數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的“技”與“道”——由一則觀摩課引發(fā)的教學(xué)思考

☉江蘇省南京市河西中學(xué) 郭 鋒

筆者近日觀摩了一節(jié)驗(yàn)證型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)研討課，實(shí)驗(yàn)主題是“二次函數(shù)的圖像與一元二次方程的近似根”．執(zhí)教者是一位年輕的教師，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)也是一項(xiàng)較新的課題，尚在摸索的路上，能讓學(xué)生真正“動(dòng)”起來(lái)、課堂切實(shí)“活”起來(lái)，讓無(wú)聲的思考和有聲的說(shuō)題始終穿行于課堂，實(shí)屬不易、飽含艱辛，應(yīng)該得到一定層面的認(rèn)同與贊可．但若能關(guān)注和關(guān)照數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的“技”與“道”，方能讓課堂充滿地氣，成就靈氣，學(xué)生也才能體驗(yàn)到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)原本應(yīng)有的歸屬感（數(shù)學(xué)思想方法）．

本文是筆者全程觀摩并踐行課堂后的幾點(diǎn)思考，供同行交流研討．

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)指為探究數(shù)學(xué)知識(shí)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論或假設(shè)而進(jìn)行的某種操作、試驗(yàn)或思維活動(dòng)，是探索性學(xué)習(xí)和教學(xué)的形式．它的本質(zhì)是具有可操作性、探究性和創(chuàng)造性，張揚(yáng)個(gè)性化的求異精神；其經(jīng)典內(nèi)涵是緩慢的過(guò)程性、參與的高指數(shù)、感悟的多元化以及知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的再生性和生態(tài)興趣的持續(xù)性．

本次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的出發(fā)點(diǎn)是為解決正統(tǒng)課堂無(wú)法有效生成的知識(shí)而采取的補(bǔ)救措施，它的落腳點(diǎn)是發(fā)展學(xué)生的思維內(nèi)力和生命的張力．抽象的數(shù)學(xué)思想方法無(wú)法用言語(yǔ)傳遞，尤其是“逼近的思想方法”更讓“說(shuō)教”無(wú)能為力．在學(xué)習(xí)“二次函數(shù)的圖像與一元二次方程的近似根”時(shí)，采用傳統(tǒng)的講授法，學(xué)生獲得的知識(shí)只能停留在計(jì)算的技術(shù)層面，無(wú)法將“技”轉(zhuǎn)化為“道”（思想方法）；借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的手段，能讓無(wú)形的思想方法實(shí)體化，能讓學(xué)生的思維超越“技”的層面，漸次到達(dá)“道”的境界．但在實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中，必須滴灌思想方法、張揚(yáng)大道至簡(jiǎn)、突破邊界思維，這樣才能揭示實(shí)驗(yàn)的本質(zhì)，回歸實(shí)驗(yàn)的理性，復(fù)歸實(shí)驗(yàn)的知性，實(shí)現(xiàn)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的正向累積，提升思維的能見度，達(dá)成數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的本質(zhì)初衷．

一、滴灌思想方法：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的本質(zhì)揭示

案例1 借助函數(shù)y=2x2-1的圖像，試寫出方程2x2-1=0的一個(gè)近似根（精確到0.1），并說(shuō)明理由.

完成表格1.

表1

由表格1可知方程一個(gè)近似根x的大致范圍是_____.完成表格2.

表2

由表格2可知方程這個(gè)近似根x的精確范圍是_____；近似根是______；寫出另一個(gè)近似根是______，理由是______.

執(zhí)教者設(shè)計(jì)了問(wèn)題的具體指向，目的是照顧學(xué)生的差異性，讓每一個(gè)學(xué)生都有能力參與，都能獲得或多或少的生命體悟.但讓所有的學(xué)生就題論題（填填表格、算算數(shù)據(jù)、寫寫答案），學(xué)生的思維不能獲得應(yīng)有的實(shí)質(zhì)性的鍛煉，僅停留在低級(jí)的“技術(shù)”（計(jì)算）層面，無(wú)法觸及數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)追求的“道”（思想方法）的境界，和傳統(tǒng)的說(shuō)教殊途同歸，喪失了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的原始意義.執(zhí)教者若能站在思想方法的平臺(tái)上，關(guān)照學(xué)生的層次性，多角度審視問(wèn)題，因“材”支教和因“才”施教，則能讓每個(gè)學(xué)生在原有的基礎(chǔ)上獲得原本應(yīng)有的發(fā)展.

