“放”得妙解紛呈，“收”得精彩無(wú)限——例談一題多解教學(xué)中的“收”“放”策略

☉江蘇省連云港市新壩中學(xué) 周 楊 喬華利

“一題多解”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)道路上最為絢麗的一道風(fēng)景.就教學(xué)價(jià)值而言，我們可以利用問(wèn)題解法的開(kāi)放性，在發(fā)散思維（“放”）與聚合思維（“收”）的結(jié)合訓(xùn)練中優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，在對(duì)解法進(jìn)行多角度的對(duì)比和優(yōu)化中發(fā)展學(xué)生的元認(rèn)知能力，在促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知能力發(fā)展的同時(shí)，使學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)得到完善.

那么實(shí)際教學(xué)中，怎樣的“收”、“放”操作，才能讓“一題多解”的上述教學(xué)價(jià)值得到有效挖掘和充分體現(xiàn)呢？筆者在此結(jié)合一道例題的教學(xué)談?wù)勛约旱囊恍\見(jiàn)，與同行交流.

一、例題及簡(jiǎn)析

圖1

簡(jiǎn)析：本題作為一道填空題，通常會(huì)被認(rèn)為是一道“小題”.然而筆者認(rèn)為，本題雖然題設(shè)簡(jiǎn)單，卻有一定的思維含量.初中階段學(xué)生對(duì)“圓”的認(rèn)識(shí)限于“形”，對(duì)涉及坐標(biāo)的直線問(wèn)題多用“數(shù)”，本題將圓放入平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以點(diǎn)的坐標(biāo)作為問(wèn)題指向，題設(shè)中又暗含較多的特殊角，這使得問(wèn)題體現(xiàn)出一定的綜合性的同時(shí)，“入口”也變得比較開(kāi)放，學(xué)生可以利用多種知識(shí)和方法來(lái)切入問(wèn)題.另外，本題的難度與思維含量合適，既能給學(xué)生一定的問(wèn)題空間，又容易在教學(xué)中取得較廣的調(diào)動(dòng)面.這些都決定了對(duì)本題的教學(xué)有必要“小題大做”！

二、教學(xué)中的“收”與“放”

1.在“百花爭(zhēng)艷”的“放”中顯化思想方法

每一個(gè)問(wèn)題的解決過(guò)程中都悄悄地流淌著思想方法的潛流，教師的一個(gè)重要工作就是讓這些思想方法清晰起來(lái)，明亮起來(lái).有一種觀點(diǎn)認(rèn)為，數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)多“意會(huì)”而不必“言傳”.筆者認(rèn)同這一點(diǎn)，但我們也應(yīng)當(dāng)承認(rèn)的是，在教學(xué)實(shí)踐中，特別是在具體問(wèn)題解決的教學(xué)過(guò)程中，盡量讓數(shù)學(xué)思想方法顯化也是相當(dāng)必要的.所謂“顯化”，不是把數(shù)學(xué)思想方法空洞地掛在嘴上，而是指在具體的問(wèn)題解決過(guò)程中將不同的思想方法具體化為不同的解題思路，再將不同的解題思路以具體的解答過(guò)程呈現(xiàn)出來(lái).顯然，如果能在同一個(gè)題目中對(duì)不同思想方法進(jìn)行具體化呈現(xiàn)，帶來(lái)的“顯化”效果是更為突出的！

解法1（解析法）：如圖2，設(shè)Rt△AOB的斜邊AB的中點(diǎn)為M，則M是△AOB外接圓的圓心.

連接PM并延長(zhǎng)交x軸于N點(diǎn).

圖2

直線OP的解析式為y=x.

因?yàn)镻點(diǎn)是直線OP與MN的交點(diǎn)，所以列方程組：

解法2（解直角三角形法一）：設(shè)Rt△AOB的斜邊AB的中點(diǎn)為M，則M是△AOB外接圓的圓心.

圖3

于是∠OPM=∠MOP=∠AOP-∠AOM=45°-30°=15°，OM=PM=2.

延長(zhǎng)PM，作OT⊥PM，垂足為T(mén)，則∠OMT=30°.

過(guò)P作PH⊥x軸，垂足為H.

解法3（解直角三角形法二）：如圖4，作BS⊥OP，PH⊥x軸，垂足分別為S、H，連接PB.

因?yàn)椤螦OP=45°，所以△BOS是等腰直角三角形.

