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    一次數(shù)學(xué)教研活動(dòng)引發(fā)的探究

    2013-07-25 09:31:32貴州省綏陽(yáng)縣小關(guān)中學(xué)梁可霜
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2013年16期
    關(guān)鍵詞:大角角是頂角

    ☉貴州省綏陽(yáng)縣小關(guān)中學(xué) 梁可霜

    在一次數(shù)學(xué)教研活動(dòng)上,筆者遇到了這樣的問(wèn)題:“有一個(gè)三角形,其內(nèi)角分別為:20°,40°,120°.怎樣把三角形分成兩個(gè)等腰三角形?畫出圖形,試試看,將此題從特殊推廣到一般,可變?yōu)椤鰽BC滿足什么條件,可以用過(guò)頂點(diǎn)的一條直線將它分割成兩個(gè)等腰三角形?如何分?有幾種分法?筆者對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行了探究,現(xiàn)寫出來(lái)以供同行參考.

    筆者認(rèn)為,過(guò)最小角的頂點(diǎn)的直線不能把原來(lái)的三角形分割成兩個(gè)等腰三角形.這個(gè)“問(wèn)題”與角有關(guān),所以我們不妨從角的角度去思考,應(yīng)當(dāng)首先找到度數(shù)最小的角(后面簡(jiǎn)稱“最小角”,其次,度數(shù)最大的角簡(jiǎn)稱“最大角”,介于兩者之間的角簡(jiǎn)稱“次大角”).

    已知:如圖1,△ABC中,∠ABC<∠A,∠ABC<∠C,∠ABC是△ABC中的最小角,過(guò)點(diǎn)B的直線BD把△ABC分割成△ABD和△CBD,則兩個(gè)三角形不可能同時(shí)是等腰三角形.

    圖1

    證明: 在△ABD中,∠A>∠1,∠3>∠C>∠ABC>∠1,在△CBD中,∠C>∠2,∠4>∠A>∠ABC>∠2,可見,只剩下∠3=∠A,∠4=∠C的可能性了,那么它們能不能同時(shí)成立呢?因?yàn)椤?+∠4=180°,所以∠A+∠C=180°,顯然這個(gè)結(jié)論是不可能的,所以,∠3=∠A與∠4=∠C不能同時(shí)成立.

    于是得出以下結(jié)論:

    結(jié)論1:過(guò)最小角的頂點(diǎn)的直線不能把原來(lái)的三角形分割成兩個(gè)等腰三角形.

    結(jié)論2:三角形有三個(gè)相等的最小角,分割該等邊三角形為兩個(gè)較小的等腰三角形的直線不存在.

    結(jié)論3:只有三個(gè)角都不相等和僅有兩個(gè)角相等的兩類三角形才有可能被分割成兩個(gè)等腰三角形.

    下面,我們先從三角形三邊都不相等的三角形開始研究,還需要附加什么條件,使一個(gè)三角形具有過(guò)某個(gè)頂點(diǎn)的一條直線將它分割成兩個(gè)等腰三角形.

    如圖2,在△ABC中,∠B<∠ACB<∠BAC,∠B為最小角,不能再分割,那么∠B將成為分割△ABC后得到的其中一個(gè)等腰三角形的角,運(yùn)用分類討論思想,∠B可能是這個(gè)等腰三角形的頂角,也可以是底角,并且當(dāng)∠B是底角時(shí),又可以分為兩類:以AB為底邊或以BC為底邊.可見,就∠B而言,先分三大類:

    1.當(dāng)∠B為頂角時(shí),以B為圓心,BA長(zhǎng)為半徑作弧,交BC于D,作直線AD把△ABC分割成△ABD和△ACD,顯然△ABD是等腰三角形,欲使△ACD成等腰三角形,又可以分為三種情況考慮:∠C=∠DAC,或者∠C=∠ADC,或者∠DAC=∠ADC.但是,結(jié)合圖形仔細(xì)分析一下,因?yàn)椤螦DB是銳角,所以∠ADC是鈍角,顯然只有∠C=∠DAC成立.

