☉湖北省武漢市第二中學(xué) 鄭曉玲
《直線的傾斜角與斜率》是解析幾何的第一節(jié)課,教學(xué)目標(biāo)要求學(xué)生落實(shí)基礎(chǔ)知識,形成基本技能,滲透數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡的教學(xué)精神.在此筆者精心設(shè)計(jì)的教學(xué)過程如下:
開頭語:前面學(xué)習(xí)了立體幾何初步,立體幾何初步是研究空間幾何體中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系.接下來我們學(xué)習(xí)解析幾何初步,首先要指出的是“解析幾何是用代數(shù)的方法研究幾何問題”.怎樣逐步實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo),請看以下幾個問題:
①建立在代數(shù)與幾何中的橋梁是什么?——坐標(biāo)系.
②直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的代數(shù)形式是什么?——坐標(biāo),點(diǎn)的坐標(biāo)與有序?qū)崝?shù)對之間是一一對應(yīng)的.
③坐標(biāo)平面上的幾何圖形能否用代數(shù)形式表示?最簡單的平面圖形——直線應(yīng)該怎樣表示?
④直角坐標(biāo)平面內(nèi)的直線l,它的位置應(yīng)該由哪些條件確定呢?過一點(diǎn)能確定嗎?過兩點(diǎn)能確定嗎?過一點(diǎn)并且規(guī)定方向能確定嗎?
⑤如果直線過一已知點(diǎn),這些直線的方向各不相同,如何確定這些不同方向的差別呢?
通過對以上問題的分析,導(dǎo)出“確定直線不同方向的問題”,我們需要學(xué)習(xí)刻劃直線不同方向的兩個重要的幾何量:“直線的傾斜角與斜率”,導(dǎo)出課題.
反思:根據(jù)學(xué)生已有的知識與經(jīng)驗(yàn),在學(xué)生思維發(fā)展的最近區(qū)域提出問題,根據(jù)數(shù)學(xué)發(fā)展需要,引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識、研究問題,這樣既有利于調(diào)動學(xué)生思維的積極性,又能顯現(xiàn)數(shù)學(xué)的自然、平和.
確定方向需要找一個統(tǒng)一的參照方向,如指南針以向北方向?yàn)榛鶞?zhǔn),在這里我們?nèi)绾芜x???通過對上述問題的分析,結(jié)合圖形,學(xué)生選擇了以x軸為基準(zhǔn),因?yàn)檫@些不同的直線與x軸之間形成了不同的角,直線與x軸相交形成四個角,哪一個角是直線的傾斜角?
學(xué)生甲:應(yīng)該是直線與x軸形成的銳角,因?yàn)殇J角方便計(jì)算.置疑:有兩個銳角,是指哪一個?
學(xué)生乙:不同意同學(xué)甲的說法,應(yīng)該以x軸正向?yàn)榻堑氖歼叄驗(yàn)闃?biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一,方便比較.置疑:這兩個角中的哪一個?仍不確定.
學(xué)生丙:認(rèn)同學(xué)生乙的說法,但認(rèn)為角的終邊應(yīng)該是直線向上的方向,類比向量的夾角的定義并指出:根據(jù)角的定義,確定角的頂點(diǎn)(直線與x軸的交點(diǎn)),確定角的兩邊(x軸的正方向,直線向上的方向).
教師總結(jié):同學(xué)們經(jīng)過討論,最終所說這個唯一確定的角我們叫做直線的傾斜角.
由學(xué)生合作交流,讓學(xué)生進(jìn)一步用精練的數(shù)學(xué)語言概括直線傾斜角的定義:當(dāng)直線與x軸相交時,以x軸為基準(zhǔn),x軸的正向與直線向上的方向所形成的角α叫做直線的傾斜角.
思考1:對以上歸納得出的“直線傾斜角”的定義是否還有異議?
根據(jù)教學(xué)實(shí)際情況,指出這里所說的角應(yīng)該是指x軸正方繞著直線與x軸的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到直線向上的方向所形成的“最小正角”.