圖4

所以∠BPS=∠BAO=30°.

解法4（構(gòu)造方程法）：如圖5，連接PB、PA，作PH⊥x軸，垂足為H.

因?yàn)椤螦BP=∠AOP=45°，AB是直徑，所以△PAB是等腰直角三角形.

圖5

如圖6，連接PM、OM，作PH⊥x軸，垂足為H，作MR⊥PH，MT⊥OA，垂足分別為R、T.

圖6

在Rt△POH中，∠AOP=45°，則∠MOP=∠MPO=15°，則∠MPR=∠MOT=30°.

連接PM并延長(zhǎng)交x軸于N點(diǎn)（如圖7）.

因?yàn)椤螦OP=45°，所以∠AMP=90°.

所以△AMN∽△PHN∽△AOB.

圖7

易得PH=OH.

解法7（全等變換法）：如圖8，作PQ⊥y軸、PH⊥x軸，垂足分別為Q、H，連接PB、PA.

因?yàn)镺P是∠AOB的平分線，所以PH=PQ，四邊形OHPQ是正方形.

由∠AOB=90°，可得AB是圓的直徑.

又因?yàn)椤螦BP=∠AOP=45°，所以△PAB是等腰直角三角形，PA=PB.

所以Rt△PQB≌Rt△PHA（HL）.

圖8

則有HA=BQ.

解法8（相交弦法）：如圖9，設(shè)OP與AB的交點(diǎn)為T(mén)，作TN⊥OA，PH⊥OA，垂足分別為N、H.

圖9

需要指出的是，在解法的教學(xué)呈現(xiàn)中，我們不應(yīng)簡(jiǎn)單地求“多”，而應(yīng)當(dāng)讓“多解”體現(xiàn)在不同的數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，或者是解決方法體現(xiàn)不同的角度和高度.就本題而言，解法1作為“解析法”，體現(xiàn)的更多的是數(shù)形結(jié)合思想；解法2與解法3將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求線段的長(zhǎng)，然后利用角度的特殊性將問(wèn)題再轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題，體現(xiàn)的是化歸與建構(gòu)模型的思想；解法4設(shè)立未知數(shù)，將未知量構(gòu)造到一個(gè)直角三角形中，運(yùn)用勾股定理列方程，體現(xiàn)了方程思想的運(yùn)用；解法5通過(guò)構(gòu)造三角形全等轉(zhuǎn)化未知量，體現(xiàn)了等量轉(zhuǎn)化的思想；解法6和解法7分別運(yùn)用了構(gòu)造相似圖形和全等圖形，體現(xiàn)了幾何變換的思想……當(dāng)這些方法呈現(xiàn)在一起的時(shí)候，學(xué)生不僅看到了“百花爭(zhēng)艷”的精彩，更真真切切地感受到每一種思想方法的具體存在與運(yùn)用，對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)，在一個(gè)問(wèn)題上呈現(xiàn)多種思想方法，就像一個(gè)植株上開(kāi)出了多色的花來(lái)！這種對(duì)比是鮮明的，這種印象是深刻的，這種體驗(yàn)是無(wú)可替代的.

2.在集思廣益的“放”中實(shí)現(xiàn)廣泛的思維調(diào)動(dòng)

數(shù)學(xué)課堂的一個(gè)永恒追求是廣泛的思維調(diào)動(dòng).相對(duì)于那些解法封閉的問(wèn)題，多解問(wèn)題往往往更容易調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性.以本題為例，筆者在一次階段測(cè)驗(yàn)中選用它，測(cè)驗(yàn)的結(jié)果并不如人意，全班50名學(xué)生中，僅有8名學(xué)生正確解答了本題.在試卷講評(píng)時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)8名學(xué)生中有4名學(xué)生采用解法1，有2名學(xué)生采用解法2；另兩名學(xué)生分別采取全等變換法和構(gòu)造方程的方法.幾位同學(xué)的解法呈現(xiàn)之后，立即激發(fā)了其他同學(xué)對(duì)試題進(jìn)行再思考.一段時(shí)間之后，各種新解法如雨后春筍般“冒”了出來(lái).比如，當(dāng)一名同學(xué)向大家講解構(gòu)造全等的方法之后，很快就有同學(xué)想到通過(guò)相似變換的方法，緊隨其后，幾種巧妙利用特殊角的方法就被其他同學(xué)想到，一時(shí)間，課堂上人人都參與進(jìn)來(lái)，有人在相互交流；有人在獨(dú)自沉思；有人眉頭緊鎖；有人眉開(kāi)眼笑……

