數(shù)據(jù)處理中缺失數(shù)據(jù)填充方法的研究

胡玄子， 陳小雪， 錢葉亮， 姜正龍， 趙彤洲

(武漢工程大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢 430073)

在海量信息處理過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)遇到數(shù)據(jù)集不完整的情況，通常稱之為缺失數(shù)據(jù)．缺失數(shù)據(jù)產(chǎn)生的原因很多，例如受客觀條件限制導(dǎo)致的信息無(wú)法獲取，信息因人為疏忽被遺漏，信息屬性值不存在等因素．針對(duì)這些缺失數(shù)據(jù)，前人做過(guò)很多有益的工作，處理方法大致分成三類：刪除、填充、丟棄．刪除數(shù)據(jù)就是將存在確實(shí)數(shù)據(jù)的一組數(shù)據(jù)完全刪除，從而得到的數(shù)據(jù)是沒(méi)有確實(shí)數(shù)據(jù)的完整的數(shù)據(jù)集合．在數(shù)據(jù)分析中，這種方法與丟棄數(shù)據(jù)的方法都比較簡(jiǎn)單，是以犧牲某些記錄屬性為代價(jià)的．但在多維數(shù)據(jù)處理中，數(shù)據(jù)的不同屬性之間很可能存在某種關(guān)系，而完全不考慮存在缺失數(shù)據(jù)的那些屬性，就很可能影響對(duì)數(shù)據(jù)集合的方差及數(shù)據(jù)分布的準(zhǔn)確判斷．因此，針對(duì)缺失數(shù)據(jù)填充方法的研究成為人們關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題．缺失數(shù)據(jù)的填充方法大致分為兩類：基于統(tǒng)計(jì)的方法和基于數(shù)據(jù)挖掘的方法．

統(tǒng)計(jì)方法主要通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得出數(shù)據(jù)集的一些統(tǒng)計(jì)信息，然后利用這些信息填充缺失數(shù)據(jù)．根據(jù)對(duì)數(shù)據(jù)集的了解程度，統(tǒng)計(jì)填充方法可以分為參數(shù)方法、非參方法以及半?yún)⒎椒ǎ畛Ｓ玫膮?shù)方法就是線性回歸、EM算法．?dāng)?shù)據(jù)挖掘算法主要有貝葉斯方法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法、粗糙集規(guī)則方法等等[1]．根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)，本文有選擇性地對(duì)如下四種方法進(jìn)行了研究．

1 算法分析對(duì)比

1.1 拉格朗日插值法

其中ωn+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn),

(xi-xi-1)(xi-xi+1)…(xi-xn).

在數(shù)據(jù)填充時(shí)，可以利用已知數(shù)據(jù)求出拉格朗日插值多項(xiàng)式，然后將待求節(jié)點(diǎn)帶入該多項(xiàng)式，就可以求出目標(biāo)值．

1.2 回歸分析法

所謂回歸就是在已知數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，構(gòu)建回歸模型，找出回歸模型中的參數(shù)，用以模擬和預(yù)測(cè)未知數(shù)據(jù)的過(guò)程．常用的線性回歸方法，是以誤差平方和最小為基本思想，尋找回歸參數(shù)的過(guò)程[2]．本文僅討論一元線性回歸分析．

當(dāng)求出回歸模型的參數(shù)后，將缺失點(diǎn)數(shù)據(jù)x帶入回歸模型，即可求出填充數(shù)據(jù)y．

1.3 灰色預(yù)測(cè)法

灰色預(yù)測(cè)是通過(guò)少量的、不完全的信息建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而找到模型參數(shù)的過(guò)程．它具有運(yùn)算方便，建模精度高的特點(diǎn)，在各種預(yù)測(cè)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，是處理小樣本預(yù)測(cè)問(wèn)題的有效工具．定義[3]如下，設(shè)給定觀測(cè)數(shù)據(jù)列

x(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(N)}.

經(jīng)一次累加得到

x(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(N)}.

