競賽中代數(shù)式求值的九種常用方法

☉江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)實(shí)驗(yàn)初級中學(xué) 李芳菲

在近幾年全國各地初中數(shù)學(xué)競賽中經(jīng)常出現(xiàn)代數(shù)式的求值問題，這類問題涉及的知識面廣，技巧性強(qiáng)，方法靈活多樣，倍受命題者的青睞．解決這類問題的關(guān)鍵是理清已知條件與所求代數(shù)式之間的關(guān)系，然后選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼猓P者結(jié)合近幾年各類競賽試題，歸納總結(jié)出解決這類問題的幾種常用方法，供讀者參考．

一、直接代入法

直接代入法就是將已知字母的值直接代入所求值的代數(shù)式中，通過化簡求得代數(shù)式值的方法．

點(diǎn)評：直接代入法是代數(shù)式求值中常用的方法之一，若已知代數(shù)式中所含字母的值，且直接代入后易求值時(shí)，可考慮利用直接代入法求解.

二、參數(shù)法

點(diǎn)評：參數(shù)法是解決這類問題的有效方法之一，利用這種方法求代數(shù)式值的關(guān)鍵是根據(jù)已知設(shè)出合理的參數(shù)．本題還可將x看作常數(shù)，然后用含有x的代數(shù)式表示y、z，直接代入所求值的代數(shù)式中化簡求值即可，但這種方法運(yùn)算量比較大，沒有參數(shù)法簡便快捷．

三、整體代換法

若已知代數(shù)式中所含字母的值，但直接代入后不易求值時(shí)，可考慮利用整體代換法求解.

所以3a3+12a2-6a-12=3a（a2+2a）+6a2-6a-12=6a2+12a-12=6×6-12=24.故選A.

點(diǎn)評：整體代換法是解決這類問題最有效的方法，利用整體代換法求代數(shù)式值的關(guān)鍵是對已知條件和所求值的代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危缓笳w代入求值即可．

四、利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)

A.-1 B.0 C.1 D.2

解析：由二次根式中被開方數(shù)的非負(fù)性可知，（a-3）b2≥0，即a≥3.

五、利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

A.5 B.7 C.9 D.11

解析：由已知a2+1=3a，b2+1=3b，且a≠b，則a、b可以看作一元二次方程x2-3x+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，知a+b=3，ab=1.

點(diǎn)評：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解決這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件找出合理的一元二次方程，然后利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系列出相關(guān)字母之間的關(guān)系，再整體代入所求值的代數(shù)式中化簡求值即可.若直接根據(jù)已知條件求出相關(guān)字母的值直接代入所求值的代數(shù)式中，運(yùn)算量會非常大，而且容易出錯(cuò).

六、利用方程組

例9（“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”2010年全國初中數(shù)學(xué)競賽）若x2+xy-2y=1，y2+xy-2x=1，則x+y的值為______.

由①+②可得，x2+2xy+y2-2（x+y）=2，

即（x+y）2-2（x+y）-2=0.

由①-②可得，x2-y2+2（x-y）=0，即（x-y）（x+y+2）=0.

所以x-y=0或x+y+2=0.

當(dāng)x+y+2=0時(shí)，x+y=-2.由①知x（x+y）-2y=1，從而-2x-2y=1，即-2（x+y）=1，將x+y=-2代入得，-2×（-2）=1，這是不可能的，故x+y+2≠0.

七、利用折項(xiàng)相消法

八、利用整體設(shè)元法

九、利用主元法

解析：以c為主元，則b=10c，a=20b=200c.

點(diǎn)評：當(dāng)已知條件和所求值的代數(shù)式中字母較多時(shí)，可選定其中一個(gè)字母為主元，然后用這一主元的代數(shù)式表示其他字母，最后代入所求值的代數(shù)式中化簡約分，即可求得代數(shù)式的值．