含參數(shù)的恒成立問題

● (杭州市第二中學 浙江杭州 310053)

含參數(shù)的恒成立問題

●張先軍(杭州市第二中學 浙江杭州 310053)

1 考點回顧

恒成立條件下不等式參數(shù)的取值范圍問題，涉及的知識面廣，問題的綜合性比較強，解法比較靈活，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，考查學生數(shù)學思維的深刻性與敏捷性，從而成為高考的熱點之一.筆者對此類問題的解決策略加以歸納，可加強學生知識體系的綜合，有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，提高學生分析問題和解決問題的能力.

2 典例剖析

2.1 利用子集關系求解

例1設函數(shù)f(x)=a2lnx-x2+ax，a>0.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求所有的實數(shù)a，使e-1≤f(x)≤e2對x∈[1,e]恒成立．

注：e為自然對數(shù)的底數(shù)．

(2011年浙江省數(shù)學高考文科試題)

分析第(2)小題中只需滿足y=f(x),x∈[1,e]的值域是集合[e-1,e2]的子集即可說明所有x∈[1,e]的值能使得e-1≤f(x)≤e2恒成立.

解(1)因為f(x)=a2lnx-x2+ax，其中x>0,所以

由a>0，可知f(x)的增區(qū)間為(0,a)，減區(qū)間為(a,+∞).

(2)由題意得f(1)=a-1≥e-1,即a≥e.

由第(1)小題知f(x)在[1,e]內(nèi)單調(diào)遞增，要使e-1≤f(x)≤e2對x∈[1,e]恒成立，只需f(x)∈[e-1,e2],即

成立，解得a=e.

點評必要與充分這樣的邏輯關系可以轉(zhuǎn)化成為集合的包含與被包含關系.題中恒成立問題是將充分條件轉(zhuǎn)化為子集關系，再根據(jù)集合關系列出關于參數(shù)的不等式再求解即可.

分析“任給x1∈[0,1]，f(x1)∈[-4,-3]，存在x0∈[0,1]使得g(x0)=f(x1)”，實際上，這等價于f(x)值域是g(x)值域的子集，即滿足[1-2a-3a2,-2a]?[-4,-3],這就變成一個恒成立問題.f(x)的最小值不小于g(x)的最小值，f(x)的最大值不大于g(x)的最大值.

解對函數(shù)f(x)求導，得

從而當x∈[0,1]時，f(x)的值域為[-4,-3].對函數(shù)g(x)求導，得

g′(x)=3(x2-a2).

因為a≥1，當x∈(0,1)時，

g′(x)<3(1-a2)≤0.

因此當x∈(0,1)時，g(x)為減函數(shù)，從而當x∈[0,1]時,有g(shù)(x)∈[g(1),g(0)].又

g(1)=1-2a-3a2,g(0)=-2a,

即當x∈[0,1]時,g(x)的值域為[1-2a-3a2,-2a],即

點評能否正確判斷2個函數(shù)值域的關系是解決問題的關鍵，找出2個集合的包含關系，也就是找到了恒成立問題的充要條件.

2.2 利用分離變量求解

例3已知向量a=(x2，x+1)，b=(1-x，t).若函數(shù)f(x)=a·b在區(qū)間(-1，1)上是增函數(shù)，求t的取值范圍.

(2005年湖北省數(shù)學高考理科試題)

分析利用導數(shù)將“函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1，1)上是增函數(shù)”的問題轉(zhuǎn)化為“f′(x)≥0在(-1，1)上恒成立”的問題，即轉(zhuǎn)化成為“二次函數(shù)f′(x)=-3x2+2x+t≥0在區(qū)間(-1，1)上恒成立”，利用分離系數(shù)法將t分離出來，通過討論最值來解出t的取值范圍．

解由定義得

f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,

從而

f′(x)=-3x2+2x+t.

若f(x)在(-1，1)上是增函數(shù)，則在(-1，1)上可設f′(x)≥0恒成立,從而f′(x)≥0,即t≥3x2-2x在(-1，1)上恒成立.考慮函數(shù)g(x)=3x2-2x的最大值為g(-1),故要使t≥3x2-2x在(-1，1)上恒成立,則t≥g(-1)，即t≥5.

而當t≥5時，f′(-1,1)在(-1，1)上滿足f′(x)>0，即f(x)在(-1，1)上是增函數(shù)．故t的取值范圍是t≥5.

點評在給出的不等式中，如果能通過恒等變形分離出參數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值.即：若a≥f(x)恒成立，只需求出fmax(x)，滿足a≥fmax(x)即可(注：若f(x)的最大值不存在，只需a≥f(x)的上界);若a≤f(x)恒成立，只需求出fmin(x)，滿足a≤fmin(x)即可(注：若f(x)的最小值不存在，只需a≤f(x)的下界).

