概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的高考走勢(shì)

● (衢州市第二中學(xué) 浙江衢州 324000)

概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的高考走勢(shì)

●楊樟松(衢州市第二中學(xué) 浙江衢州 324000)

縱觀全國(guó)和各省、市近幾年的數(shù)學(xué)高考題，筆者發(fā)現(xiàn)新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施以后，高考加強(qiáng)了對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的考查.概率與統(tǒng)計(jì)不僅是現(xiàn)代公民應(yīng)具備的最基本的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且與實(shí)際的聯(lián)系非常密切，對(duì)學(xué)生解決非確定性數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力進(jìn)行有針對(duì)性的考查，同時(shí)又是大學(xué)概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，起到了承上啟下的作用.新課程強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性、現(xiàn)實(shí)性，重視素質(zhì)教育與高考的兼容性，概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)內(nèi)容恰好是一個(gè)很好的載體，已成為高考的熱點(diǎn)之一.

1 考點(diǎn)回顧

概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的學(xué)科，統(tǒng)計(jì)是研究如何合理收集、整理、分析數(shù)據(jù)的學(xué)科.統(tǒng)計(jì)的主要內(nèi)容有：抽樣方法、用樣本估計(jì)總體、正態(tài)分布；概率的主要內(nèi)容有：古典概型的概率、互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率、對(duì)立事件的概率、獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率，以及取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差、兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布等.

高考對(duì)這部分內(nèi)容的考查往往注重聯(lián)系實(shí)際、貼近生活.文科重點(diǎn)考查古典概型的概率及樣本的數(shù)字特征、頻率分布直方圖；理科則重點(diǎn)考查以相應(yīng)的概率知識(shí)為基礎(chǔ)的有關(guān)離散型隨機(jī)變量分布列、均值、方差的知識(shí).

2 命題走勢(shì)

文科要求相對(duì)較低，以小題的形式出現(xiàn)的可能性較大.概率部分主要考查以古典概型為主的概率，統(tǒng)計(jì)則主要考查抽樣方法、由頻率分布直方圖計(jì)算頻率及樣本的數(shù)字特征.理科除了2011年以小題的形式出現(xiàn)以外，其余年份都是以解答題并設(shè)計(jì)多個(gè)小題的形式出現(xiàn)，重點(diǎn)考查離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、期望、方差等.通常以考生熟悉的生活背景為載體，以排列組合和概率知識(shí)為工具，考查對(duì)概率事件的識(shí)別與概率的計(jì)算.

3 典例剖析

例1袋中共有6個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中1個(gè)紅球、2個(gè)白球和3個(gè)黑球.從袋中取2個(gè)球，這2個(gè)球的顏色為一黑一白的概率等于

( )

(2012年安徽省數(shù)學(xué)高考文科試題)

分析由于每個(gè)球被取到的可能性相等，且基本事件的總數(shù)是有限的，可知該題屬于古典概型，因此可以采用列舉法求解.

評(píng)注解決古典概型問(wèn)題的關(guān)鍵是要明確：①基本事件是什么？②試驗(yàn)是否等可能？③基本事件總數(shù)是什么？④事件中包含多少個(gè)基本事件？

(1)甲獲勝的概率；

(2)投籃結(jié)束時(shí)甲的投球次數(shù)ξ的分布列與期望.

(2012年重慶市數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析因?yàn)榧住⒁?人投籃是相互獨(dú)立的，所以應(yīng)利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生概率的方法解決.

解設(shè)Ak，Bk分別表示甲、乙在第k次投籃投中，則

(1)記“甲獲勝”為事件C，由互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率與相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式知

(2)ξ的所有可能取值為1,2,3.由獨(dú)立性知

綜上所知，ξ的分布列如表1所示.

表1 ξ的分布列

從而

評(píng)注本題主要考查互斥事件概率的求解、離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，關(guān)鍵是確定變量的取值，理解變量取值的含義.同時(shí)，要注意在解決概率問(wèn)題時(shí)要規(guī)范解答，有必要的文字?jǐn)⑹?，不能只有?shù)字和符號(hào).

例3假設(shè)甲、乙2種品牌的同類產(chǎn)品在某地區(qū)市場(chǎng)上銷售量相等，為了解它們的壽命，現(xiàn)從這2種品牌的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取100個(gè)進(jìn)行測(cè)試，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如圖1和圖2所示.

圖1 圖2

(1)估計(jì)甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時(shí)的概率；

(2)這2種品牌產(chǎn)品中，某個(gè)產(chǎn)品已經(jīng)使用了200個(gè)小時(shí)，試估計(jì)該產(chǎn)品是甲品牌的概率.

(2012年陜西省數(shù)學(xué)高考文科試題)

分析問(wèn)題(1)先從頻數(shù)分布圖中得到甲產(chǎn)品壽命小于300小時(shí)的個(gè)數(shù)，與總數(shù)相比求出概率.問(wèn)題(2)先求出已使用了200小時(shí)的產(chǎn)品總數(shù)，再找到甲品牌的個(gè)數(shù)，二者相比即可得到結(jié)論.

評(píng)注本題主要考查讀頻率分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息的能力，用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布的思想，關(guān)鍵在于能讀否懂頻率分布直方圖.

例4袋中有大小均勻的3個(gè)紅球和6個(gè)白球，現(xiàn)從中有放回地摸球，每次摸一個(gè)，有3次摸到紅球即停止.

(1)求恰好摸5次停止的概率；

(2)記5次之內(nèi)(含5次)摸到紅球的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列與期望.

分析由于本題是“有放回”地摸球，因此可以用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求概率的方法求解.

隨機(jī)變量ξ的分布列如表2所示.