在具體實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中，執(zhí)教者借助幾何畫板呈現(xiàn)了完滿的二次函數(shù)的圖像（沒有根據(jù)差異性作出適當(dāng)?shù)募夹g(shù)處理），引導(dǎo)學(xué)生觀察圖像上函數(shù)值為0的點(diǎn)的位置特征（恰在x軸上），以及函數(shù)值y=0時(shí)，附近的點(diǎn)的函數(shù)值的特征（一側(cè)的函數(shù)值大于0，另一側(cè)的函數(shù)值小于0），整理二次函數(shù)的圖像與一元二次方程近似根的關(guān)系（表示根的點(diǎn)的兩側(cè)函數(shù)值的乘積小于0）.然后讓學(xué)生借助算理，給出表格數(shù)據(jù)，讓學(xué)生代表分析數(shù)據(jù)，闡釋思考路徑，給出問(wèn)題答案（一個(gè)近似根的大致范圍是0.7＜x＜0.8，精確范圍是0.70＜x＜0.71，近似根是x≈0.7；大部分同學(xué)利用圖像的對(duì)稱性寫出另一個(gè)近似根是x≈-0.7，一小部分同學(xué)在范例的引領(lǐng)下，借助表格再操作獲取另一個(gè)近似根）.這樣的處理流程，不經(jīng)意間限制了學(xué)生思維的發(fā)展，整齊劃一的計(jì)算操作，讓學(xué)生的思維局限于計(jì)算的技術(shù)層面，偏離了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的本質(zhì)（體悟逼近思想）.

其實(shí)，執(zhí)教者若能靈活變換問(wèn)題，讓學(xué)生在多層面研習(xí)問(wèn)題，則能讓學(xué)生各得其所，收獲不同層面的發(fā)展.課前應(yīng)依據(jù)“思維現(xiàn)實(shí)”將學(xué)生分為三檔（在心中）；實(shí)驗(yàn)載體可以從三個(gè)層面呈現(xiàn)（除原生態(tài)的呈現(xiàn)外，可以隱去坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)和表格中的數(shù)據(jù)），這樣既關(guān)照了學(xué)生的層次性，又能讓學(xué)生學(xué)有所得、學(xué)有必得、學(xué)有優(yōu)得，還能跨越數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的低端“技”（計(jì)算）達(dá)到實(shí)驗(yàn)的高端“道”（數(shù)學(xué)思想方法）.可以讓學(xué)困生就題論題，習(xí)得基本的計(jì)算技術(shù)，獲得“我也能做”的驚喜.就中檔生而言，可以隱去坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)，讓學(xué)生在表格的引領(lǐng)下，在圖像的半?yún)⑴c下，解釋“表格中的端點(diǎn)數(shù)據(jù)是怎么來(lái)的”，這樣就能引動(dòng)學(xué)生的估算思想，采用滴灌的方法（慢慢滲透），加寬學(xué)生的思考時(shí)空，讓思想方法站在計(jì)算的“肩膀上”緩慢生長(zhǎng).針對(duì)學(xué)優(yōu)生而言，既要隱去坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)，還要隱去表格中的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生在估算思想和二分法的幫助下，嘗試確定端點(diǎn)數(shù)；在精確度的要求下，再漸次細(xì)化端點(diǎn)數(shù)，讓逼近思想催生方程的近似根.在滴灌逼近思想方法的過(guò)程中，讓學(xué)生的思考從無(wú)序逐步走向有序，在思維內(nèi)層衍生近似根范圍的必然性和合理性.最后要借助幾何畫板動(dòng)態(tài)演示函數(shù)值y=0時(shí)，附近的點(diǎn)的函數(shù)值的特征，讓學(xué)生在切身操作中感受“兩邊逼迫法”的內(nèi)在要義和實(shí)踐價(jià)值，從而讓實(shí)驗(yàn)中的“技”提升為理解的“道”，這才是本次實(shí)驗(yàn)的真正初衷.因此，唯有滴灌思想方法，方能揭示數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的內(nèi)在本質(zhì).

二、張揚(yáng)大道至簡(jiǎn)：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的理性回歸

案例2 根據(jù)函數(shù)y=x2+2x-5的圖像（隱去坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)），求出方程x2+2x-5=0的一個(gè)近似根（精確到0.1）.

（1）觀察圖像并借助幾何畫板，完成表格3.

表3

（2）結(jié)論：___________________________________.

（3）猜想方程x2+2x-5=0的另一個(gè)近似根并說(shuō)明理由.

實(shí)驗(yàn)結(jié)論及分析：____________________________.

在運(yùn)作的過(guò)程中，執(zhí)教者讓學(xué)生在觀察圖像的基礎(chǔ)上，借助幾何畫板填寫表格.源于學(xué)生經(jīng)歷案例1的打磨，累積了實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)，容易找到確定近似根的實(shí)驗(yàn)路徑，操作起來(lái)不像開始時(shí)那樣茫然無(wú)措，臉上寫滿了自信的表情，思維也很快找到了實(shí)驗(yàn)的話題.孩子們大致采用以下幾種做法.

