新課標(biāo)理念下“概念教學(xué)”——關(guān)于《直線的傾斜角與斜率》的教學(xué)過程設(shè)計(jì)

☉湖北省武漢市第二中學(xué) 鄭曉玲

《直線的傾斜角與斜率》是解析幾何的第一節(jié)課，教學(xué)目標(biāo)要求學(xué)生落實(shí)基礎(chǔ)知識，形成基本技能，滲透數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡的教學(xué)精神.在此筆者精心設(shè)計(jì)的教學(xué)過程如下：

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，導(dǎo)入新課

開頭語：前面學(xué)習(xí)了立體幾何初步，立體幾何初步是研究空間幾何體中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系.接下來我們學(xué)習(xí)解析幾何初步，首先要指出的是“解析幾何是用代數(shù)的方法研究幾何問題”.怎樣逐步實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，請看以下幾個問題：

①建立在代數(shù)與幾何中的橋梁是什么？——坐標(biāo)系.

②直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的代數(shù)形式是什么？——坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)與有序?qū)崝?shù)對之間是一一對應(yīng)的.

③坐標(biāo)平面上的幾何圖形能否用代數(shù)形式表示？最簡單的平面圖形——直線應(yīng)該怎樣表示？

④直角坐標(biāo)平面內(nèi)的直線l，它的位置應(yīng)該由哪些條件確定呢？過一點(diǎn)能確定嗎？過兩點(diǎn)能確定嗎？過一點(diǎn)并且規(guī)定方向能確定嗎？

⑤如果直線過一已知點(diǎn)，這些直線的方向各不相同，如何確定這些不同方向的差別呢？

通過對以上問題的分析，導(dǎo)出“確定直線不同方向的問題”，我們需要學(xué)習(xí)刻劃直線不同方向的兩個重要的幾何量：“直線的傾斜角與斜率”，導(dǎo)出課題.

反思：根據(jù)學(xué)生已有的知識與經(jīng)驗(yàn)，在學(xué)生思維發(fā)展的最近區(qū)域提出問題，根據(jù)數(shù)學(xué)發(fā)展需要，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識、研究問題，這樣既有利于調(diào)動學(xué)生思維的積極性，又能顯現(xiàn)數(shù)學(xué)的自然、平和.

二、概念形成的過程

（一）直線傾斜角的形成過程

確定方向需要找一個統(tǒng)一的參照方向，如指南針以向北方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，在這里我們?nèi)绾芜x??？通過對上述問題的分析，結(jié)合圖形，學(xué)生選擇了以x軸為基準(zhǔn)，因?yàn)檫@些不同的直線與x軸之間形成了不同的角，直線與x軸相交形成四個角，哪一個角是直線的傾斜角？

學(xué)生甲：應(yīng)該是直線與x軸形成的銳角，因?yàn)殇J角方便計(jì)算.置疑：有兩個銳角，是指哪一個？

學(xué)生乙：不同意同學(xué)甲的說法，應(yīng)該以x軸正向?yàn)榻堑氖歼叄驗(yàn)闃?biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，方便比較.置疑：這兩個角中的哪一個？仍不確定.

學(xué)生丙：認(rèn)同學(xué)生乙的說法，但認(rèn)為角的終邊應(yīng)該是直線向上的方向，類比向量的夾角的定義并指出：根據(jù)角的定義，確定角的頂點(diǎn)（直線與x軸的交點(diǎn)），確定角的兩邊（x軸的正方向，直線向上的方向）.

教師總結(jié)：同學(xué)們經(jīng)過討論，最終所說這個唯一確定的角我們叫做直線的傾斜角.

由學(xué)生合作交流，讓學(xué)生進(jìn)一步用精練的數(shù)學(xué)語言概括直線傾斜角的定義：當(dāng)直線與x軸相交時，以x軸為基準(zhǔn)，x軸的正向與直線向上的方向所形成的角α叫做直線的傾斜角.

思考1：對以上歸納得出的“直線傾斜角”的定義是否還有異議？

根據(jù)教學(xué)實(shí)際情況，指出這里所說的角應(yīng)該是指x軸正方繞著直線與x軸的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到直線向上的方向所形成的“最小正角”.