表2 ξ的分布列

從而數(shù)學(xué)期望為

評(píng)注在解決摸球、摸獎(jiǎng)等古典概型問(wèn)題時(shí)，要特別注意分清“有放回”與“無(wú)放回”、“有序”與“無(wú)序”等條件的影響.

例5甲、乙2位同學(xué)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn).現(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績(jī)中隨機(jī)抽取8次，繪制成莖葉圖如下：

甲乙9875842180035539025

(1)指出學(xué)生乙成績(jī)的中位數(shù)，并說(shuō)明它在乙組數(shù)據(jù)中的含義；

(2)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，從平均成績(jī)和方差的角度來(lái)考慮，你認(rèn)為派哪位學(xué)生參加更合適？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若將頻率視為概率，對(duì)學(xué)生甲在今后的3次數(shù)學(xué)競(jìng)賽進(jìn)行預(yù)測(cè)，記這3次成績(jī)中高于80分的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列與期望.

分析由于學(xué)生甲在今后的3次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中分?jǐn)?shù)是否高于80分的事件每次相互獨(dú)立，因此成績(jī)中高于80分的次數(shù)為ξ服從二項(xiàng)分布，故可以采用二項(xiàng)分布求概率的方法求解.

解(1)學(xué)生乙成績(jī)的中位數(shù)為84，它是這組數(shù)據(jù)中最中間位置的一個(gè)數(shù)或最中間位置2個(gè)數(shù)的平均數(shù)，中位數(shù)可能在所給的數(shù)據(jù)中，也可能不在所給數(shù)據(jù)中.

(2)派甲參加比較合適，理由如下：

其中，Structurei，t表示旅游產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)升級(jí)，Convergi，t表示文化與旅游產(chǎn)業(yè)融合；Mediatori，t表示中介變量，包括文化與旅游消費(fèi)需求(Demandi，t)、技術(shù)創(chuàng)新(Techi，t)、文化與旅游業(yè)協(xié)同集聚(Clusteri，t)；Controlsi，t表示控制變量，包括市場(chǎng)化水平(Marketi，t)、人力資本(Labori，t)、政府支出(Governi，t)、貿(mào)易開(kāi)放(Openi，t)；α、β、γ、φ為系數(shù)向量，εi，t為隨機(jī)誤差項(xiàng)。

所以甲成績(jī)比較穩(wěn)定，派甲參加比較合適.

(3)記“甲在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中成績(jī)高于80分”為事件A，則

依題意，得

從而

因此ξ的分布列如表3所示.

表3 ξ的分布列

從而

或

評(píng)注本題主要考查了讀莖葉圖的能力、二項(xiàng)分布的概念.判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，關(guān)鍵是：(1)獨(dú)立性，即在一次實(shí)驗(yàn)中，事情發(fā)生與不發(fā)生二者必居其一；(2)重復(fù)性，即實(shí)驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行了n次.

4 精題集萃

1.一個(gè)壇子里有編號(hào)為1，2，…，12的12個(gè)大小相同的球，其中1到6號(hào)球是紅球，其余的是黑球.若從中任取2個(gè)球，則取到的都是紅球且至少有1個(gè)球的號(hào)碼是偶數(shù)的概率是

( )

2.投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A，“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是3”為事件B，則事件A，B中至少有一件發(fā)生的概率是

( )

3.投擲2顆骰子，得到其向上的點(diǎn)數(shù)分別為m和n,則復(fù)數(shù)(m+ni)(n-mi)為實(shí)數(shù)的概率為

( )

4.由正整數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3,x4，其平均數(shù)和中位數(shù)都是2，且標(biāo)準(zhǔn)差等于1，則這組數(shù)據(jù)為_(kāi)_______.

(2012年廣東省數(shù)學(xué)高考文科試題)

5.在4張卡片上分別寫(xiě)有數(shù)字2,3,4,5，將它們混合，然后再任意排成一行，則得到的4位數(shù)能被2或5整除的概率是______.

7.乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定：一局比賽，雙方比分在10平前，一方連續(xù)發(fā)球2次后，對(duì)方再連續(xù)發(fā)球2次，依次輪換.每次發(fā)球，勝方得1分，負(fù)方得0分.設(shè)在甲、乙的比賽中，每次發(fā)球，發(fā)球方得1分的概率為0.6，各次發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立.在甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球.

(1)求開(kāi)始第4次發(fā)球時(shí)，甲、乙的比分為1∶2的概率；

(2)ξ表示開(kāi)始第4次發(fā)球時(shí)乙的得分，求ξ的期望.

(2012年全國(guó)數(shù)學(xué)高考大綱卷理科試題)

(1)求n的值.

(2)現(xiàn)從甲、乙2個(gè)盒子各隨機(jī)抽取1個(gè)小球，抽得紅球的得分為其標(biāo)號(hào)數(shù)；抽得黑球，若標(biāo)號(hào)數(shù)為奇數(shù)，則得分為1，若標(biāo)號(hào)數(shù)為偶數(shù)，則得分為0.設(shè)被抽取的2個(gè)小球得分之和為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望.

參考答案

7.解記Ai表示事件：第1次和第2次這2次發(fā)球，甲共得i分，i=0,1,2；

A表示事件：第3次發(fā)球，甲得1分；

B表示事件：開(kāi)始第4次發(fā)球時(shí)，甲、乙的比分為1∶2.

0.16×0.4+0.48×(1-0.4)=

0.352.

(2)P(A2)=0.62=0.36,ξ的可能取值為0,1,2,3，則

P(ξ=0)=P(A2·A)=P(A2)P(A)=0.36×0.4=0.144,

P(ξ=2)=P(B)=0.352,

P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=2)-P(ξ=3)=0.408,

故

Eξ=1.400.

故