優(yōu)化STR 模型的實證研究

昌春艷，王 沁，田 錕，劉 娟

(1.西南交通大學 數(shù)學學院，四川 成都610031;2.四川建筑職業(yè)技術學院 計算機工程系，四川 德陽618000;3.西華師范大學 數(shù)學與信息學院，四川 南充637002)

經(jīng)濟增長意味著國民經(jīng)濟規(guī)模的擴大和數(shù)量的增長。發(fā)現(xiàn)經(jīng)濟增長源泉，并采取措施實現(xiàn)經(jīng)濟增長，是人們一直探索的目標，同時也是社會發(fā)展和政治穩(wěn)定必須要面臨的重大課題。經(jīng)濟增長的原因、其內(nèi)在機制以及實現(xiàn)途徑，是經(jīng)濟理論研究中的核心問題。GDP 是衡量一個國家經(jīng)濟發(fā)展的最佳指標。工資總額與GDP 的關系一定程度上反映了國家市場經(jīng)濟的成熟度，也是衡量社會分配公平與否的重要內(nèi)容。目前，工資總額與GDP 關系的研究多基于線性回歸和定性研究。張金玲［1］利用1981—2004 年的相關數(shù)據(jù)得出結論，工資總額與GDP 呈正相關關系。李姍姍利用1991—2006年的數(shù)據(jù)，通過OLS 回歸，得到工資總額與GDP 的線性表達式［2］。在工資總額和GDP 關系的研究中，兩者之間的函數(shù)關系是否會一成不變，是否始終保持一個線性關系是值得探討的問題。STR 模型是非線性時間序列分析的前沿及熱點內(nèi)容，已成為非線性關系分析的典型工具之一。

1 STR 模型與兩種參數(shù)估計方法

1.1 STR 模型

平滑轉換自回歸模型(smooth transition auto－regression model，STAR)是由GRANGER 等提出的［3］，目前已經(jīng)形成了一套較為成熟的建模程序，包括模型的設定、估計和診斷測試，STAR 模型的提出為STR 模型奠定了理論基礎。平滑轉換回歸模型是對STAR 模型的改進和發(fā)展，也是門限回歸模型的一般化形式，其主要的特征是能刻畫不同體制下金融變量、經(jīng)濟增長變量等指標之間的非對稱、非線性的相依動態(tài)關系。

STR 模型的一般表達式如下［4］:

式中:yt為目標變量，表示具體的經(jīng)濟成果;xt為解釋變量，其中包括目標變量yt直到k 階的滯后變量和m 個其他解釋變量，即有:xt=(1，x1t，…，xpt)′ =(1，yt－1，…，yt－k，z1t，…，zmt)′，且有p =k+m;φ=(φ0，φ1，…，φp)′和θ =(θ0，θ1，…，θp)′分別為線性和非線性部分的參數(shù);εt為獨立同分布的誤差，一般假設其服從正態(tài)分布;轉換函數(shù)G(st;γ，c)是一個取值范圍為［0，1］的連續(xù)函數(shù)，既可以是單調(diào)遞增的奇函數(shù)，如分布函數(shù)，也可以是對稱的偶函數(shù)，如密度函數(shù)，描述指標在不同體制下平滑過渡;st為開關變量，即閾值，既可以是單個隨機變量，如xt的一個元素，也可以是多個隨機變量或者線性時間趨勢的線性組合。

對于轉換函數(shù)G(·)，常見的形式是logistic函數(shù)形式和指數(shù)函數(shù)形式，其中l(wèi)ogistic 函數(shù)形式的表達式為:

式(1)和式(2)構成了logistic 平滑回歸模型，即LSTR 模型。斜率γ 反映了由LSTR 模型描述的狀態(tài)“0”過渡到狀態(tài)“1”的速度大小及轉換的平滑性。閾值參數(shù)用來確定狀態(tài)轉變的時刻。

指數(shù)函數(shù)形式的表達式為:

式(1)和式(3)構成了指數(shù)平滑回歸模型，即ESTR 模型。該模型也是以c 點為轉換變量的轉折點，但與LSTR 模型又有所不同，ESTR 模型的轉換函數(shù)圖像是關于直線st=c 對稱，也反映出轉換變量對目標變量影響的一種對稱性。當轉換函數(shù)G(st;γ，c)→0 時，模型的非線性部分逐漸消失，退化為線性模型。

1.2 建立模型的步驟

使用STR 模型進行實證的步驟如下［5－7］:

(1)數(shù)據(jù)預處理。STR 模型針對平穩(wěn)時間序列比較適合，因此，先檢查數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性，進行差分、季節(jié)差分等將數(shù)據(jù)轉化為平穩(wěn)時間序列，然后進行格蘭杰因果檢驗，確定因變量與自變量。

(2)確定自回歸(AR)部分的滯后階數(shù)。

(3)線性AR 模型與STR 模型的選擇。以被解釋變量與解釋變量之間是線性AR 模型為原假設，STR 模型作為備擇假設的模型，進行假設檢驗，從而完成模式識別。

(4)STR 模型的類型選擇，即選擇建立LSTR模型還是ESTR 模型。

(5)STR 模型參數(shù)的估計。

(6)STR 模型的分析與適應性檢驗。

1.3 參數(shù)估計原理

1.3.1 高斯－牛頓迭代法

高斯－牛頓迭代法的基本思想是使用泰勒展開式去近似地代替非線性回歸模型，通過多次迭代，修正回歸系數(shù)，得到最佳逼近非線性回歸模型的回歸系數(shù)，同時使原模型的殘差平方和達到最小。

LSTR 模型在γ=0 的泰勒展開式為:

ESTR 模型在γ=0 的泰勒展開式為:

yt=φ′xt+θ′xt[ γ(st－c)2]+εt，t=1，2，…，T

在模型的參數(shù)估計中，高斯－牛頓迭代法依賴于參數(shù)初值的選擇、泰勒展開階數(shù)的選取，是一種將非線性轉化為線性方程的處理手段。在殘差服從正態(tài)分布的前提下，高斯－牛頓迭代法不一定能搜索到使實際值與估計值之差的平方和達到最小的參數(shù)估計值，且與參數(shù)的極大似然估計常常不一致，因此需要進一步優(yōu)化參數(shù)的估計。

1.3.2 基于AIC 值優(yōu)化參數(shù)估計

當STR 模型中參數(shù)γ 和c 為定值時，模型變?yōu)榫€性模型，在殘差服從正態(tài)分布的前提下，參數(shù)的最小二乘估計就是極大似然估計［8］，即無偏的方差最小估計，這時參數(shù)得到了優(yōu)化。

具體的做法是，先利用高斯－牛頓法估計參數(shù)γ 和c，再確定適當?shù)牟介L，獲得若干個γ 和c，將γ 和c 所有可能的取值形成組合，代入STR 模型中轉化為線性模型，得到參數(shù)φ 和θ 的初步估計，結合AIC 和DW 值，進行進一步搜索，直到參數(shù)估計達到要求精度，從而優(yōu)化參數(shù)估計［9］。

2 數(shù)據(jù)來源及預處理

2.1 數(shù)據(jù)來源

實證分析的時間段為1978—2007 年，共有30 個觀測值，所采用的數(shù)據(jù)來自于《2011 年四川統(tǒng)計年鑒》，實證分析的軟件為Matlab 和Eviews，分別用x、y 表示四川省的工資總額和GDP。

2.2 數(shù)據(jù)的預處理

不平穩(wěn)的時間序列數(shù)據(jù)不能用來進行回歸分析，否則將會出現(xiàn)“偽回歸”現(xiàn)象。因此在建立模型之前要首先對數(shù)據(jù)進行平穩(wěn)性檢驗。檢查序列平穩(wěn)性的標準方法是單位根檢驗，利用軟件Eviews5.0［10］繪出x、y 的趨勢圖，發(fā)現(xiàn)它們并不平穩(wěn)，對x、y 取對數(shù)，然后做兩次差分，經(jīng)過ADF 檢驗，可得到平穩(wěn)時間序列ggx、ggy。

2.3 格蘭杰因果檢驗

格蘭杰因果檢驗對數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性是非常敏感的，盡管序列l(wèi)x(序列x 的對數(shù))和ly(序列y 的對數(shù))的趨勢圖走勢基本相同，但由于它們都不是平穩(wěn)序列，因此只能采用序列ggx、ggy 進行格蘭杰因果檢驗，檢驗結果如表1 所示。無論滯后階數(shù)是1、2還是3，接受“ggx 不是ggy 的因”的概率p 值都小于接受“ggy 不是ggx 的因”的概率p 值，因此可以認為存在工資總額到經(jīng)濟增長的單向格蘭杰因果關系，說明工資總額對四川省經(jīng)濟增長有很大的影響。

