“意外驚喜”源于以生為本的方案設(shè)計(jì)——“多邊形內(nèi)角和”的探索方案片段

☉安徽省蚌埠市新城實(shí)驗(yàn)學(xué)校 高厚良

2013年4月9日蚌埠新城實(shí)驗(yàn)學(xué)校與淮北二中進(jìn)行了一次跨地區(qū)的校際交流課，筆者與淮北二中的馬太平老師共同執(zhí)教了滬科版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)“多邊形內(nèi)角和”（第1課時(shí)），本課時(shí)的難點(diǎn)是探索多邊形的內(nèi)角和，為突破這一難點(diǎn)，筆者及本校數(shù)學(xué)組全體教師認(rèn)真對(duì)文本進(jìn)行了解讀，精心設(shè)計(jì)了四種預(yù)設(shè)方案，現(xiàn)將這四種方案、最終方案確定的依據(jù)以及筆者對(duì)本環(huán)節(jié)的思考整理成文，以供廣大同仁研討.

一、方案呈現(xiàn)

1.方案1

在學(xué)生敘述出三角形、長(zhǎng)方形的內(nèi)角和分別是180°、360°后，向?qū)W生提示如下問題：

問題1：是不是任意一個(gè)四邊形的內(nèi)角和一定是360°呢？你可以采用什么方法來驗(yàn)證你的猜想？

若學(xué)生回答可通過測(cè)量時(shí)，教師可通過幾何畫板演示，并指出測(cè)量有限個(gè)四邊形還不足以說明所有的四邊形都有同樣的結(jié)論（一般性），測(cè)量存在誤差，還需要進(jìn)行嚴(yán)格的論證，進(jìn)而引出連接對(duì)角線，把四邊形分割成兩個(gè)三角形來確定.

問題2：將一個(gè)任意四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，還有其他方法嗎？你能用算式表示出來嗎？

學(xué)生經(jīng)過討論，最終形成如圖1、圖2、圖3、圖4所示的四種分割方案

如圖1，過一個(gè)頂點(diǎn)作1條對(duì)角線，得到2個(gè)三角形，內(nèi)角和為2×180°；

如圖2，在四邊形內(nèi)部任取一點(diǎn)，得到4個(gè)三角形，內(nèi)角和為4×180°-360°；

如圖3，在四邊形邊上取一點(diǎn)（該點(diǎn)不與頂點(diǎn)重合，若與頂點(diǎn)重合，轉(zhuǎn)化為第一種情況——連接對(duì)角線）得到3個(gè)三角形，內(nèi)角和為3×180°-180°；

如圖4，在四邊形外部取一點(diǎn)，得到4個(gè)三角形，內(nèi)角和為3×180°-180°.

圖1

圖2

圖3

圖4

問題3：你能用以上四種不同方法分別求出五邊形、六邊形的內(nèi)角和嗎？

問題4：請(qǐng)用不同的方法求出n邊形的內(nèi)角和.

問題5：對(duì)于n邊形內(nèi)角和探索出的算式（n-2）·180°；180°n-360°；180°（n-1）-180°，它們之間有什么聯(lián)系？

2.方案2

問題1：四邊形的內(nèi)角和是多少度？你是怎么想的？

在學(xué)生回答出從一個(gè)頂點(diǎn)引對(duì)角線把四邊形分成兩個(gè)三角形，從而得出內(nèi)角和為360°后，讓學(xué)生利用這一方法，完成探究表：

問題2：你還有什么方法可以確定五邊形、六邊形、…、n邊形的內(nèi)角和呢？

學(xué)生分小組討論確定可以通過在多邊形內(nèi)部、邊上、外部取點(diǎn)的方法確定多邊形的內(nèi)角和.

問題3：（n-2）·180°；180°n-360°；180°（n-1）-180°，這三個(gè)計(jì)算n邊形內(nèi)角和的表達(dá)式有什么聯(lián)系？

3.方案3

問題1：如圖9，若連接四邊形的一條對(duì)角線，你可以確定四邊形的內(nèi)角和嗎？為什么？

圖9

圖10

問題2：如圖10，若連接四邊形的兩條對(duì)角線，兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，你能利用該圖確定四邊形的內(nèi)角和嗎？