由于苗族聚居區(qū)的聚居特征以及其位置、傳統(tǒng)文化的影響，苗族銀飾鍛造技藝的傳承習(xí)慣是傳男不傳女，傳內(nèi)不傳外。且因歷經(jīng)多年的發(fā)展以及其比較重，價(jià)格較貴等各種因素的影響，選擇整套、具有苗族特征銀飾的顧客越來(lái)越少，苗族銀飾的盈利性并不明顯。在這種情況下，很多年輕人選擇外出務(wù)工，因此現(xiàn)今懂得苗族銀飾鍛造技藝的人非常少，且基本上都是老一輩勞動(dòng)者，這些人文化程度普遍偏低，經(jīng)濟(jì)水平也相對(duì)一般，對(duì)蘊(yùn)含豐富文化內(nèi)涵的苗族銀飾不甚關(guān)注。

①通過(guò)解一元二次方程的方法，估算方程x2+2x-5=0的近似根的范圍（1＜x＜2或-4＜x＜-3），在逐次“用取中點(diǎn)的方法縮小探索范圍”的幫助下，給出符合表格要求的自變量x的值（自上而下是1、2、1.5、1.25、1.40（1.375的近似值）、1.45等）.這種主動(dòng)關(guān)聯(lián)一元二次方程的解法，借助可視的函數(shù)圖像連接估算思想的處理視角，是一種成功的思維聯(lián)手，融匯了思想方法（估算思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想），鍛煉了思維張力，加強(qiáng)了思考內(nèi)力.

②借助幾何畫板重新畫出函數(shù)圖像，顯示隱去的坐標(biāo)，找到近似根的逐級(jí)范圍.雖然直觀明了，卻喪失了具體的估算的機(jī)會(huì)，錯(cuò)過(guò)了體驗(yàn)的契機(jī)，引發(fā)了思維斷層.

③借助畫函數(shù)圖像的草圖，找到了近似根的逐級(jí)范圍.雖然費(fèi)時(shí)費(fèi)力，卻能在畫圖中提前感受逼近的思想，在錯(cuò)過(guò)了估算（端點(diǎn)的估算）機(jī)會(huì)的同時(shí)也贏得估算的契機(jī)（畫圖的過(guò)程充滿著估算的思維）.

④直接借助課本，復(fù)制了近似根的逐級(jí)范圍.雖然省時(shí)省力，卻錯(cuò)過(guò)了體悟思想方法的機(jī)會(huì)，沒有獲得本可以得到的一定層面的微發(fā)展，實(shí)為可惜.

方法①③雖然有點(diǎn)“笨”，但都是通向通法，能讓學(xué)生獲得舉一反三、觸類旁通的思維生長(zhǎng)力，能讓計(jì)算和作圖“技能”演變?yōu)轶w驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法的支架，達(dá)到“道”的視界.最笨的探索方法往往又是最自然、最簡(jiǎn)單、最通用的方法，也是最理性的方法，給人一種“大道至簡(jiǎn)”的感覺，能讓人明白知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的來(lái)龍去脈，能獲得常學(xué)常新的內(nèi)力.

在借助幾何畫板運(yùn)行“二分法”逐次逼近使函數(shù)值為0的點(diǎn)、在精確度的參與下（精確到0.1）、給出函數(shù)值y=0時(shí)x的近似值（即相應(yīng)的一元二次方程的近似根）這一模塊時(shí)，為幫助學(xué)生理解近似根確定方法的可信性，讓每個(gè)學(xué)生借助畫板動(dòng)態(tài)演示函數(shù)值y=0時(shí)，附近函數(shù)值的變化過(guò)程，在躬耕勞作中體驗(yàn)“無(wú)限逼近的思想方法”，讓知識(shí)產(chǎn)生有根有據(jù)、經(jīng)驗(yàn)方法擲地有聲，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的理性回歸.在操作的過(guò)程中，數(shù)據(jù)的獲得與分析，逼近思想的可感化，幾何畫板的循序運(yùn)作，思考過(guò)程的展現(xiàn)等伴隨著理性思維，濃縮了“道”的內(nèi)涵，“技”“道”并進(jìn)，讓學(xué)生在不經(jīng)意間明白知識(shí)方法的源起，清清楚楚感受言語(yǔ)無(wú)法說(shuō)清楚的“逼近思想”．因此，張揚(yáng)大道至簡(jiǎn)，方能讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)回歸理性．

三、突破邊界思維：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的知性復(fù)歸

案例3 寫出一個(gè)兩根均為無(wú)理數(shù)的一元二次方程，借助函數(shù)圖像驗(yàn)證該方程的近似解．完成表格4.