    圖2

    可以看出,當(dāng)最大角是次大角的3倍時(shí),從最大角中分割出一個(gè)與次大角相等的角,并且要求這個(gè)角與次大角有一條公用邊,那么分割最大角的這條直線把原來(lái)的三角形分割成兩個(gè)等腰三角形.

    2.當(dāng)∠B為底角且以AB邊為底邊時(shí),作AB的垂直平分線DE交BC于點(diǎn)D,作直線AD,顯然△ABD是等腰三角形,欲使△ACD成為等腰三角形,也可分為三種情況考慮.

    圖3

    (2)當(dāng)∠B為底角且以AB邊為底邊時(shí),若∠C=∠ADC,設(shè)∠B=α(如圖4),則∠C=∠ADC=2α,所以∠C=2∠B.可以看出,當(dāng)次大角是最小角的2倍時(shí),從最大角中分割出一個(gè)與最小角相等的角,并且要求這個(gè)角與最小角有一條公共邊,那么分割最大角的這條直線把原來(lái)的三角形分割成兩個(gè)等腰三角形.

    圖4

    圖5

    (3)當(dāng)∠B為底角且以AB邊為底邊時(shí),若∠DAC=∠ADC,設(shè)∠B=α(如圖5),則∠DAC=∠ADC=2α,所以∠BAC=α+2α=3α=3∠B.可以看出,當(dāng)最大角是最小角的3倍時(shí),從最大角中分割出一個(gè)與最小角相等的角,并且要求這個(gè)角與最小角有一條公用邊,那么分割成最大角的這條直線把原來(lái)的三角形分割成兩個(gè)等腰三角形.

    3.當(dāng)∠B為底角且以BC邊為底邊時(shí),作BC的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D,過(guò)C、D兩點(diǎn)的直線CD把△ABC分割成△BCD和△ACD(如圖6),顯然△BCD是等腰三角形,欲使△ACD成等腰三角形,又可以分為三種情況考慮:∠A=∠ACD,或者∠A=∠ADC,或者∠ACD=∠ADC.但是結(jié)合圖形分析一下,因?yàn)椤螦為最大角,∠ACB為次大角,所以淘汰掉∠A=∠ADC.

    (1)當(dāng)∠B為底角且以AB邊為底邊時(shí),若∠A=∠ACD,設(shè)∠B=α,(如圖6),則∠A=∠ADC=2α,所以∠A=2∠B,可以看出:當(dāng)最大角是最小角的2倍時(shí),從次大角中分割出一個(gè)與最小角相等的角,并且要求這個(gè)角與最小角有一條公用邊,那么分割次大角的這條直線把原來(lái)的三角形分割成兩個(gè)等腰三角形.

    圖6

    圖7

    (2)當(dāng)∠B為底角且以BC邊為底邊時(shí),若∠ACD=∠ADC,設(shè)∠B=α(如圖7),則∠ACD=∠ADC=α+2α=3α,顯然∠ACB=3∠B.可以看出,當(dāng)次大角是最小角的3倍時(shí),從次大角中分割出一個(gè)與最小角相等的角,并且要求這個(gè)角與最小角有一條公用邊,那么分割次大角的這條直線把原來(lái)的三角形分割成兩個(gè)等腰三角形.

    綜上所述,三個(gè)角都不相等的三角形分割成兩個(gè)等腰三角形的情形如下:

    情形1:有一個(gè)角是90°.分割的方法:作斜邊上的中線所在的直線.

    情形2:有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍(筆者為了能描述清楚,令這里的較小角叫“單倍角”,較大的角為“三倍角”).有三種可能:最大角是最小角的3倍,或次大角是最小角的3倍,或最大角是次大角的3倍.分割方法:從三倍角中分割出一個(gè)與單倍角相等的角,并且要求這個(gè)角與單倍角有一條公用邊,即與這個(gè)角以單倍角為兩個(gè)內(nèi)角構(gòu)成一個(gè)較小的等腰三角形.

