教學相長——課堂上意外的驚喜

☉北京首都師范大學附屬實驗學校 王保東

八年級期中考試前進行復習時，筆者出了一份練習題，總共10道題，4道選擇題，4道填空題，1道中檔題，1道綜合題.預計課堂中先給學生25分鐘獨立思考時間，教師巡視，了解學生解答時存在的問題，后20分鐘針對學生存在的問題和困惑進行點撥和釋疑.按照計劃學生很快完成了解答任務，前7道題很快訂正完了，訂正到第8題時，學生們出現(xiàn)很大的分歧，答案各異，爭論不休.第8題是一道填空題，內(nèi)容如下：

如圖1，在正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點A恰好與點F重合，展開后，折痕DE分別交AB、AC與點E、G，連接GF，有下列結(jié)論：

圖1

①∠AGD=112.5°，②S△AGD=S△FGD，③四邊形AEFG是菱形，④BE=2OG.

其中正確的結(jié)論的序號是________.

經(jīng)過討論和推理，大家很快形成了共識：①②③是正確的，焦點是：④是否正確.絕大多數(shù)同學的答案是不正確，但是問他們?yōu)槭膊徽_時，又說不出個所以然.只有一個同學（數(shù)學課的課代表）小姜說是對的.因為課前筆者沒有提前做一做，也沒看答案，一時很難判斷誰是誰非，說是，就要說出為什么；說不是，也得找到否定的理由，當時騎虎難下.

筆者又給大家時間討論，筆者也積極地與學生一起思考，通過導角、證全等等方法都證不出來.

根據(jù)結(jié)論，筆者提示：如果OG是△DEB的中位線問題就解決了.

學生說：O是BD的中點，G不是DE的中點，說明OG不是△DEB的中位線

當時筆者也沒有深入的探究，應添加輔助線構(gòu)造中位線，學生也沒有深入探討，一時又僵持住了；一時間筆者不知如何收場，總不能說：這個問題如果同學們感興趣可以課下討論，我們還要進行新的內(nèi)容?這樣回答太沒水平了.

可是小姜說：觀察圖形，BE像OG的2倍.

師：像，不能說明一定是，必須經(jīng)過證明才能說明.

小姜說：這道題我想了好長時間才證出來的.

筆者硬著頭皮問了下去：說說你的思路，那你添加輔助線了嗎？

小姜：我再看看，是怎樣加的輔助線（沉默片刻，接著說），要證明BE=2OG，先找到一條線段等于2OG，再證BE等于這條線段就行了，取ON=OG，連接BN，只要證BE=GN即可.

筆者按照小姜添加輔助線的方法在黑板上加輔助線（如圖2），一邊飛速轉(zhuǎn)動大腦，搜尋解題的途徑.（當時小姜的思路是對的，但是具體的證明一時不能很快的順暢表達出來）

筆者很慶幸沒有否定小姜的答案，給了小姜發(fā)言的機會，教室里的緊張空氣終于消散了，筆者立刻表揚了小姜同學敢于鉆研和敢于標新立異的精神，筆者和同學們?yōu)樾〗钠鹫苼?，掌聲?jīng)久不息.小姜的臉上洋溢著幸福和成功的神情（學生找到了一種方法，無疑像一根救命的稻草一樣，可以理直氣壯地確定答案了）.

筆者心里暗暗的想，既然BE是OG的2倍，那么一定可以找到△DEB的中位線，一定可以找到更好的方法，以O為圓心，OG為半徑畫弧交DE于點M，連接OM，只要證明OG=OM即可.于是筆者接著啟發(fā)學生.

師：既然BE是OG的2倍，那我們能不能直接找到△DEB的中位線，再證這條中位線的長度與OG相等呢？

學生經(jīng)過一段時間的討論，很快有了結(jié)果.

如圖3，取DE的中點M，連接OM.

所以∠GOM=∠BAC=45°，∠AEG=∠GMO=67.5°.

所以∠MGO=67.5°.

所以OG=OM.

