高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)如何做到“正本清源”

● (嘉興市第一中學(xué) 浙江嘉興 314050)

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)如何做到“正本清源”

●陳云彪(嘉興市第一中學(xué) 浙江嘉興 314050)

每年進(jìn)行高三復(fù)習(xí)時，總有些學(xué)生的解題能力沒有達(dá)到教師所想要的理想的程度．每次測驗(yàn)下來，學(xué)生的有些錯誤出乎意料，認(rèn)真分析原因，主要在于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解不到位.因?yàn)閷Ω拍罾斫獠粔蛲笍?，所以在基本方法的使用上不夠靈活、熟練，一旦碰到新的題目，就會沒有思路．因此,教師在教學(xué)中要加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)概念的教學(xué)．

下面筆者結(jié)合自己在平時教學(xué)中的一些體會，來談?wù)劷鉀Q此類問題的具體方法．

1 控制教學(xué)中的難度，強(qiáng)化數(shù)學(xué)基本概念的教學(xué)

平時的教學(xué)難度太大往往會弱化教師對概念教學(xué)的深化，究其原因是多方面的，但主要是教師在復(fù)習(xí)認(rèn)識上的問題.教師普遍的觀點(diǎn)是：會當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小;喜歡難，不強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)．筆者認(rèn)為這樣做有許多弊端：其一，會使許多學(xué)生在高一、高二時學(xué)得不理想，在高三時得不到很好地加強(qiáng)；其二，教師任意地拔高難度，從而使一部分學(xué)生逐漸失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心；其三，養(yǎng)成了學(xué)生“好高騖遠(yuǎn)、不踏實(shí)做題”的習(xí)慣．這樣，我們的復(fù)習(xí)就無法達(dá)到預(yù)期的效果．

譬如在復(fù)習(xí)“直線和圓的位置關(guān)系”時，筆者安排的第1個例題如下：

例1求過原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線被圓x2+y2-4y=0所截得的弦長．

這個例題非常簡單，涉及到直線和圓位置關(guān)系的基本處理方法，主題非常明確.

方法1(解析幾何法)

解析幾何處理問題的核心方法是2個方程聯(lián)立.

得到交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)之間的距離公式求解．

評注方法1體現(xiàn)了解析幾何處理問題的基本方法:用代數(shù)運(yùn)算來處理幾何問題．它是整個解析幾何教學(xué)的核心，在平時的教學(xué)中要強(qiáng)化．很多教師認(rèn)為這對于解決與圓有關(guān)的問題未必是好的方法，因此在平時教學(xué)中未給予重視．這樣的處理是不足取的，久而久之，會弱化學(xué)生對解析幾何本質(zhì)的認(rèn)識．

方法2(利用圓的性質(zhì))

在初中階段，學(xué)生已學(xué)過許多圓的性質(zhì)，這些性質(zhì)往往有助于簡化問題的解決.

x2+(y-2)2=4,

因此直線被圓截得的弦長為

評注方法2和方法1相比，簡化了計(jì)算.學(xué)生認(rèn)識到處理解析幾何問題的特點(diǎn)：用代數(shù)法來處理幾何，使許多的幾何問題得到了很好的解決.但在解決問題時，若能適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用一些幾何性質(zhì)，往往會使問題得到簡化．

例1的設(shè)計(jì)非常巧妙，在平時解決解析幾何題目時重視圖形作用的學(xué)生，得到如下更為簡捷的方法：

圖1

一個簡單的題目，通過3種基本方法的對比，使學(xué)生對解析幾何中有關(guān)圓問題的解題策略有了較深刻的理解，相信他們在以后的解題過程中會找到合適的方法．

2 重視對經(jīng)典題目的剖析，切忌過分追求“新”、“奇”

高三復(fù)習(xí)的資料更新十分及時，但有些資料由于編者時間上的倉促，往往選題上沒有斟酌，因此無論題目還是解題過程，沒有很好地體現(xiàn)一個“例”字．教師在強(qiáng)調(diào)題目“新”的同時，往往忽視了一些經(jīng)典題目在教學(xué)中所起的作用．筆者認(rèn)為經(jīng)典題目之所以經(jīng)典，首先在于題目本身包含了重要的解題思想，再者對學(xué)生而言，它未必就是陳題.教師還是要強(qiáng)調(diào)其在教學(xué)中的價值,要在教學(xué)上花功夫，推陳出新，使經(jīng)典題目展示新的含義．下面來看一個直線和圓問題中的經(jīng)典題目：

例2已知圓x2+y2+x-6y+m=0與直線x+2y-3=0相交于點(diǎn)P,Q，O為原點(diǎn)，且OP⊥OQ，求實(shí)數(shù)m的值.

