

教師：不妨改m>n為m≥n，則利用法則能得到22÷22等于……

學(xué)生：22÷22=20.

教師：由此，你認(rèn)為20等于多少？

學(xué)生：20=1.

3. 重視直覺思維，讓學(xué)生猜想

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，發(fā)展思維，會(huì)使人變得聰明，可是以往的數(shù)學(xué)教學(xué)卻過分重視嚴(yán)謹(jǐn)性、科學(xué)性，過分注意邏輯推理而忽略了直覺思維與形象思維，過分注重結(jié)論而忽視過程，過分注意形式化，這就使得作為教學(xué)的數(shù)學(xué)變得嚴(yán)肅、枯燥、乏味. 其實(shí)，數(shù)學(xué)更需要?dú)w納推理、直覺思維. 因?yàn)樵诮鉀Q問題的過程中，合情推理（即歸納推理和類比推理）主要用于探索思路、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，更利于創(chuàng)造能力的培養(yǎng)，而演繹推理則主要用于證明結(jié)論而已.

（4）在半徑為R的半圓內(nèi)作正方形ABCD和正方形CEFG，其中B，C，E在半圓的直徑上，A，F(xiàn)在半圓上，求這兩個(gè)正方形面積之和. 通過類比正方形ABCD與正方形CEFG等積時(shí)，其面積之和為R2，故猜想答案為R2.

（5）由點(diǎn)P是正三角形ABC中BC邊上一點(diǎn)，∠APD=∠B，PD與∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)D，可得BP=PD. 對于正方形、正五邊形、正六邊形，是否有類似結(jié)論？歸納出對于正n邊形同樣有類似結(jié)論.

有時(shí)，借助直覺思維還可以使解題更簡潔.

例如，甲、乙兩人分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，兩人相遇在距A地10千米處，相遇后，兩人速度不變，繼續(xù)前進(jìn)，分別到達(dá)B地和A地后立即返回，又相遇在離B地3千米處，求A，B間的距離.

其實(shí)，本題完全可以列一元一次方程求解. 因?yàn)閼{直覺，既然兩人速度不變，第一次相遇甲走了10千米，首次相遇，兩人共走1個(gè)全程，再次相遇，兩人共走3個(gè)全程，故甲共走10×3=30（千米），再從另一角度看，甲共走了A，B間1個(gè)全程還多3千米，故設(shè)A，B兩地相距x千米，列出方程是x+3=30，所以x=27.

4. 甄別猜想結(jié)論，讓學(xué)生演繹

畢竟直覺的結(jié)果與不完全歸納的結(jié)果主要在于探索思路、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，但這個(gè)結(jié)論是否一定正確就要求數(shù)學(xué)教學(xué)不能僅僅停留在發(fā)現(xiàn)結(jié)論上，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生用演繹的方法去證明結(jié)論或否定結(jié)論.

例如，數(shù)學(xué)家費(fèi)馬由Fn=22n+1給出的數(shù)：

于是，費(fèi)馬猜想：對任一自然數(shù)n，F(xiàn)n都是素?cái)?shù). 大家對他的猜想確信無疑，但后來歐拉卻給出了反例，證明費(fèi)馬猜想是錯(cuò)誤的. 其實(shí)，F(xiàn)5=4294967297就有因數(shù)641，而非素?cái)?shù).

又如，A，B兩戶人家在馬路同側(cè)，且分別距直馬路（CD）4千米和5千米，A，B相距7千米，現(xiàn)要從馬路旁的電線上接電線到A，B，問電線至少要多少千米？

對于本題，學(xué)生往往根據(jù)已有解題經(jīng)驗(yàn)，憑直覺，與“在直線上找一點(diǎn)，使它到直線同旁兩定點(diǎn)的距離之和最短”進(jìn)行類比，得到作點(diǎn)A關(guān)于CD的對稱點(diǎn)A′，連A′B交CD于點(diǎn)P由此說明，憑不完全歸納或直覺得到的猜想未必一定正確，為了甄別猜想的正誤，還必須讓學(xué)生經(jīng)歷演繹的過程.

5. 引導(dǎo)及時(shí)反思，讓學(xué)生會(huì)悟

為了讓學(xué)生感悟歸納推理和演繹推理，尤其是歸納推理后提升思維品質(zhì)，就要及時(shí)反思內(nèi)化，使之建立新經(jīng)驗(yàn)和更高層次的直觀.

例如，反思具有中點(diǎn)的幾何問題的求解可以得出新經(jīng)驗(yàn)：

（1）已知三角形一邊中點(diǎn)，當(dāng)它是等腰三角形底邊中點(diǎn)或直角三角形斜邊中點(diǎn)時(shí)，一般添中線；

（2）已知一般三角形一邊的中點(diǎn)時(shí)，通常添中位線；

（3）當(dāng)添中線或中位線對證明無助時(shí)，往往使這個(gè)中點(diǎn)成為相交于這點(diǎn)的兩條線段的公共中點(diǎn)，以造成中心對稱圖形；

（4）已知四邊形一邊的中點(diǎn)，當(dāng)它是梯形一腰中點(diǎn)時(shí)，添中位線；此外，都是轉(zhuǎn)化為三角形一邊的中點(diǎn)去考慮.

例如，如圖3，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，DB=DC，點(diǎn)E是AB延長線上一點(diǎn)，直線EM交AC于點(diǎn)F，求證：∠BDE=∠CDF.

分析：根據(jù)已有解題經(jīng)驗(yàn)，首先考慮連結(jié)DM（中線），但對證明無助，且本題基本上不必考慮中位線，故必考慮使BC的中點(diǎn)M成為交于這點(diǎn)的另一線段的公共中點(diǎn). 如圖4，在ME上截取MK=MF，連結(jié)BK，此時(shí)有△BKM≌△CFM. 于是可得BK∥CF，BK=CF. 再從證∠BDE=∠CDF考慮，已有DB=DC，從而∠DBC=∠DCB，故只要BH=CG即可通過△DBH≌△DCG得證. 再據(jù)已有解題經(jīng)驗(yàn)，已知（已證）平行時(shí)，通過平行實(shí)現(xiàn)比的轉(zhuǎn)換是證線段相等的一種有效方法. 由AD∥BC得EB∶EA=BH∶AD，由BK∥AC得EB∶EA=BK∶AF=CF∶AF. 所以BH∶AD=CF∶AF. 又由AD∥BC可得CG∶AD=CF∶AF，所以BH∶AD=CG∶AD. 所以BH=CG.