    情形3:有一個(gè)角是最小角的2倍(筆者令這里的較大角叫“二倍角”,最大的角為“三倍角”,并且強(qiáng)調(diào)一下:必須是最小角的2倍).有兩種可能:最大角是最小角的2倍,或次大角是最小角的2倍.分割方法:從第三個(gè)角(除最小角和“二倍角”)中分割出一個(gè)與最小角相等的角,并且要求這個(gè)角與最小角有一條公用邊,即以這個(gè)角與最小角為兩個(gè)內(nèi)角構(gòu)成一個(gè)較小的等腰三角形.

    值得注意的是:當(dāng)三角形的三個(gè)內(nèi)角滿足上述的多種情形,比如既有3倍關(guān)系,又有2倍關(guān)系,那么分割方法可能不唯一.

    接下來(lái),我們研究:兩個(gè)角相等的等腰三角形,還需要附加什么條件,使該等腰三角形能分割成兩個(gè)較小的等腰三角形.

    (1)當(dāng)該等腰三角形只有一個(gè)最小角時(shí),最小角必是頂角,另外兩個(gè)較大角是底角,如果我們把兩個(gè)相等的較大的底角,一個(gè)看成是最大角,另一個(gè)看成次大角,那么該等腰三角形上也有上面情形2、3的分割方法,只是要多考慮到等腰三角形的軸對(duì)稱性,分割該等腰三角形為兩個(gè)較小的等腰三角形的直線有兩條,研究過(guò)程與上面相似,這里就不一一敘述了.

    (2)當(dāng)該等腰三角形有兩個(gè)相等的最小角時(shí),第三個(gè)角必是最大角且是頂角,兩個(gè)相等的最小角是底角,如果我們把兩個(gè)相等的最小的底角,一個(gè)看成是最小角,另一個(gè)看成次大角,那么該等腰三角形也有上述情形1、2的分割方法,當(dāng)為情形2時(shí),也要考慮等腰三角形的軸對(duì)稱性,研究過(guò)程與上面相似,這里省略.

    問(wèn)題1:在△ABC中,若過(guò)其中一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線,將△ABC分成兩個(gè)等腰三角形,求△ABC各內(nèi)角的度數(shù).

    解析:①如圖8,在△ABC中,若底角是頂角的2倍,設(shè)∠A=α,∠B=∠C=2α,則α+2α+2α=180°,α=36°,三內(nèi)角的度數(shù)分別為:36°、72°、72°.

    ②如圖9,在△ABC中,若頂角是底角的2倍,設(shè)∠B=∠C=α,∠A=2α,則α+α+2α=180°,α=45°,三內(nèi)角的度數(shù)分別為:90°、45°、45°.

    ③如圖10,在△ABC中,若頂角是底角的3倍,設(shè)∠B=∠C=α,∠A=3α,則α+α+3α=180°,α=36°,三內(nèi)角的度數(shù)分別為:108°、36°、36°.

    圖8

    圖9

    圖10

    問(wèn)題2:如果一個(gè)三角形有一個(gè)內(nèi)角為40°,且過(guò)某一頂點(diǎn)能將該三角形分成兩個(gè)等腰三角形,則該三角形其余兩個(gè)角的度數(shù)是多少?

    解析:①首先考慮,當(dāng)這個(gè)三角形是直角三角形時(shí),其余兩個(gè)角的度數(shù)是50°和90°.

    ②當(dāng)這個(gè)40°的內(nèi)角為最小角時(shí),另外兩個(gè)較大的角可能與最小角有2倍或3倍關(guān)系,或者最大角是次大角的3倍,所以所得其余兩個(gè)角的度數(shù)為60°和80°.

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