表4

這個(gè)活動(dòng)創(chuàng)設(shè)的目的是讓學(xué)生在開放的文本環(huán)境下考量自己的綜合應(yīng)答能力．兩根均為無(wú)理數(shù)的方程的確定需要利用根的判別式知識(shí)以及解方程的逆向思維能力；對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式的確認(rèn)需要轉(zhuǎn)化能力的參與；自變量與函數(shù)值的確定需要從前實(shí)驗(yàn)中獲得的經(jīng)驗(yàn)的奠基以及運(yùn)算的幫助；實(shí)驗(yàn)結(jié)論的歸納（一例一悟式），借助估算的幫助，能讓新知敞亮通透，屏蔽雜蕪．同時(shí)活動(dòng)的開放度較高，能讓學(xué)生在自己理解的知識(shí)層面選擇自己喜歡的操作載體，既吻合個(gè)體興趣指向，又唱響了“不同的人在數(shù)學(xué)上能獲得不同的發(fā)展”的新課標(biāo)理念．

在具體操作的過(guò)程中，執(zhí)教者秉持放逐思維的實(shí)驗(yàn)理念，大膽放手讓學(xué)生自己“玩”．起初，很多學(xué)生給出的方程要么沒有根，要么根為有理數(shù)，心情很急躁．教師并沒有為節(jié)省時(shí)間告訴學(xué)生該怎樣做，而是讓學(xué)生把不符合條件的方程整理在展板上，下放給小組交流研討，尋找癥結(jié)所在，查明病因．經(jīng)歷計(jì)算、觀察、分析、碰撞、質(zhì)疑以及思辨，終于獲得了寫出符合條件的一元二次方程的通法（方程各項(xiàng)系數(shù)為有理數(shù)，根的判別式的結(jié)果是不為完全平方數(shù)的正數(shù)）．至此，學(xué)生的先期計(jì)算、試寫過(guò)程、逆向思維、判別式的運(yùn)用等飽含計(jì)算機(jī)理的“技”上升為“道”（通法）．這期間，看似浪費(fèi)很多時(shí)間，不如教師的簡(jiǎn)單提示那樣經(jīng)濟(jì)節(jié)約．但是煞費(fèi)周折的讓學(xué)生自我突破內(nèi)層思維的邊界、拉動(dòng)知識(shí)鏈條，是個(gè)體思維的生動(dòng)經(jīng)歷，永遠(yuǎn)扎根于思維的頂層，到達(dá)終身難忘的境界；而教師的體驗(yàn)是不能代替學(xué)生的體驗(yàn)的，“教師拋得越快，學(xué)生忘得越徹底”！因此，浪費(fèi)點(diǎn)時(shí)間值得做、應(yīng)該做、必須做．“記憶與慢成正比，遺忘與快正比”，米蘭·昆德拉如是說(shuō)．

為揭示方程和函數(shù)圖像的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生借助幾何畫板畫出草圖并驗(yàn)證近似根的合理性．在具體運(yùn)作的過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)計(jì)算、畫圖、取特殊值、尋找特殊點(diǎn)的方法，再度體驗(yàn)了逼近思想、估算思想、特殊到一般的思想等，形成個(gè)性的應(yīng)答策略，發(fā)出了自己理解的聲音，生成了理解的數(shù)學(xué)思想方法，實(shí)現(xiàn)了“技”“道”共生共贏的知性復(fù)歸．

四、點(diǎn)滴隨感

其一，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為活動(dòng)的一種形式，應(yīng)該具有活動(dòng)的共性表征和個(gè)性特質(zhì)．低起點(diǎn)，讓每一個(gè)學(xué)生都能參與，都有能力“玩”，不可一刀裁剪實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)；新鮮感，讓學(xué)生覺得好玩，自覺進(jìn)入“追蝴蝶”的境界，思維含金量不是唯一的考量標(biāo)準(zhǔn)；生態(tài)性，讓學(xué)生在活動(dòng)中獲得生長(zhǎng)的內(nèi)力，立足于生命的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展，解決問(wèn)題的數(shù)量不是評(píng)價(jià)的重要指標(biāo)；簡(jiǎn)約性，讓學(xué)生伸手能夠得著（剪剪、拼拼、算算、看看、做做等）還需跳一跳，流程簡(jiǎn)明，操作簡(jiǎn)易，能在一定層面上催生不易理解的知識(shí)，思維的能見度不作整齊劃一．

其二，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的“技”是“道”的根基，“道”是“技”的靈魂．沒有“技”的鋪墊，“道”就成了無(wú)源之水；沒有“道”的統(tǒng)攝，“技”就成了無(wú)魂之木．“技”能衍生“道”，“道”能提升“技”；“技”與“道”共融共長(zhǎng)，交互促進(jìn)，相互提攜；唯有兼顧“技”、“道”，才能打造數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的品質(zhì)．“小技”生“小道”，“大技”生“大道”，“道”“技”諧振是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)永遠(yuǎn)的精神追求！