思考2:按以上所述,直角坐標(biāo)平面上每一條直線是否都有一個確定的傾斜角,引出直線與x軸平行或重合情形下的補(bǔ)充定義,使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)上的每一個重要的概念的嚴(yán)謹(jǐn)性與完備性.
給出了直線的傾斜角后,傾斜角能刻畫直線的傾斜程度,但由于表示這個傾斜程度的量是一個角,每一次需要度量角的大小才能知道傾斜程度,使用起來不方便,于是需要找到一個更好刻劃傾斜程度的量——引入“斜率”概念的必要性.
在“斜率”概念的形成之前,創(chuàng)設(shè)了問題情境:
問題2:上樓梯,有的樓梯走起來非常吃力,有的樓梯不那么吃力,這是為什么?
問題3:汽車上坡時,有的坡比較容易上,有的坡需要加大馬力才能上去,這又是為什么?
1.根據(jù)以上所研究的成果,你還能得出哪些有趣味的結(jié)論?
畫圖引導(dǎo)學(xué)生分析:由圖1知直線傾斜角α的范圍為0°≤α<180°
圖1
圖2
圖3
α=90°時,直線l與x軸垂直;
α=0°時,直線l平行于x軸或重合于x軸;
由圖2知:平行的直線(l1∥l2)→傾斜角相等;
由圖3知:垂直的直線(l1⊥l2),設(shè)l1的傾斜角為α1,l2的傾斜角為α2,則α2=α1+90°(此處為后面的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)).
2.直線的傾斜角與斜率的關(guān)系.
結(jié)合正切函數(shù)y=tanx(0°≤x<180°)的圖像,揭示它們之間的關(guān)系.
圖形 傾斜角的大小k的值及變化情況y O x α=0° k=0 y α x O 0°<α<90° k∈(0,+∞)↑y O α x α=90° 不存在y O α x 90°<α<180° k∈(-∞,0)↑
教師啟發(fā)導(dǎo)入:
(1)從直線斜率定義可知,當(dāng)直線傾斜角α為銳角時,其正切值可表示為兩直角邊的比,一邊平形于y軸,可以用兩點(diǎn)縱坐標(biāo)差表示,一邊平行于x軸,可以用兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之差表示.
(2)直線可由兩點(diǎn)確定,兩點(diǎn)確定直線的位置,從而確定了直線的傾斜角和斜率.于是我們可以思考:能否利用直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)來表示直線的斜率?
①提出探索性問題“已知直線上兩點(diǎn)坐標(biāo),如何計(jì)算直線的斜率?”
②公式推導(dǎo).
學(xué)生推導(dǎo):要求斜率k,必須構(gòu)建直角三角形,其推導(dǎo)過程如下:設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)是直線l上的兩點(diǎn),過P1(P2)作y軸的垂線,過P2(P1)作x軸的垂線,使之交于點(diǎn)Q,從而產(chǎn)生Rt△P1QP2(如圖4,5或圖6,7).
圖4
圖5
圖6
圖7
歸納:①當(dāng)x1=x2時,上式不成立;
②當(dāng)y1=y2時,上式仍然成立;
③公式與P1,P2的順序無關(guān);
④“縱比橫,差同序”.
1.典例剖析.
例1 平面上三點(diǎn)A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直線AB、BC、CA的斜率,并指出傾斜角是銳角還是鈍角.
例2 已知三點(diǎn)A(a,2),B(5,1),C(-4,2a),若三點(diǎn)共線,求a的值.
例3 經(jīng)過P(0,-1)作直線l,若l與連接A(1,-2),B(2,1)的線段總有公共點(diǎn),求直線l的斜率k和傾斜角α的取值范圍.
2.課堂練習(xí)(略).
1.章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個論題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬),2010(3,4,5).
2.吳光耀,何豪明.中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)設(shè)計(jì)之基本模式[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬),2011(5).