特別地，當(dāng)t=t0時(shí),x(1)=x(1)(t0)．對(duì)等間隔取樣的離散值則為

采用最小二乘法來(lái)確定a、μ．當(dāng)模型系數(shù)確定后，采用同樣的方法，將缺失點(diǎn)帶入方程，求得缺失數(shù)據(jù)的估計(jì)值．

1.4 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法

BP網(wǎng)絡(luò)是由已知的輸入矢量和輸出矢量，訓(xùn)練出一個(gè)網(wǎng)絡(luò)用來(lái)逼近某個(gè)函數(shù)，具有較強(qiáng)的泛化性．主要思想是使網(wǎng)絡(luò)上的節(jié)點(diǎn)真實(shí)值與模擬值的誤差平方和最小，即用網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際輸出A1,A2,…,Aq, 與目標(biāo)矢量T1,T2,…,Tq之間的誤差修改其權(quán)值，使實(shí)際輸出值與期望值盡可能接近從而能得到一個(gè)訓(xùn)練好的網(wǎng)絡(luò)[4-6]．在此采用兩層BP網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)．

2 數(shù)據(jù)填充方法在空氣質(zhì)量數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用

自2012年入冬以來(lái)，各地出現(xiàn)的霧霾天氣不斷成為人們關(guān)心的話題，也成為各大媒體關(guān)注的焦點(diǎn)，武漢市已經(jīng)實(shí)現(xiàn)PM2.5的24小時(shí)監(jiān)測(cè)．本實(shí)驗(yàn)采集了2013年3月13日至4月29日(晚上8點(diǎn))的武漢市PM2.5值(表1)．由于各種原因，導(dǎo)致有部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失．為了得到相對(duì)完整的、可靠的數(shù)據(jù)集，我們采用上述4種方法進(jìn)行了數(shù)據(jù)填充的工作，力圖尋找一種適用于該類數(shù)據(jù)填充的方法．在估計(jì)未知數(shù)據(jù)時(shí)，為檢測(cè)算法的有效性，我們將部分已知數(shù)據(jù)剔除后，進(jìn)行準(zhǔn)確性對(duì)比，并同時(shí)估計(jì)未知數(shù)據(jù)．

表1采集到的部分PM2.5原始數(shù)據(jù)μg/m3

日期PM2.5日期PM2.5日期PM2.53/131073/301334/15773/14663/311324/16883/15754/11514/171203/26844/3964/20693/16604/4684/22303/17944/5544/23613/201534/6684/241033/21984/8734/251103/221834/9314/26833/241454/10534/27593/25674/11574/28523/27884/12414/29393/28804/13643/29944/1474

其中，有8天數(shù)據(jù)缺失．用上述四種方法分別進(jìn)行了數(shù)據(jù)填充．為檢驗(yàn)算法的有效性，首先將部分已知數(shù)據(jù)剔除，然后分別用四種方法計(jì)算剔除數(shù)據(jù)的估計(jì)值，并與真實(shí)值對(duì)比，結(jié)果見(jiàn)表2、表3．

表2 各種算法對(duì)剔除數(shù)據(jù)的估計(jì)值和真實(shí)值的對(duì)比 μg/m3

表3 各種算法的殘差 μg/m3

為定性檢驗(yàn)上述算法的準(zhǔn)確性，我們對(duì)各種算法的后驗(yàn)差比值進(jìn)行計(jì)算并比較．后驗(yàn)差比值的計(jì)算方法為

F=s2/s1.

即，s1是x(0)的方差，s2是殘差的方差．由此定義可知，后驗(yàn)差比值反映了殘差相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)偏差偏離的程度，后驗(yàn)差比值越小，表明估計(jì)值偏離真實(shí)值的程度越小，就越接近真實(shí)值．通過(guò)上述方法計(jì)算各種算法的后驗(yàn)差比值，見(jiàn)表4．從表4中可見(jiàn)，拉格朗日插值法的后驗(yàn)差比值最?。虼四M效果最好．按照此方法，對(duì)缺失數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)，可得估計(jì)值見(jiàn)表5．

表4 各種算法后驗(yàn)差比值

表5 缺失數(shù)據(jù)的估計(jì)值 μg/m3

3 結(jié)論

盡管填充數(shù)據(jù)的算法有很多種，但是，并不是每種算法都能適用于所有數(shù)據(jù)．針對(duì)空氣質(zhì)量參數(shù)之一的PM2.5的缺失數(shù)據(jù)填充，我們進(jìn)行了一些探索性嘗試，認(rèn)為拉格朗日插值法能比較準(zhǔn)確填充缺失數(shù)據(jù)，進(jìn)而可以實(shí)現(xiàn)部分?jǐn)?shù)據(jù)的預(yù)測(cè)．考慮到研究的科學(xué)性，這種算法不一定是最好的，隨著研究的深入，我們認(rèn)為還有更好的方法值得探索．

另外，從數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的趨勢(shì)可見(jiàn)，武漢市PM2.5數(shù)值在3-4月份呈現(xiàn)下降的趨勢(shì)．

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