靈活多變的數(shù)列綜合題

● (武嶺中學(xué) 浙江奉化 315502)

靈活多變的數(shù)列綜合題

●楊亢爾(武嶺中學(xué) 浙江奉化 315502)

1 考點回顧

數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)學(xué)科知識的主干內(nèi)容，歷來是高考重點考查的內(nèi)容之一.高考關(guān)于數(shù)列的命題大致可分為2種類型：(1)考查數(shù)列本身的有關(guān)知識，如等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式和數(shù)列的求和公式、遞推關(guān)系等；(2)考查數(shù)列與其他知識結(jié)合的問題，如數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、幾何等的結(jié)合及數(shù)列的實際應(yīng)用等.縱觀近3年的浙江省數(shù)學(xué)高考數(shù)列題，無論是文科還是理科，盡管題型和分值屢有變化,但從數(shù)列基礎(chǔ)知識入手，注重對數(shù)列知識的理解和應(yīng)用，注重對數(shù)學(xué)思想、方法和能力靈活多變的考查沒有變，這也充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)高考“以能力立意”的指導(dǎo)思想.

值得一提的是，與其他省市數(shù)學(xué)高考數(shù)列試題相比，浙江省的數(shù)列試題無論是難度還是綜合性都顯得更為平和、適中而易于把握，這應(yīng)該與浙江省數(shù)學(xué)自主命題不特別強調(diào)在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計試題的考試要求有關(guān).相信在深化普通高中課程改革的新形勢下，浙江省教育考試院還將繼續(xù)深化高考命題改革，切實控制試題難度，重視教材和基礎(chǔ)知識、基本方法、基本技能，“常規(guī)試題作考題，平淡之中見功底”，為高中數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)揮更好的導(dǎo)向作用.

2 典例剖析

例1 已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1=b1=1,a2=b3=4，這2個數(shù)列的公共項按原順序組成數(shù)列{cn}．

(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；

(2)判斷數(shù)列{cn}是等差數(shù)列還是等比數(shù)列？試證明你的結(jié)論.

分析容易求得數(shù)列{an}，{bn}的通項公式分別為an=3n-2，bn=2n-1.這2個數(shù)列的公共項的前3項依次為1，4，16，猜想{cn}是公比為4的等比數(shù)列，可用如下方法加以驗證：

若cn是數(shù)列{an}，{bn}的一個公共項，不妨設(shè)cn=am=bk(n,m,k∈N*)，于是cn=3m-2=2k-1，下面考察它們的后續(xù)項中公共項的情況：

因為

bk+1= 2k=2·2k-1=6m-4=3(2m-1)-1，

所以

bk+1?{an}.

又

bk+2=2k+1=4·2k-1=12m-8=3(4m-2)-2，

從而

bk+2∈{an}，

故這一項就是數(shù)列{cn}的第n+1項，即

cn+1=bk+2=2k+1，

且

這就證明了{cn}是公比為4的等比數(shù)列，其通項公式為cn=4n-1.

也可以這樣來考慮：根據(jù){cn}的前3項1，4，16，…，猜想cn=4n-1.由于4n-1=2(2n-1)-1，故cn=4n-1必是數(shù)列{bn}中的項，因此只需證明它也是{an}中的項即可.由于

這就證明了cn=4n-1也是{an}中的項，從而可知{cn}是公比為4的等比數(shù)列.

評注本題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項公式等基礎(chǔ)知識，入手容易，設(shè)問新穎，無論是整數(shù)性質(zhì)的變形，二項展開式的應(yīng)用，還是合情推理的證明，都圍繞數(shù)列通項公式展開，較好地體現(xiàn)了以知識為載體、以方法為依托、以能力為考查目的的命題指向.

例2 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a2an=S2+Sn對一切正整數(shù)n都成立．

(1)求a1，a2的值；

(2012年四川省數(shù)學(xué)高考試題)

分析在a2an=S2+Sn中分別令n=1,2，即可求得a1，a2的值，再利用數(shù)列的前n項和Sn與數(shù)列的通項an的關(guān)系

不難將an與Sn的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為an與an-1的關(guān)系式

因此

評注本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、對數(shù)等基礎(chǔ)知識，以及函數(shù)與方程、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，同時考查思維、運算、分析問題和解決問題的能力.本題涉及等差數(shù)列前n項之和的最值問題，既可以通過分析項的正負(fù)來確定，也可以先求和再利用二次函數(shù)的性質(zhì)加以解決，要快速、準(zhǔn)確、無誤地完成解答，既要求通性通法與巧妙方法雙管齊下，更需要有扎實的數(shù)學(xué)功底.

例3 函數(shù)f(x)=x2-2x-3，定義數(shù)列{xn}如下：x1=2,xn+1是過點P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直線PQn與x軸交點的橫坐標(biāo).

(1)求xn+1關(guān)于xn的遞推關(guān)系式；

(2)證明：2≤xn

(2012年全國卷數(shù)學(xué)高考試題改編)

分析由于點P(4,5)在函數(shù)f(x)的圖像上，故過所給出的點P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直線PQn的斜率一定存在，通過直線與坐標(biāo)軸的交點可得到數(shù)列的遞推公式.直線PQn的直線方程為

在第(2)小題中，一方面,2≤xn<3可用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：

當(dāng)n=1時，x1=2，滿足2≤x1<3，假設(shè)n=k時，2≤xk<3成立，則當(dāng)n=k+1時，

由2≤xk<3,得

4≤xk+2<5,

即

從而

亦即2≤xk+1<3也成立.

