從解題策略審視運算錯誤

☉江南大學(xué)附屬實驗中學(xué) 龐彥福

☉江蘇省江陰市第一中學(xué) 鐘珍玖

☉江蘇省無錫市蠡園中學(xué) 武益燕

對于一個人來說，運算能力是數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一種重要體現(xiàn)，對于初中學(xué)生來說，運算能力是數(shù)學(xué)能力的重要體現(xiàn).不少學(xué)生考試的時候都吃過運算錯誤的虧.數(shù)學(xué)運算如果不過關(guān)，就會直接影響后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的運算問題，無論是教師教學(xué)還是學(xué)生學(xué)習(xí)都沒有特別感覺到有非常“難懂難理解”的地方.對學(xué)生來說，在考試時，不“難懂難理解”的運算卻時常出錯或丟分，這很讓數(shù)學(xué)教師感到“糾結(jié)”，也使學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生非?！凹m結(jié)”.從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略角度審視理解解題策略，就是要讓學(xué)生理解：怎樣做、為什么這樣做、在什么條件下這樣做？解題中不難的運算問題為什么容易出現(xiàn)錯誤呢？現(xiàn)舉幾例從解題策略角度剖析其錯誤產(chǎn)生的原因．

一、對公式法則沒有真正理解

問題1 計算：（a+2b-c）（a-2b-c）.

錯誤類型舉例：

生1：把（a+2b-c）（a-2b-c）按照多項式乘以多項式直接展開時，卻出現(xiàn)了漏乘“項”的問題.（過程略）

生2：（a+2b-c）（a-2b-c）=［（a+2b）-c］［（a-2b）-c］=（a+2b）2-c2=a2+2ab+b2-c2.

評析：如果生1對多項式乘以多項式的方法和過程很熟練的話，是不應(yīng)該出現(xiàn)錯誤的.倘若追根求源查上位知識，就是單項式乘以多項式不夠熟練；進(jìn)一步向上查找，是單項式乘法沒有過關(guān)；進(jìn)一步向上查找，又會發(fā)現(xiàn)：冪的運算乃至數(shù)的運算可能還存在一定的問題.數(shù)學(xué)運算不是簡單的程式化操作與重復(fù)，運算的上一步與下一步之間的關(guān)系、道理、依據(jù)都必須搞清楚弄明白，否則，即使這一步?jīng)]有“漏項”或出錯，也難保下一步還會“幸運”！生2的運算過程顯然是通過變形先套用“平方差公式”，再運用“完全平方公式”以達(dá)到計算化簡的目的.但是，在運用“平方差公式”過程中，對公式的“相同的項”與“相反的項”理解不透，本來原式應(yīng)該變形為“［（a-c）+2b］［（a-c）-2b］”，卻出現(xiàn)了“（a+2b-c）（a-2b-c）=［（a+2b）-c］［（a-2b）-c］”，致使第一步的變形就出現(xiàn)了錯誤.數(shù)學(xué)運算開始時錯了，就等于走路時方向錯誤，下面的運算、變形都會隨之而錯.從解題策略審視該題的解法應(yīng)該優(yōu)先選擇運用“公式”的方法進(jìn)行解決，如果想不到或發(fā)現(xiàn)不了運用公式等靈活方法時，可以考慮“多項式乘法”，按照多項式乘以多項式的方法展開進(jìn)行化簡也能達(dá)到目的.所以，教師在平時教學(xué)時應(yīng)注重公式、法則的形成過程，讓學(xué)生在具體事例中體會公式、法則的結(jié)構(gòu)特征、使用范圍等，強調(diào)對公式、法則抽象過程的理解，為準(zhǔn)確、熟練、靈活運用公式打下堅實的基礎(chǔ).

二、只知步驟不明算理

錯誤類型舉例：

生1：去分母，得2x+6-1-x=1.（以下略）

生2：去分母，得2x+6-1+x=8.（以下略）

三、運算法則逆用不靈活

問題3 已知3x=5，27y=7，求3x-3y的值.

錯誤類型舉例：

生1：因為3x=5，27y=7，所以3x-3y=3x-33y=3x-27y=5-7=-2.

