關(guān)于函數(shù)連續(xù)性的再研究*

董立華

(德州學院數(shù)學科學學院， 山東 德州 253023)

關(guān)于函數(shù)連續(xù)性的再研究*

董立華

(德州學院數(shù)學科學學院， 山東 德州 253023)

指出函數(shù)連續(xù)與可導具有嚴格的一點對一點特征, 并通過實例說明確實存在著處處連續(xù)而處處不可導的函數(shù). 其中函數(shù)的連續(xù)性、近似連續(xù)性、對稱連續(xù)性均是對函數(shù)某點性質(zhì)的刻畫, 且容易證明函數(shù)連續(xù)一定對稱連續(xù),也是近似連續(xù)的, 反之不然.

函數(shù)連續(xù); 對稱連續(xù); 近似連續(xù)

1 函數(shù)連續(xù)與可導

在數(shù)學分析中函數(shù)”可導必連續(xù)”的說法具有嚴格的一點對一點的特征,即函數(shù)在一點的可導性只能推出在該點的連續(xù)性而不能推及于其它點.例如,函數(shù)x2·D(x)在x=0點可導,同時僅在這一點連續(xù). 一般來說，數(shù)學分析所討論的連續(xù)函數(shù)在其絕大部分連續(xù)點上總是可導的，因此在數(shù)學分析的發(fā)展史上，數(shù)學家們一直猜測：連續(xù)函數(shù)在其定義區(qū)間中，至多除去可列個點外都是可導的. 也就是說，連續(xù)函數(shù)的不可導點至多是可列集. 但是，隨著級數(shù)理論的發(fā)展，可以利用函數(shù)項級數(shù)構(gòu)造處處連續(xù)而處處不可導的函數(shù).

令：

顯然hm→0(m→∞).當n≥m時,φ(10n(x+hm))=φ(10nx±10n-m)=φ(10nx);當nlt;m時,

上等式右端必定是整數(shù),且其奇偶性與m一致,由此可知

不存在. 即該函數(shù)f(x)在R上處處連續(xù)而處處不可導.

2 函數(shù)的近似連續(xù)

數(shù)學分析中閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定是黎曼可積的,而且積分也有連續(xù)性. 反之, 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上黎曼可積, 那么f(x)的連續(xù)點在[a,b]中處處稠密, 即f(x)在[a,b]的每個子區(qū)間(c,d)中至少有一個連續(xù)點. 注意到，如果一個函數(shù)f(x)在[a,b]上的連續(xù)點不是處處稠密的，那么就可斷言f(x)不是黎曼可積的. 例如函數(shù)：

但對于一個勒貝格可積的函數(shù)有下面的有關(guān)概念和結(jié)論.

定義1 設(shè)f(x)是定義在[a,b]上的函數(shù),x0∈[a,b].假如存在可測集E?[a,b],使得x0是E之一全密點,即：

例如,函數(shù)f(x)在x=0點不是近似連續(xù)的. 其中

顯然，由定義可知f(x)的連續(xù)點必是近似連續(xù)點.

容易證明, 勒貝格可積函數(shù)在它的每一個勒貝格點是近似連續(xù)的,其逆不真.反例如下: 設(shè)

首先證明x=0是f(x)的右近似連續(xù)點.為此,令：

由此可知：

同理可證x=0是函數(shù)f(x)的左近似連續(xù)點. 因而x=0是f(x)的近似連續(xù)點.

即x=0不是f(x)的勒貝格點.

注:容易證明,對于有界可測函數(shù)而言, 勒貝格點與近似連續(xù)點相同. 上述反例說明了在這個陳述中, 函數(shù)有界的條件是不可去掉的.

3 函數(shù)的對稱連續(xù)

注:R上的每個對稱連續(xù)函數(shù)必在R的某個稠密子集上連續(xù). 還可進一步證明，對稱連續(xù)函數(shù)必定是幾乎處處連續(xù)的.

[1]陳紀修,於崇華,金路.數(shù)學分析[M].北京:高等教育出版社,2004.

[2]汪林.實分析中的反例[M].北京:高等教育出版社,1989.

ARestudyontheContinuityofFunctions

Dong Li-hua

(College of Mathematical Sciences, Dezhou University, Dezhou Shandong 253023,China)

The continuity and differentiability of functions possess the strict point to point character. By actual examples, we explain that there exist functions which are continuous but non differentiable everywhere. The continuity, approximate continuity and symmetric continuity describe the property of a point of functions. We also prove that, the continuity imply symmetric and approximate continuity, but not vice versa.

functions continuous; symmetric continuous; approximate continuous

1673-2103(2013)05-0005-03

2013-07-10

山東省“十二·五”教育科學規(guī)劃項目(2011JG441)；德州學院教學改革研究重點項目(JGLX-A1108)

董立華(1965-)，女,山東平原人，教授，研究方向：函數(shù)論和教育管理.

O171

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