綜上可知,2≤xn<3對任意正整數(shù)恒成立.

另一方面，xn

又2≤xn<3,得

1≤xn-1<2,

即

0<-(xn-1)2+4≤3，

故

xn+1-xn>0,

從而

xn

綜上可知,2≤xn

評注本題以函數(shù)為背景，考查了直線方程、函數(shù)解析式、數(shù)列的遞推公式以及不等式證明中的取差比較法和數(shù)學(xué)歸納法等，綜合性較強，特別是對代數(shù)式的變形和運算有較高的要求.做這類試題需根據(jù)已知條件，一步一步地轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，再化簡得到要找的關(guān)系式.

本例中xn+1關(guān)于xn的分式線性遞推關(guān)系是一種常見的遞推數(shù)列，有興趣的讀者不妨嘗試用多種方法求出數(shù)列{xn}的通項公式.

例4 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足2Sn=an+1-2n+1+1(n∈N*)，且a1,a2+5,a3成等差數(shù)列.

(1)求a1的值；

(2)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2012年廣東省數(shù)學(xué)高考試題)

分析本題以數(shù)列的通項與前n項和的關(guān)系式給出，此類問題的一般解法是將其轉(zhuǎn)化成僅含有通項或僅含有前n項和的關(guān)系式，再化歸成等差或等比數(shù)列來處理.

(1)由2Sn=an+1-2n+1+1可得

2Sn+1=an+2-2n+2+1,

兩式相減得

an+2=3an+1+2n+1,

于是

a3=3a2+4.

又

2a1=a2-3,a1+a3=2(a2+5),

可得

a1=1,a2=5．

(2)顯然an+1=3an+2n對任意n∈N*均成立，要求數(shù)列{an}的通項公式，有如下多種方法：

方法1(參數(shù)法)不妨設(shè)

an+1+λ·2n+1=3(an+λ·2n),

則

an+1=3an+λ·2n,

得

λ=1，

故{an+2n}是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，因此

an+2n=3n,

即

an=3n-2n．

方法2(化歸為一階線性遞推數(shù)列)由

an+1=3an+2n,

兩邊同除以2n+1得

從而

于是

an=3n-2n．

方法3(累加法)由

an+1=3an+2n,

兩邊同除以3n+1得

累加可得

從而

an=3n-2n.

3n>2×2n,

從而

an>2n,

即

于是

也可利用2·3n-1=2·(2+1)n-1>2n,得

3n-2n>3n-1(n≥2)，

評注本題主要考查了數(shù)列的通項公式、求和、遞推數(shù)列、不等式的證明等知識，思想方法涉及函數(shù)與方程、歸納與轉(zhuǎn)化、特殊與一般、分類討論等，屬于較難題，旨在考查學(xué)生分析、歸納、探究和推理論證問題的能力.其中第(2)小題求形如an+1=k·an+an遞推數(shù)列通項時用到的3種方法，對于求簡單遞推數(shù)列通項公式具有非常現(xiàn)實的借鑒意義，值得細細品味.

3 精題集萃

1．已知等差數(shù)列{an}前3項的和為-3，前3項的積為8．

(1)求等差數(shù)列{an}的通項公式；

(2)若a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列{|an|}的前n項和．

(2012年湖北省數(shù)學(xué)高考試題)

(1)確定常數(shù)k，求an；

(2012年江西省數(shù)學(xué)高考試題)

(1)求數(shù)列{an}的通項公式及Sn；

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考試題)

4．設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，其前n項和為Sn，且a5,a3,a4成等差數(shù)列．

(1)求數(shù)列{an}的公比；

(2)證明：對任意k∈N*，Sk+2,Sk,Sk+1成等差數(shù)列．

(2012年陜西省數(shù)學(xué)高考試題)

5．在等差數(shù)列{an}中，a3+a4+a5=84,a9=73．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)對任意m∈N*，將數(shù)列{an}中落入?yún)^(qū)間(9m,92m)內(nèi)的項的個數(shù)記為{bn}，求數(shù)列{bn}的前m項和Sm．

(2012年江西省數(shù)學(xué)高考試題)

6．已知數(shù)列{an}和{bn}的通項公式分別為an=3n+6，bn=2n+7(n∈N*)，將集合{x|x=an,x∈N*}∪{x|x=bn,n∈N*}中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列{cn}．

(1)求c1,c2,c3,c4；

(2)求證：在數(shù)列{cn}中，但不在數(shù)列{bn}中的項恰為a2,a4,…,a2n,…；

(3)求數(shù)列{cn}的通項公式．

(2011年上海市數(shù)學(xué)高考試題)

參考答案

1．(1)an=-3n+5或an=3n-7；

4．(1)q=-2.

(2)證法1因為

Sk+2+Sk+1-2Sk= (Sk+2-Sk)+(Sk+1-Sk)=

ak+1+ak+2+ak+1=

2ak+1+ak+1·(-2)=0,

所以，對任意k∈N*，Sk+2,Sk,Sk+1成等差數(shù)列.

因此，對任意k∈N*，Sk+2,Sk,Sk+1成等差數(shù)列．

5．(1)an=9n-8；

(2)提示：對m∈N*，若9m

9m+8<9n<92m+8，

從而

9m-1+1≤n≤92m-1，

因此

bm=92m-1-9m-1，

可得Sm= (9+93+…+92m-1)-(1+9+…+9m-1)=

6．(1)c1=9,c2=11,c3=12,c4=13；

(2)提示：對任意n∈N*，有

a2n-1=6n+3=2(3n-2)+7∈{bn},

a2n=6n+6?{bn};