生2：將27y=7變形為27y=（33）y=7，但是，接下來卻找不到進(jìn)一步解下去的思路.

評析：生1和生2在解決本題的過程中都出現(xiàn)了思維障礙，生1的解答是將冪的指數(shù)相減理解成了冪的結(jié)果相減，顯然是不理解且沒有依據(jù)的亂寫.生2也嘗試著將冪的“底數(shù)”朝著某個方向轉(zhuǎn)化，但最終還是沒有找到解決的辦法.如果能逆過來想一想的話，可能就會恍然大悟.冪的指數(shù)在什么情況下相減（同底數(shù)冪除法）？因此，需要將所求的式子轉(zhuǎn)化成“同底數(shù)冪除法”，即3x-3y=3x÷33y，而33y又可以逆用“冪的乘方”變形為：33y=（33）y，進(jìn)一步朝著題目條件追溯查找，目標(biāo)越來越明朗，（33）y就是27y，這樣問題就迎刃而解了.其實，學(xué)生也是知道的，數(shù)學(xué)的公式、法則往往是可以逆用的，既可以從左到右，也可以從右向左，就是在解決問題的過程中卻不能靈活自如地運用起來.從學(xué)習(xí)策略的角度審視數(shù)學(xué)解題，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，僅僅靠多訓(xùn)練是不夠的，必須做到真正理解和掌握，務(wù)必注重解題后的總結(jié)、反思與提煉.教師在教學(xué)時，不能認(rèn)為公式、法則的逆用僅僅是把它們的位置進(jìn)行了置換，方向進(jìn)行了顛倒.實際上逆用公式、法則是新的思維方式發(fā)生了變化，即逆向思維，只有學(xué)生順用公式、法則非常自如時，對公式的結(jié)構(gòu)特征和法則的本質(zhì)屬性深刻理解時才會進(jìn)行逆用，教師應(yīng)在夯實學(xué)生對公式、法則理解的基礎(chǔ)上，加強訓(xùn)練和反思，才能取得教學(xué)的實效.

四、沒能從通法走向技巧

問題4 已知實數(shù)a≠b，且滿足a2+3a-7=0，b2+3b-7=0，求a+b的值.

錯誤類型舉例：

生3：兩式相減，可得a2-b2+3a-3b=0，進(jìn)一步變形得（a-b）（a+b-3）=0，因為a≠b，所以a-b≠0，所以a+b-3=0，即a+b=3.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）這樣描述：“運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進(jìn)行運算的能力．培養(yǎng)運算能力有助于學(xué)生理解運算的算理，尋找合理簡潔的運算途徑解決問題.”據(jù)此可概括出運算能力的幾個基本特征，即正確、有據(jù)、合理、簡潔.這也啟示我們數(shù)學(xué)教師，運算不等同于計算，運算能力也并非一種單純的、孤立的數(shù)學(xué)能力．它需要正確理解相關(guān)知識，辨識分清運算條件，合理選擇運算方法，有效設(shè)計運算步驟，還要使運算符合算律、算理，并且盡可能簡潔地獲得運算結(jié)果．它是“算”與“思”的結(jié)合、操作與思辨的融合．

數(shù)學(xué)的運算能力是整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，運算能力是數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要體現(xiàn)．?dāng)?shù)學(xué)不僅要講推理，更要講道理，同樣數(shù)學(xué)運算不僅要明算法，更要明算理．算法的每一步做什么具體而明確，前一步和后一步之間有著內(nèi)在的邏輯關(guān)聯(lián)，不可隨意倒置．算法的思維要求學(xué)生有條理地思考和演算，問題的解決策略是建構(gòu)在已經(jīng)解決的問題之上，一步一個腳印，拾級而上．算理是算法的思維本質(zhì)，算法是算理的外在表現(xiàn)形式，是避開了復(fù)雜思維過程的程式化的操作步驟．?dāng)?shù)學(xué)運算不能當(dāng)作是程式化的操作，數(shù)學(xué)運算需要理解，數(shù)學(xué)運算明算理，識算律乃是第一位的．從學(xué)習(xí)策略的高度審視解題，從解題策略的角度研究運算，學(xué)生運算能力不僅會得到提高，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)也會得到發(fā)展．