其實(shí)很多時(shí)候，學(xué)生之間還會(huì)形成一種相互啟發(fā)的作用.就本題而言，大部分學(xué)生在考試的時(shí)候沒(méi)能解決問(wèn)題，但他們往往對(duì)問(wèn)題都有了較多的思考，他們往往就是在某一個(gè)關(guān)鍵處受阻，一個(gè)節(jié)點(diǎn)沒(méi)能打通.在課堂上，當(dāng)某一位同學(xué)用一種方法擊破這個(gè)節(jié)點(diǎn)的時(shí)候，往往能帶來(lái)很好的啟發(fā)作用，帶來(lái)一種“連鎖反應(yīng)”.就像一個(gè)人驚喜地找到一個(gè)蘑菇的時(shí)候，其他人也就能很快地在它周?chē)耐料抡业匠啥训哪⒐?！教師要做的就是通過(guò)有效的課堂組織，為學(xué)生創(chuàng)造這樣的課堂氛圍，努力在這種集思廣益的“生生互動(dòng)”或“師生互動(dòng)”中調(diào)動(dòng)學(xué)生“挖出更多蘑菇”的積極性！比如說(shuō)，解法3呈現(xiàn)之后，很快就有同學(xué)受其啟發(fā)而提出如下兩種新解法.

解法9：如圖10，作AS⊥OP，垂足為S，連接AP.

圖10

圖11

解法10：如圖11，作PH⊥x軸，垂足為H，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則M是圓心.連接PM，則∠AMP=90°，∠MPR=∠BAO=30°.

可以看出，上述兩種解法其實(shí)就是在“解法3”的啟發(fā)下，對(duì)“解直角三角形法”的再思考.筆者在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，在諸如此類(lèi)的“一題多解”問(wèn)題的教學(xué)中，初中生較強(qiáng)的表現(xiàn)欲在互動(dòng)探究的過(guò)程中表現(xiàn)得淋漓盡致，思維的調(diào)動(dòng)既體現(xiàn)出了廣度，也體現(xiàn)出了深度.

3.在“殊途同歸”的“收”中完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)

由一個(gè)問(wèn)題的條件或事實(shí)出發(fā)，從各個(gè)方面思考，尋求多種解法.這樣的過(guò)程體現(xiàn)的是思維的發(fā)散性，一種思維的“放”；從各個(gè)方面去思考問(wèn)題的過(guò)程中，多種方法最終要?dú)w結(jié)到一個(gè)問(wèn)題的有效解決，并且我們總是力求用最為簡(jiǎn)捷有效的解決方法，這樣的過(guò)程又體現(xiàn)了思維的“收”，即是一種聚合思維.事實(shí)上，問(wèn)題解決往往是依賴(lài)于發(fā)散思維與聚合思維的有機(jī)結(jié)合：一方面要能廣開(kāi)思路，自由聯(lián)想，提出各種解決問(wèn)題的設(shè)想與方法；另一方面，又要善于篩選解題方法，能選用一種最好的方案或辦法來(lái)解決問(wèn)題.

就本題而言，首先應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到多角度獲解的可能性.比如，我們可以想到用解析法求兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo)；我們可以想到圓中垂徑定理的運(yùn)用；我們可能由OP的特殊位置（∠AOP=45°）想到構(gòu)造全等變換；我們還可能由線段間特殊的位置關(guān)系想到構(gòu)造相似變換；我們還可以由題中特殊角想到解直角三角形……這是讓思維盡可能地“放”，在這個(gè)“放”的基礎(chǔ)上，學(xué)生還應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)到這些不同的方法能“殊途同歸”又體現(xiàn)了不同知識(shí)與方法之間存在著本質(zhì)的關(guān)聯(lián)，比如全等與相似、方程與函數(shù)之間特殊與一般的關(guān)系；“數(shù)”與“形”本質(zhì)上的統(tǒng)一.這樣的認(rèn)識(shí)過(guò)程體現(xiàn)的是思維的“收”，“收”的過(guò)程，很大程度上就是不同知識(shí)溝通聯(lián)系的過(guò)程，是個(gè)體內(nèi)部認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生“順應(yīng)”的過(guò)程.