思考2：按以上所述，直角坐標(biāo)平面上每一條直線是否都有一個確定的傾斜角，引出直線與x軸平行或重合情形下的補(bǔ)充定義，使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)上的每一個重要的概念的嚴(yán)謹(jǐn)性與完備性.

（二）直線斜率的形成過程

給出了直線的傾斜角后，傾斜角能刻畫直線的傾斜程度，但由于表示這個傾斜程度的量是一個角，每一次需要度量角的大小才能知道傾斜程度，使用起來不方便，于是需要找到一個更好刻劃傾斜程度的量——引入“斜率”概念的必要性.

在“斜率”概念的形成之前，創(chuàng)設(shè)了問題情境：

問題2：上樓梯，有的樓梯走起來非常吃力，有的樓梯不那么吃力，這是為什么？

問題3：汽車上坡時，有的坡比較容易上，有的坡需要加大馬力才能上去，這又是為什么？

三、合作探究，深化概念

1.根據(jù)以上所研究的成果，你還能得出哪些有趣味的結(jié)論？

畫圖引導(dǎo)學(xué)生分析：由圖1知直線傾斜角α的范圍為0°≤α＜180°

圖1

圖2

圖3

α=90°時，直線l與x軸垂直；

α=0°時，直線l平行于x軸或重合于x軸；

由圖2知：平行的直線（l1∥l2）→傾斜角相等；

由圖3知：垂直的直線（l1⊥l2），設(shè)l1的傾斜角為α1，l2的傾斜角為α2，則α2=α1+90°（此處為后面的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)）.

2.直線的傾斜角與斜率的關(guān)系.

結(jié)合正切函數(shù)y=tanx（0°≤x＜180°）的圖像，揭示它們之間的關(guān)系.

圖形 傾斜角的大小k的值及變化情況y O x α=0° k=0 y α x O 0°＜α＜90° k∈（0，+∞）↑y O α x α=90° 不存在y O α x 90°＜α＜180° k∈（-∞，0）↑

四、斜率公式的推導(dǎo)

教師啟發(fā)導(dǎo)入：

（1）從直線斜率定義可知，當(dāng)直線傾斜角α為銳角時，其正切值可表示為兩直角邊的比，一邊平形于y軸，可以用兩點(diǎn)縱坐標(biāo)差表示，一邊平行于x軸，可以用兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之差表示.

（2）直線可由兩點(diǎn)確定，兩點(diǎn)確定直線的位置，從而確定了直線的傾斜角和斜率.于是我們可以思考：能否利用直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)來表示直線的斜率？

①提出探索性問題“已知直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)，如何計(jì)算直線的斜率？”

②公式推導(dǎo).

學(xué)生推導(dǎo)：要求斜率k，必須構(gòu)建直角三角形，其推導(dǎo)過程如下：設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）是直線l上的兩點(diǎn)，過P1（P2）作y軸的垂線，過P2（P1）作x軸的垂線，使之交于點(diǎn)Q，從而產(chǎn)生Rt△P1QP2（如圖4，5或圖6，7）.

圖4

圖5

圖6

圖7

歸納：①當(dāng)x1=x2時，上式不成立；

②當(dāng)y1=y2時，上式仍然成立；

③公式與P1，P2的順序無關(guān)；

④“縱比橫，差同序”.

五、概念的鞏固與應(yīng)用

1.典例剖析.

例1 平面上三點(diǎn)A（3，2），B（-4，1），C（0，-1），求直線AB、BC、CA的斜率，并指出傾斜角是銳角還是鈍角.

例2 已知三點(diǎn)A（a，2），B（5，1），C（-4，2a），若三點(diǎn)共線，求a的值.

例3 經(jīng)過P（0，-1）作直線l，若l與連接A（1，-2），B（2，1）的線段總有公共點(diǎn)，求直線l的斜率k和傾斜角α的取值范圍.

2.課堂練習(xí)（略）.

1.章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個論題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2010（3，4，5）.

2.吳光耀，何豪明.中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)設(shè)計(jì)之基本模式［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2011（5）.