對于這個問題，通常的解法是：

方法1聯(lián)立方程

得

5y2-20y+12+m=0,

因此

(1)

由OP⊥OQ,得

x1x2+y1y2=0，

從而

9-6(y1+y2)+5y1y2=0,

將式(1)代入，得

解得

m=3.

除了常規(guī)方法，經(jīng)過思考，例2還可以用以下2種方法解決.

方法2(利用平面幾何)

當(dāng)OP⊥OQ時,點(diǎn)P,Q,O共圓(不妨設(shè)此圓的圓心為M),且圓M的直徑就是PQ.設(shè)圓x2+y2+x-6y+m=0的圓心為N，圓心N和PQ中點(diǎn)的連線與已知直線x+2y-3=0垂直，其方程為

圖2

即

2x-y+2=0.

聯(lián)立

而在圓M中，因?yàn)镻Q是直徑，所以

解得

m=3.

評注比較方法1與方法2，發(fā)現(xiàn)在有關(guān)直線和圓位置關(guān)系的題目中，常規(guī)的解題方法還是具備普遍意義的．因此在平時的教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的同性同法，真正的“清本正源”，對方法發(fā)生、發(fā)展過程要清楚地分析，這樣有助于學(xué)生對知識的理解，學(xué)生的解題能力也會有很大的提高．

方法3(利用圓系方程)

當(dāng)OP⊥OQ時,點(diǎn)P,Q,O共圓(不妨設(shè)此圓的圓心為M),且此圓的直徑就是PQ，即PQ的中點(diǎn)即為圓心M.設(shè)圓x2+y2+x-6y+m=0的圓心為N，圓心N和PQ中點(diǎn)的連線與已知直線x+2y-3=0垂直，其方程為

即

2x-y+2=0.

聯(lián)立

得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1,2).由此可設(shè)圓M為

(x+1)2+(y-2)2=r2.

因?yàn)榇藞A過原點(diǎn)，所以

(x+1)2+(y-2)2=r2，

(x+1)2+(y-2)2=5.

而圓M和圓N的公共弦為

(x+1)2+(y-2)2-5-(x2+y2+x-6y+m)=0,

即

x+2y-m=0.

此方程就是

x+2y-3=0,

故

m=3.

3 防止脫離課本，天馬行空

高三復(fù)習(xí)時所選用的資料是非常完備的，幾乎是教師怎么想，資料就怎么做，但正因?yàn)檫@樣，也養(yǎng)成了教師對復(fù)習(xí)資料的依賴性.筆者認(rèn)為資料和課堂教學(xué)一樣，要想真正成為自己的東西，還是需要好好地整合．在復(fù)習(xí)過程中，不要脫離課本，天馬行空式地復(fù)習(xí)，這樣做不僅效率低，而且學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解依舊不會出現(xiàn)好轉(zhuǎn).因此，想要把教師和學(xué)生從題海戰(zhàn)術(shù)中解脫出來，關(guān)鍵在于重視教材的應(yīng)用．下面來看這樣一個問題：

例3一個口袋內(nèi)有帶有標(biāo)號的大小相同的7個白球和3個黑球，現(xiàn)從中摸出2個球，求一黑一白的概率．

學(xué)生給出了2種不同的解法：

評注在這個問題中，學(xué)生有3個困惑之處：

(1)球是不是有區(qū)別？

(2)摸出的球是否要排序？

(3)為什么2種方法得到的結(jié)論一樣？

其實(shí)例3可以利用《數(shù)學(xué)(必修3)》第127頁的例題——給球貼標(biāo)簽的方法來處理．本來球是不是有區(qū)別，我們不去管它，現(xiàn)在對球進(jìn)行貼標(biāo)簽來加以區(qū)別，然后再利用古典概型的基本概念加以解決.如果球貼了標(biāo)簽，那么球與球之間就有所區(qū)別了，方法2就較容易理解了．

解決問題之后把標(biāo)簽擦掉，請思考：在摸出球之后，附加一個“把球上的標(biāo)簽擦掉”的動作，會改變事件的概率嗎？這顯然是不合情理的．

這里筆者只是舉例說明，在教材中許多地方都有這樣的數(shù)學(xué)思想，在平時的復(fù)習(xí)中要好好利用.數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的重點(diǎn)不僅僅指熟悉其知識點(diǎn),更重要的是掌握其提供的方法.