2.3 利用函數(shù)思想求解

例4已知不等式4x2-4ax+a2+2a-1≥0在區(qū)間[0,1]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

分析此題分離變量比較困難，利用函數(shù)思想構(gòu)造相應的函數(shù)后，就將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域的問題.

解根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)

要使原不等式恒成立，fmin(x)≥0即可.

得

得

得

a>2；

點評這類問題可以構(gòu)造一個含參數(shù)的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)確定參數(shù)的取值范圍，主要適用于能構(gòu)造出較方便求最值的函數(shù)問題.

例5求使關于x的不等式ax≥x≥logax(a>1)在區(qū)間(0,+∞)上恒成立的實數(shù)a的取值范圍.

分析不等式ax≥x恒成立即使得ax-x≥0在(0,+∞)上恒成立，也就是函數(shù)f(x)=ax-x的圖像在x軸及其上方，只需求fmin(x)≥0，即可求出a的范圍.

解構(gòu)造函數(shù)f(x)=ax-x，求導得

f′(x)=axlna-1.

同理，構(gòu)造函數(shù)g(x)=logax-x，求導得

點評本題不等式的恒成立問題用函數(shù)思想構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化成函數(shù)求最值的問題.形如f(x)≥g(x)的問題，轉(zhuǎn)化為h(x)=f(x)-g(x)很常見，主要看所構(gòu)造的函數(shù)h(x)的最值是否容易求出.

2.4 利用變更主元求解

例6若對一切|p|≤2，不等式(log2x)2+plog2x+1>2log2x+p恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.

分析對于一切|p|≤2不等式恒成立，移項至右邊為0時，不等式左邊看作關于p的一次函數(shù).

解原不等式可變形為

p(log2x-1)+(log2x)2-2log2x+1>0.

構(gòu)造關于p的一次函數(shù)

f(p)=p(log2x-1)+(log2x)2-2log2x+1，

只需f(p)>0,p∈[-2,2]上恒成立即可,因此

解得

點評此類問題主要培養(yǎng)學生的變量意識問題．受定勢思維的影響，習慣于用x來表示變量，用a,m或p等表示參數(shù).本題中雖然指出是關于x的不等式，事實上，x和p是平等的，沒有主次之分，應該是一個雙變量的不等式恒成立問題．可以將p視為主元，x為參數(shù)，問題大大簡化．

2.5 利用數(shù)形結(jié)合求解

圖1

(x+2)2+y2=4(y≥0),

g(x)的圖像是平行的直線系

4x-3y+3-3a=0.

2.6 利用猜想證明求解

例8對一切實數(shù)α，不等式k(4-sinα)4+cos2α-3+k>0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.

cos2α≥0，4-sinα≥3,

且

k(4-sinα)4+cos2α-3+k>k·34-3+k>

點評用前面的方法解決問題比較困難時，可以考慮由特殊到一般的思想，先考慮變量的一些特殊值，找出滿足題意的參數(shù)的一部分取值，再猜想?yún)?shù)范圍，可將問題轉(zhuǎn)化為已知參數(shù)范圍的情況下，證明所給的問題恒成立，來驗證猜想的正確性.

3 精題集萃

4.設函數(shù)f(x)=x4+ax3+2x2+b(x∈R)，其中a,b∈R，若對于任意的a∈[-2,2]，不等式f(x)≤1在[-1,1]上恒成立，求b的取值范圍．

(1)當a,b滿足什么條件時,f(x)取得極值?

(2)已知a>0,且f(x)在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞增,試用a表示出b的取值范圍.

(2009年山東省數(shù)學高考文科試題)

圖2

參考答案

解得

綜上可得

3.解設集合

A={x||x-a|

則問題可轉(zhuǎn)化為A?B，即

亦即

4.解f′(x) =4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ax+4).

由條件a∈[-2,2]可知

Δ=9a2-64<0，

從而4x2+3ax+4>0恒成立．當x<0時，f′(x)<0；當x>0時，f′(x)>0．因此函數(shù)f(x)在[-1,1]上的最大值是f(1)與f(-1)兩者中的較大者．為使對任意a∈[-2,2]，不等式f(x)≤1在[-1,1]上恒成立，當且僅當f(x)max≤1，即

亦即

在a∈[-2,2]上恒成立,從而

解得b≤-4，因此滿足條件的b的取值范圍是(-∞,-4]．

5.解原不等式可化為

要使原不等式恒成立,只需

圖3

此時a≤6.故滿足條件的a的取值范圍為(-∞,6].

6.(1)當a，b滿足b2>a時，f(x)能取得極值.

從而

即