導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

● (黃巖中學(xué) 浙江黃巖 318020)

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

●金克勤(黃巖中學(xué) 浙江黃巖 318020)

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用是數(shù)學(xué)高考的重點(diǎn)，特別在理科數(shù)學(xué)考試中往往承擔(dān)壓軸的大戲.由于導(dǎo)數(shù)具有豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵和表現(xiàn)形式，與函數(shù)的圖像、性質(zhì)以及方程、不等式之間的緊密聯(lián)系，故成為高考命題青睞的對(duì)象.

1 考點(diǎn)回顧

高考數(shù)學(xué)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，主要考查：

(1)導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義.特別是函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為其圖像上經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的切線的斜率.在試題中往往以求切線方程的形式出現(xiàn).

(2)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系.特別是導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系、極值與最值的關(guān)系、函數(shù)的值域與參數(shù)的范圍等.在試題中往往以求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、證明函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的最值或值域等形式出現(xiàn).

(3)導(dǎo)數(shù)與方程、不等式的關(guān)系.特別是討論方程解的個(gè)數(shù)、求與函數(shù)相關(guān)的不等式的解集、討論參數(shù)的范圍、利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式等.

(4)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖像的關(guān)系.特別是對(duì)函數(shù)圖像形狀的判斷、極值點(diǎn)的位置、函數(shù)圖像的變化規(guī)律、函數(shù)圖像與直線等其他圖形的位置關(guān)系等.

(5)值得關(guān)注的是近幾年高考中，導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的考查出現(xiàn)了新的變化，主要集中在解析幾何中的面積、距離等幾何量最值問(wèn)題的計(jì)算，以及在非線性不等式組所確定的可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)最值問(wèn)題，都開(kāi)始利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行計(jì)算.

因此，在導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的復(fù)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)充分體現(xiàn)以下幾個(gè)重點(diǎn)：首先是導(dǎo)數(shù)的基本概念及其幾何意義，這是學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)與運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題的基礎(chǔ)；其次是掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其運(yùn)算法則，以及簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算，這是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題的工具；第三，要理解利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，函數(shù)單調(diào)性的討論處于核心的地位，要將所研究的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為關(guān)于單調(diào)性問(wèn)題的討論，這是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

要重視對(duì)一些常見(jiàn)函數(shù)和?？己瘮?shù)的研究.縱觀近幾年高考試題中導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用部分所涉及到的函數(shù)主要有以下幾種類(lèi)型：

2 典例剖析

2.1 函數(shù)的極值與單調(diào)性

分析函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，+∞)，且

(1)當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)≤0，因此f(x)在定義域(0，+∞)上單調(diào)遞減；

評(píng)注求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的本質(zhì)是判定其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的符號(hào)，先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào).在判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)時(shí)，可利用不等式的性質(zhì)、函數(shù)單調(diào)性等，有時(shí)可運(yùn)用分類(lèi)討論的思想來(lái)進(jìn)行符號(hào)的判定.

分析函數(shù)f(x)的定義域是(0，+∞)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)存在極大值和極小值，且

所以

4-4a2>0，

即

設(shè)方程ax2-2x+a=0的2個(gè)根為x1，x2，且x1

m=f(x1)，n=f(x2).

將S表示成關(guān)于參數(shù)a的函數(shù)，實(shí)際上將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了求函數(shù)值域的問(wèn)題.

因此S(t)是關(guān)于t的增函數(shù)，從而

即

評(píng)注求函數(shù)極值問(wèn)題，其本質(zhì)是在一定的范圍內(nèi)求方程的解，以及求函數(shù)值的問(wèn)題.對(duì)于方程根的存在性以及方程根的分布討論已成為高考中的熱點(diǎn)問(wèn)題之一，因此掌握好與方程相關(guān)的知識(shí)，了解函數(shù)與方程間的關(guān)系是提高解題能力的重要環(huán)節(jié).

2．2 函數(shù)的最值與參數(shù)的范圍

例3已知函數(shù)f(x)=ax+lnx，其中a∈R.