問題3：若移動(dòng)點(diǎn)O的位置，O點(diǎn)可能在四邊形的什么位置？你能利用相應(yīng)的圖形確定四邊形的內(nèi)角和嗎？

問題4：類比四邊形的探索方法，你可以用哪些方法來確定五邊形的內(nèi)角和？

問題5：確定五邊形的內(nèi)角和，可不可以把五邊形轉(zhuǎn)化成一個(gè)四邊形和一個(gè)三角形呢？

問題6：六邊形的內(nèi)角和又應(yīng)該如何確定呢？

問題7：根據(jù)你的探索，你能完成下面的表格嗎？

4.方案4

在學(xué)生敘述出三角形、長(zhǎng)方形的內(nèi)角和分別是180°、360°后，向?qū)W生提出如下問題：

問題1：是不是任意一個(gè)四邊形的內(nèi)角和一定是360°呢？若要用幾何推理的方法驗(yàn)證這一猜想，你能有哪些方法？

（學(xué)生交流討論，教師盡可能多地展示學(xué)生的方法）

問題2：（在學(xué)生眾多方法中選取如下四種方法）這幾種方法有什么共同點(diǎn)？

圖15

圖16

圖17

圖18

問題3：在剛才出示的四種方法中，哪一種方法更為簡(jiǎn)潔？

問題4：利用過一點(diǎn)連接對(duì)角線的方法，你能很快確定五邊形、六邊形的內(nèi)角和嗎？

問題5：過五邊形、六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引對(duì)角線，分割成的三角形個(gè)數(shù)與它的邊數(shù)之間有什么關(guān)系？

問題6：過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可分割成多少個(gè)三角形？由此你能得出n邊形的內(nèi)角和嗎？

二、方案分析

以上四個(gè)方案都本著“有利于學(xué)生體驗(yàn)與理解、思考與探索，注重過程與結(jié)果”的教育理念，使學(xué)生在思考探索中把知識(shí)轉(zhuǎn)化為智慧.在探索的過程中都遵循“由特殊到一般”的探索方法，但每種方案又各具特色.

方案1最大亮點(diǎn)就是整個(gè)探索過程讓學(xué)生從不同的角度尋求解決問題的途徑，給學(xué)生提供展現(xiàn)思維的平臺(tái)，通過組織測(cè)量、類比、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)，著重引導(dǎo)學(xué)生探索多邊形的內(nèi)角和公式.但這一方案的實(shí)施由于時(shí)效性較差，五邊形、六邊形、n邊形內(nèi)角和的探索與四邊形內(nèi)角和的探索有重復(fù)之嫌，且八年級(jí)下冊(cè)，學(xué)生對(duì)幾何的學(xué)習(xí)，應(yīng)該由以前的實(shí)驗(yàn)幾何為主轉(zhuǎn)為推理幾何為主，再用測(cè)量這種方式去驗(yàn)證四邊形的內(nèi)角和，確有不妥，基于以上原因，這一方案最后被否決.

方案2的最大亮點(diǎn)就是能高效、快速地探索多邊形的內(nèi)角和，先以提問的形式向?qū)W生暗示可借助三角形的內(nèi)角和證明四邊形的內(nèi)角和，學(xué)生很快便能想到由四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引一條對(duì)角線，將其分割成兩個(gè)三角形，再通過完成表格使學(xué)生形成一條完整的思維鏈.該方案的缺點(diǎn)就是學(xué)生失去了一次進(jìn)行發(fā)散思維訓(xùn)練的機(jī)會(huì)，多邊形內(nèi)角和公式推導(dǎo)出以后，再用不同的方法去探索四邊形的內(nèi)角和，有點(diǎn)本末倒置的味道，此時(shí)學(xué)生也失去了探索的積極性，基于這個(gè)原因，方案2最后也沒有被采納.

方案3的最大亮點(diǎn)是降低了探索的“難度”，通過對(duì)角線交點(diǎn)的移動(dòng)，使學(xué)生體會(huì)到什么是任意一點(diǎn)，這一點(diǎn)可以在多邊形內(nèi)部、邊上、外部，通過這一點(diǎn)把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形問題來處理，滲透了點(diǎn)與平面圖形的位置關(guān)系的知識(shí).不足之處是通過點(diǎn)的移動(dòng)，容易束縛學(xué)生的思維，使學(xué)生認(rèn)為四邊形問題僅可以轉(zhuǎn)化為以上幾種形式，故此方案最終也被否決.

方案4最大的亮點(diǎn)是通過開放式問題，給學(xué)生充分思考的空間，讓學(xué)生的思想真正解放，為了追求課堂的高效，本方案從四邊形入手，一方面通過學(xué)生討論，盡可能多地展示學(xué)生探索的方法，拓展了學(xué)生的發(fā)散思維，使學(xué)生體會(huì)從不同角度解決問題的方法，另一方面又從各種方法中選出最有代表性的四種方法，參透點(diǎn)與平面圖形的位置關(guān)系，在四種方法中找出最簡(jiǎn)單的方法，用這種簡(jiǎn)單的方法去探索五邊形、六邊形、n邊形的內(nèi)角和，提高了課堂的效率，從而為學(xué)生鞏固多邊形內(nèi)角和公式提供了時(shí)間上的保障.基于以上考慮，最后確定采用方案4.