表1 格蘭杰因果關系檢驗

3 模型建立與參數(shù)估計

3.1 模型的建立

3.1.1 滯后階數(shù)的確定

由STR 模型，先要確定模型中包含的被解釋變量的滯后階數(shù)，在這里，除被解釋變量滯后變量外，僅考慮工資總額這一因素對經(jīng)濟增長的影響，再按照SENSIER 和OSBORN 的做法，將模型的最高滯后階數(shù)設定為8，從最高階8 開始，根據(jù)AIC和SC 準則，將變量的t 檢驗值和DW 值逐一剔除，從中選擇一個比較理想的滯后階數(shù)［11］，其回歸過程和滯后階數(shù)選擇的計算結果如表2 所示。

從表2 可以看出，在ggy 滯后一階的情況下，AIC 與SC 之和達到了最小，DW 值也在2 左右，比較理想，各參數(shù)的p 值與處于同一行其他情況下的p 值相比也是最優(yōu)的，因此通過該方法可以確定應該取被解釋變量的滯后一階作為解釋變量的組成部分，但在上述分析中僅考慮了被解釋變量的滯后情況，沒有考慮作為解釋變量ggx 的滯后情況。與上述分析過程類似，選取ggy 滯后三階、ggx 滯后二階組成9 種不同的組合，分別對ggy進行回歸，回歸結果如表3 所示。從表3 中(1，0)部分可知，ggx、ggy (－1)組合的各項指標是最優(yōu)的，這與表2 的結果相同，因此可以確定模型最終的解釋變量為ggx、ggy (－1)。

表2 ggy 對其前期取值和ggx 的回歸結果

表3 各滯后變量組合對ggy 回歸結果

3.1.2 線性檢驗及模型的選擇

表4 線性假設檢驗和模型選擇檢驗結果

3.2 參數(shù)估計

3.2.1 非線性最小二乘法估計參數(shù)

采用Eviews 軟件進行計算得到的最小二乘法的參數(shù)估計結果如表5 所示。

表5 最小二乘法的參數(shù)估計結果

ggy=－0.015 8－0.538 9 ggx+0.326 1 ggy(－1)+［0.026 6 +0.126 9 ggx+0.382 9 ggy(－1)］G(yt－1;γ，c)

3.2.2 采用網(wǎng)格搜索法估計參數(shù)

將非線性STR 模型中的γ 和c 固定，模型變?yōu)榫€性的，通過非線性最小二乘法近似計算出γ 和c存在的可能區(qū)間，分別從最小值到最大值等間距對(γ，c)取值，γ 的取值范圍為［1 340，1 350］，步長為0.01，c 的取值范圍為［0，0.01］，步長為0.000 01。構造出1 000 ×1 000 對組合，針對每一對組合(γ，c)，采用Matlab 軟件將(γ，c)代入目標函數(shù)中，依次觀察模型的AIC、SC 值，然后篩選出AIC、SC 值較小，DW接近2 的參數(shù)組合作為最終結果。

根據(jù)AIC 準則和SC 準則，選擇出最優(yōu)模型，當γ=1 343.83，c=0.003 769 時，相應的AIC、SC都較小，DW 也更接近2，具體結果如表6 所示。

表6 網(wǎng)格搜索法的參數(shù)估計結果

ggy=－0.015 870－0.538 476 ggx+0.325 458 ggy(－1)+［0.026 755 +0.122 924 ggx +0.383 498 ggy(－1)］G(yt－1;γ，c)

4 結論

筆者利用非線性LSTR 模型研究四川省的GDP 與工資總額之間的動態(tài)關系，發(fā)現(xiàn)兩者之間存在著明顯的非線性和非對稱關系。借助高斯－牛頓迭代法和搜索法對非線性STR 模型中的參數(shù)進行估計，在該過程中發(fā)現(xiàn)，高斯－牛頓迭代法是使用泰勒展開式去近似地代替非線性回歸模型，優(yōu)點是對所估計參數(shù)的檢驗較為簡單，但計算結果有較大的誤差，在實際運用中，往往存在對初始值的依賴性，以及可能得到局部最優(yōu)的結果，卻達不到全局最優(yōu)，甚至可能存在迭代不收斂的情況。搜索法較好地克服了上述缺點，避免局部最優(yōu)問題。將STR 模型中參數(shù)γ 和c 取為定值，模型退化為線性模型，這樣得到在殘差服從正態(tài)分布的前提下，參數(shù)的最小二乘估計就是極大似然估計、無偏的方差最小估計，優(yōu)化了估計結果，得到全局最優(yōu)參數(shù)估計。搜索算法也避免了高斯－牛頓算法中可能出現(xiàn)的迭代不收斂現(xiàn)象，且該算法是在高斯－牛頓迭代法近似計算出γ 和c 存在的可能區(qū)間的基礎上去搜索γ 和c 的估計，使得計算量大大減小，得到的參數(shù)估計更為準確。

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