(1)當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值；

(2)若f(x)在區(qū)間(0，e]上的最大值為-3，求a的值；

評(píng)注在閉區(qū)間上，一個(gè)連續(xù)函數(shù)必定存在最大值和最小值，函數(shù)的最值只能在區(qū)間端點(diǎn)或極值點(diǎn)取到.在開(kāi)區(qū)間上，如果函數(shù)有唯一的極大值點(diǎn)(極小值點(diǎn))，那么這個(gè)極大值(極小值)便是函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的最大值(最小值)，這是一個(gè)常用的原理.

①當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e]上是增函數(shù)，fmax(x)=f(e)=ae+1=-3，矛盾.

fmax(x)=f(e)=ae+1=-3，

得

得a=-e-2.

評(píng)注在定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間上求函數(shù)的最值，極值點(diǎn)的位置很重要.如果極值點(diǎn)又與參數(shù)有關(guān)，那么就需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論以確定極值點(diǎn)的位置.這種類(lèi)型的問(wèn)題也是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題之一.

評(píng)注討論方程有無(wú)實(shí)數(shù)解，或有多少實(shí)數(shù)解，一般的方法是轉(zhuǎn)化成分析函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題.我們可以先考慮函數(shù)的最值，確定大致的位置關(guān)系，估計(jì)函數(shù)圖像有無(wú)交點(diǎn)的可能，要避免未加分析馬上進(jìn)行復(fù)雜函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算.

例4已知a>0，b∈R，函數(shù)f(x)=4ax3-2bx-a+b.證明：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，

(1)函數(shù)f(x)的最大值為|2a-b|+a；

(2)f(x)+|2a-b|+a≥0.

fmax(x)=max{f(1),f(0)}.

因?yàn)閒(1)=3a-b，f(0)=b-a，f(1)-f(0)=4a-2b，所以

即

得

fmax(x)=|2a-b|+a.

評(píng)注求閉區(qū)間上函數(shù)的最值問(wèn)題始終應(yīng)該關(guān)注函數(shù)單調(diào)性這個(gè)關(guān)鍵因素.

(2)要證明f(x)+|2a-b|+a≥0，即證明f(x)+fmax(x)≥0，亦即證明當(dāng)2a-b≥0時(shí)，f(x)+f(1)≥0；當(dāng)2a-b≤0時(shí)，f(x)+f(0)≥0.

①當(dāng)2a-b≥0時(shí)，

f(x)+f(1)= 4ax3-2bx+2a≥4ax3-4ax+2a=

2a(2x3-2x+1),

②當(dāng)2a-b≤0時(shí)，

f(x)+f(0)= 4ax3-2b(1-x)-2a≥

2a(2x3-2x+1),

于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為證明函數(shù)φ(x)=2x3-2x+1，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，φ(x)≥0.

評(píng)注函數(shù)的最值是函數(shù)的整體性質(zhì)，因此需要對(duì)函數(shù)在某范圍內(nèi)的變化規(guī)律有充分的了解，這樣更容易尋找到正確的解題方法.

2.3 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)不等式

分析由于

f(x1)-f(x2)

即

f(x1)+x1

因此結(jié)論是成立的.

由題意，必須有f(1)=1-2a≤-1，即a≥1，而當(dāng)a≥1時(shí)，x=1是函數(shù)f(x)唯一的極大值點(diǎn)，因此

fmax(x)=f(1)=1-2a≤-1，

故a的取值范圍是[1，+∞).

當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立，因此gmax(x)=1，即a≥1.這種處理問(wèn)題的思路在2012年的數(shù)學(xué)高考中也有體現(xiàn),如山東卷理科第22題

要證明g(x)<1+e-2，當(dāng)x≥1時(shí)，顯然有g(shù)(x)≤0，而當(dāng)0≤x≤1時(shí)，如果直接求函數(shù)g(x)的最大值，那么因?yàn)榍髮?dǎo)數(shù)的運(yùn)算非常復(fù)雜而使解題過(guò)程無(wú)法繼續(xù).我們同樣可以利用不等式ln(1+x)≤x的變形，得到g(x)≤1-xlnx-x，只要證明當(dāng)0≤x≤1時(shí)，函數(shù)y=1-xlnx-x≤1+e2即可.

另外，在求參數(shù)范圍的過(guò)程中，也可以利用特殊值，縮小參數(shù)的范圍，簡(jiǎn)化問(wèn)題的討論.