三、方案啟示

課后，筆者認(rèn)真地對(duì)本環(huán)節(jié)進(jìn)行了反思，從課后反饋來看，基本上達(dá)到了課前的預(yù)設(shè)，甚至有些“驚喜”，本環(huán)節(jié)的成功，得益于以下幾方面的處理.

1.注重局部探究的有效性

在結(jié)論教學(xué)中，由于課堂的限時(shí)性，且必須完成相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，無法花過多的時(shí)間，讓學(xué)生長(zhǎng)時(shí)間體驗(yàn)探究的過程，因此在進(jìn)行局部探究時(shí)，要根據(jù)“探究”素材，在關(guān)鍵點(diǎn)上精心設(shè)問，以提高局部探究的時(shí)效性.本環(huán)節(jié)處理的成功，就是把著重點(diǎn)放在了四邊形內(nèi)角和的探索上，雖然學(xué)生呈現(xiàn)了眾多的方法，但學(xué)生的這些思維過程往往是無序的、低層的，甚至是凌亂的，需要老師不斷地加以優(yōu)化，加以提升，筆者正是把眾多的方法優(yōu)化成一種方法，把四邊形轉(zhuǎn)化成三角形，學(xué)生自然可以類比四邊形的探究方法快速地確定出五邊形、六邊形、n邊形的內(nèi)角和.

2.根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況合理地設(shè)置思維深度

設(shè)置問題時(shí)，一定要考慮學(xué)生的實(shí)際，當(dāng)學(xué)生總體思維能力很強(qiáng)時(shí)，要盡可能設(shè)置開放性的問題，調(diào)動(dòng)學(xué)生思考的積極性、主動(dòng)性，最大程度地培養(yǎng)他們思維的廣闊性和創(chuàng)造性.如方案4中直接提出你有哪些幾何推理的方法來驗(yàn)證四邊形的內(nèi)角和是360°，一方面提醒學(xué)生從推理幾何的角度去驗(yàn)證，起點(diǎn)高，另一方面又沒有任何梯度的設(shè)置，為訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維提供了良機(jī).而方案3由于起點(diǎn)低，重過程、重歸納，對(duì)于總體成績(jī)不好、思維能力一般的班級(jí)是個(gè)不錯(cuò)的選擇.

3.相信孩子的能力，孩子會(huì)給你驚喜

對(duì)于方案4中的開放性問題，在預(yù)設(shè)時(shí)，由于是公開課，開始時(shí)擔(dān)心孩子會(huì)緊張，問題拋出后，會(huì)不會(huì)出現(xiàn)啟而不發(fā)的現(xiàn)象，會(huì)不會(huì)連最起碼的點(diǎn)在四邊形內(nèi)部、邊上、外部這幾種情況都沒有探索出來呢？事實(shí)證明，孩子的潛力是無窮的，問題拋出后，學(xué)生積極思考、討論熱烈，一個(gè)個(gè)“驚喜”層出不窮，不光出現(xiàn)了課前筆者預(yù)設(shè)的各種分割方法，還出現(xiàn)了很多意想不到的方法，現(xiàn)從中選取四種典型方法予以展示.

圖19

圖20

圖21

由于本環(huán)節(jié)的成功，課后點(diǎn)評(píng)時(shí)，眾多老師肯定了筆者對(duì)本環(huán)節(jié)的處理，特級(jí)教師邱廣東也對(duì)本環(huán)節(jié)給予了很高的評(píng)價(jià)：“高老師這節(jié)課讓我看到了在一些公開課、優(yōu)質(zhì)課中久違的學(xué)生原生態(tài)的思維過程，可以說這是一種驚訝、驚喜，為什么在一些公開課中就看不到學(xué)生通過延長(zhǎng)四邊形的兩邊構(gòu)造三角形這種情況呢？在高老師這節(jié)課中不但出現(xiàn)了，而且還出現(xiàn)了這么多‘意外’，這些‘意外’的出現(xiàn)應(yīng)該是高老師對(duì)于本環(huán)節(jié)高明處理的必然結(jié)果.”是呀，這種“意外”是我們一線教師孜孜不倦的追求，而“意外”的創(chuàng)造者是學(xué)生，只有他們的積極性提高了，思維打開了，他們才能在不經(jīng)意間給你一個(gè)又一個(gè)的“驚喜”，本環(huán)節(jié)的成功不就是源于以生為本的方案嗎？如果我們?cè)谶M(jìn)行教學(xué)時(shí)，能時(shí)刻注意到這一點(diǎn)，這種“意外”可能就不是意外了.