圖3

接著筆者又大膽啟發(fā)：能不能從數(shù)量上找出BE與OG的關系？

經(jīng)過研究討論，有的同學運用勾股定理的知識和方程的思想解決問題.思路是：

由③四邊形AEFG是菱形，可知：FG∥AB，AE=EF=FG=AG，可得∠OGF=∠BAO=∠OFG=∠OBA=45°，△OFG和△BEF都是等腰直角三角形.如果設AE=x，則EF=FG=BF=x.

師：比較一下，三種方法中哪種方法的證明過程較簡捷？哪個方法更容易想到？

小姜：第二種書寫更簡單，思路更容易想到.

師：同學們課下看看還有沒有其他的方法？

這時下課的鈴聲響了，還有兩道題沒有訂正完，但是學生研究的興趣意猶未盡.

這節(jié)課給筆者的印象太深刻了，在筆者的腦海中久久揮之不去，意外的驚喜帶給筆者的思考是多維度的，收獲也頗豐.

1.教師要多動手，別讓“經(jīng)驗”蒙蔽雙眼

教學多年的教師，積累了豐富的做題經(jīng)驗，好多題看一眼就知道解題思路是什么，即使偶爾對某道題有一點疑惑，象征性的參考一下答案提示，也就可以胸有成竹了，這節(jié)課告訴我們：教師一定要認真?zhèn)浜妹恳还?jié)課，課前對課的內(nèi)容要有精心的預設，才不會出現(xiàn)“課堂危機”；教師還應該以身示范，親力親為，該動手時就動手，盡可能多備學情，多占有資料，這樣才能臨危不懼，處驚不亂.

2.克服定勢思維，別讓“習慣”絆住雙腳

學生的發(fā)散思維、創(chuàng)造思維是平時培養(yǎng)出來的，而思維的定勢也是教師培養(yǎng)出來的.在平常教學中，一些學生往往只會按照某種固定的、習慣性的思維方式去處理問題，缺少思維的發(fā)散性、求異性、廣闊性、靈活性.這件事告訴我們：教學中不要總講習慣，應該根據(jù)實際問題進行分析，克服定勢思維，區(qū)別對待.

3.教師要引導學生深入思考，別讓“想當然”拴住雙手

試想，如果我們讓“想當然”拴住的話，不去認真思考，看著不是三角形的中位線，就斷定BE≠2OG，又怎能知道BE=2OG的真正原因呢？我們只要仔細分析，在圖中辨析各線段的聯(lián)系，就能深入的研究問題了.

4.教師要學會傾聽，別讓“固執(zhí)”堵住雙耳

如果為了完成本節(jié)課的任務，教師固執(zhí)己見，不讓小姜同學說出想法，粗暴地打斷他的思路，我們怎么會有在感受學生的回答中尋找著自己解決問題的靈感呢？怎么能體驗“意外事件”帶給我們的沖擊呢？因此有些時候，學生提出不同見解，即使錯也要讓他表達出來，這樣才能共同剖析錯誤原因，對癥下藥.課堂中表面上來看好像“浪費”了好多時間，但是卻培養(yǎng)了學生勇于探究的優(yōu)良品質(zhì)，這絕對是值得的.

5.教師要敢于放下權(quán)威，別讓“面子”擋住求真的路

老師在學生的心目中是完美的，因此老師不能有絲毫的懈怠，不能僅憑經(jīng)驗和習慣教學.當老師在課堂上被難住時，要做到隨機應變，充分發(fā)揮學生的集體智慧，爭取借助學生的力量解決問題.現(xiàn)在想來，真的感謝學生，感謝他們思維的火花帶給筆者的智慧和歡樂！對肯于鉆研的學生，教師要及時表揚與鼓勵.這節(jié)課還告訴我們：有時候?qū)W生的思路、方法和技巧比老師的還要好，還要簡捷，因此教師要敢于放下權(quán)威，虛心向?qū)W生學習，傾聽學生的見解，共同研究，彼此借鑒，這才是真正意義上的教學相長.

1.張秀芬.老師也要常動手［J］.中小學數(shù)學（初中），2013（3）.

2.龐彥福，韓衛(wèi)華.都是思維定勢惹的禍［J］.中小學數(shù)學（初中），2013（3）.

3.王彬.教學相長——學生真的會給我們帶來生命的驚喜［EB/OL］.http://mingxiaozhang.qlteacher.com/studio/songweizhong/7404.aspx，2010-11-01.