2.4 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的圖像

例7已知函數(shù)f(x)=eax-x，其中a≠0.在函數(shù)f(x)的圖像上取定2個(gè)點(diǎn)A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))(x1k成立？若存在，求x0的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

f′(x)=aeax-1.

評(píng)注導(dǎo)數(shù)問(wèn)題往往都具有很強(qiáng)的幾何背景，本題的幾何背景是微分中值定理在一個(gè)具體函數(shù)上的表現(xiàn).割線AB的斜率介于過(guò)點(diǎn)A，B的曲線的切線的斜率之間，并且存在一點(diǎn)x*，使f′(x*)=kAB，而且f′(x)是增函數(shù).

(1)證明：對(duì)于正數(shù)a，存在正數(shù)p，使得當(dāng)x∈[0，p]時(shí)，有-1≤f(x)≤1；

(2)設(shè)(1)中的p的最大值為g(a)，求g(a)的最大值.

分析因f(0)=1，且

f′(x)=3x2+3(1-a)x-3a=3(x+1)(x-a)，

因此，x=-1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，x=a是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，從而f(x)是(0，a)上的減函數(shù).從函數(shù)f(x)的圖像上看，問(wèn)題(1)中的結(jié)論是非常明顯的，正數(shù)p顯然是存在的，但如何說(shuō)明？

當(dāng)f(a)≥-1時(shí)，可取p=a，此時(shí)當(dāng)x∈[0，p]時(shí)，有-1≤f(x)≤1成立；而當(dāng)f(a)<-1時(shí)，由于f(0)+1=2>0，f(a)+1<0，因此存在一個(gè)數(shù)p∈(0，a)，使f(p)+1=0，此時(shí)當(dāng)x∈[0，p]時(shí)，有-1≤f(x)≤1成立.

評(píng)注導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一個(gè)重要方面是對(duì)于函數(shù)圖像的分析和討論，這是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的重要標(biāo)志，這也是高考的熱點(diǎn)之一.本題中

由此知道函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過(guò)2個(gè)定點(diǎn)(0，1)，(-2，-1)，經(jīng)過(guò)這2個(gè)定點(diǎn)的直線方程為y=x-1，于是我們可以將函數(shù)f(x)改寫(xiě)成

f(x)=(x+1)+x(x+2)(x-x0)，

因此

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用問(wèn)題雖然較為綜合，也有一定的難度，但是它所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)價(jià)值是其他內(nèi)容所不能替代的，因而無(wú)可厚非地成為高考的熱點(diǎn).只要我們真正領(lǐng)會(huì)其中的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，就能很好地把握問(wèn)題的本質(zhì)，從而正確地解決問(wèn)題.

3 精題集萃

1．設(shè)函數(shù)f(x)=xex，則

( )

A．x=1為f(x)的極大值點(diǎn)

B．x=1為f(x)的極小值點(diǎn)

C．x=-1為f(x)的極大值點(diǎn)

D．x=-1為f(x)的極小值點(diǎn)

( )

3．函數(shù)f(x)=x3-4x+a，0

( )

A．x1>-1 B．x2<0

C．x2>0 D．x3>2

5．定義：曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離.已知曲線C1：y=x2+a到直線l：y=x的距離等于曲線C2：x2+(y+4)2=2到直線l：y=x的距離，則實(shí)數(shù)a=______.

(1)設(shè)a>0，討論函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性；

(2)若對(duì)任意x∈(0，1)，恒有f(x)>1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

7．設(shè)a>0，b>0，函數(shù)f(x)=xlnx，g(x)=-a+xlnb.

(1)設(shè)h(x)=f(x)-g(x)，求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間；

8．已知拋物線C：x2=4y，拋物線上點(diǎn)A，B分別位于y軸的兩側(cè)，直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且平行于x軸.過(guò)點(diǎn)A，B分別作拋物線的切線l1，l2，l1與l2相交于點(diǎn)P，且與直線l分別相交于點(diǎn)M，N，求△PMN面積的最小值，并求取到最小值時(shí)點(diǎn)A，B的坐標(biāo).

參考答案

(2)a的取值范圍是(-∞，2].

(2)解法1分類(lèi)討論：

則

8．提示:設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中x1<0，x2>0.由

得

由

得

同理可得

因此

x2-4kx-4b=0，

從而

x1+x2=4k,x1x2=-4b，

于是