4.在對(duì)比優(yōu)化的“收”中發(fā)展元認(rèn)知能力

即使在成功的解決問(wèn)題之后，我們?nèi)匀恍枰伎迹菏欠襁€有更為精致簡(jiǎn)潔的方法，或者原本的方法中是否存在著某種迂回從而可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化？這種思考方式是我們應(yīng)當(dāng)在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中向?qū)W生不斷滲透的.如何讓學(xué)生產(chǎn)生這種努力尋求“最優(yōu)化”的“心向”呢？筆者認(rèn)為，解法對(duì)比就是一種最為有效的方法.我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)，因?yàn)樗季S的慣性作用，個(gè)體對(duì)自己的解題過(guò)程往往很難作出有效的調(diào)整，而正是這種調(diào)整上的困難，使得我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題的時(shí)候陷入困境或者迷途難返.這也就是說(shuō)，對(duì)自己的解題過(guò)程作出優(yōu)化所需要的不僅僅是對(duì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)有更深的認(rèn)識(shí)，更需要自我批判、自我反思、自我監(jiān)控等元認(rèn)知能力，而發(fā)展這種“元認(rèn)知”能力的一個(gè)有效途徑就是將學(xué)生引入解法對(duì)比中.有對(duì)比才會(huì)感受到“優(yōu)化”的存在，感受到“優(yōu)化”才會(huì)有自我的反思，有自我反思才會(huì)有自我批判與自我監(jiān)控能力的形成與發(fā)展.

本題的教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)正確解答本題的學(xué)生中采用解法1（解析法）的最多，其次是解法2，通過(guò)課后交流發(fā)現(xiàn)，最初想到用解法2（包括沒(méi)能成功的）的學(xué)生遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于前者.隨著新方法不斷產(chǎn)生，我們很容易發(fā)現(xiàn)其實(shí)這兩種方法都顯得迂回?zé)┈?，于是有一個(gè)問(wèn)題凸顯出來(lái)：為什么這兩種方法迂回?zé)┈崊s被很多學(xué)生采用呢？筆者研究發(fā)現(xiàn)，這兩種解題思路就其產(chǎn)生過(guò)程而言，都具有明顯的“合理性”.以解法2為例，欲求P點(diǎn)的坐標(biāo)，很容易想到求出OP的長(zhǎng)，而OP作為圓中的一條弦，學(xué)生容易想到利用垂徑定理；在構(gòu)造出垂徑定理常用的直角三角形之后（圖3中的△MSP或△MOS），容易求出其中銳角（∠MPS或∠MOS）是15°，圓的半徑是2，于是問(wèn)題歸結(jié)為能否利用這些條件求出直角邊（PS或OS）的長(zhǎng).但是，很多學(xué)生就是“堵”在這里了：他們不能找到合適的方法來(lái)利用這個(gè)15°角，試圖在垂徑定理的基礎(chǔ)上找到可利用的線段關(guān)系，也很難找到.從這個(gè)過(guò)程中我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)，所謂解題思路的“合理性”，其實(shí)很大程度上又會(huì)表現(xiàn)為思維的定式作用，比如學(xué)生往往將“圓中求弦長(zhǎng)”定式于垂徑定理.如果在陷入困境之后及時(shí)返回起點(diǎn)再分析，也就容易發(fā)現(xiàn)題中涉及45°、60°、30°等更為特殊的角，利用這些特殊角的三角函數(shù)來(lái)解直角三角形，就可能想到解法3.解法3就比解法2顯得更為簡(jiǎn)捷，這一點(diǎn)，學(xué)生在解法對(duì)比時(shí)很容易感受到.筆者在課堂上發(fā)現(xiàn)，當(dāng)一個(gè)學(xué)生在課堂上向大家呈現(xiàn)解法3的時(shí)候，有很多學(xué)生驚呼：“我怎么就沒(méi)想到呢！”同樣，當(dāng)解法5呈現(xiàn)出來(lái)的時(shí)候，解法4因?yàn)榻夥匠踢^(guò)程的煩瑣而黯然失色；當(dāng)解法7巧妙地利用幾何變換思想與方程思想使問(wèn)題輕松獲解時(shí)，全班同學(xué)一致叫好……這樣的對(duì)比過(guò)程中，學(xué)生不由自主地產(chǎn)生了這樣的感嘆與思考：原來(lái)思路可以這樣的開(kāi)闊！我為什么就沒(méi)想到呢？顯然，這樣的感嘆與思考就是一種自我反思的具體表現(xiàn).