解讀導(dǎo)數(shù)背景下的“參數(shù)分離”

☉江蘇省丹陽高級中學(xué) 陳曦遠(yuǎn)

含參變量的不等式恒成立問題是歷年高考的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)，在各省市高考命題中屢見不鮮，且?？汲Ｐ?此類問題綜合性較強(qiáng)，融函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等高中數(shù)學(xué)主干知識為一體，能有效考查考生的綜合解題能力，在培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)造性方面起到了舉足輕重的作用.在眾多的求解方法中“分離參數(shù)”法的作用不容忽視.本文以導(dǎo)數(shù)背景下的不等式恒成立問題為例，談?wù)劇胺蛛x參數(shù)”法的應(yīng)用.

一、參數(shù)的直接分離

例1 已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+1，a∈R是常數(shù).討論函數(shù)y=f（x）零點(diǎn)的個數(shù).

當(dāng)x=1時，g（x）的最大值為g（1）=1.

所以若a＞1，則f（x）無零點(diǎn)；

若f（x）有零點(diǎn)，則a≤1.

若a=1，f（x）=lnx-ax+1=0，易知f（x）有且僅有一個零點(diǎn)x=1.

若a≤0，f（x）=lnx-ax+1單調(diào)遞增，由冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，知f（x）有且僅有一個零點(diǎn)（或：直線y=ax-1與曲線y=lnx有一個交點(diǎn)）.

綜上所述，當(dāng)a＞1時，f（x）無零點(diǎn)；當(dāng)a=1或a≤0時，f（x）有且僅有一個零點(diǎn)；當(dāng)0＜a＜1時，f（x）有兩個零點(diǎn).

點(diǎn)評：本題原為考查零點(diǎn)的個數(shù)問題，經(jīng)參數(shù)直接分離后即轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線交點(diǎn)個數(shù)問題，進(jìn)而使問題輕松獲解.

二、導(dǎo)函數(shù)中的參數(shù)分離

例2 已知函數(shù)f（x）=x2+2alnx.

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

解析：（1）略.

點(diǎn)評：題目中若給出函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，則問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)恒大于（小于）0，進(jìn)而再進(jìn)行參數(shù)分離求解即可.

三、整體思想下的參數(shù)分離

點(diǎn)評：分離出來的參數(shù)，有些時候并不是以單獨(dú)的字母的形式出現(xiàn)，而是一個關(guān)于參數(shù)的函數(shù)式g（m），如g（m）≤f（x）或g（m）≥f（x）的形式，解題思路是先求出f（x）在給定的區(qū)間上的最值，即有g(shù)（m）≤fmin（x），g（m）≥fmax（x）.

四、自變量的取值范圍決定了參數(shù)是否能順利分離

例4 設(shè)函數(shù)f（x）=ax3-3x+1，（x∈R），若對任意的x∈［-1，1］，都有f（x）≥0成立，則實(shí)數(shù)a的值為______.

解析：由ax3-3x+1≥0，得ax3≥3x-1.因x∈R，故分離參數(shù)a，需根據(jù)x的取值進(jìn)行分類討論，如下：

（1）當(dāng)x=0時，f（x）=1＞0恒成立，a可以取任意實(shí)數(shù)；

綜上可得a=4.

點(diǎn)評：本題在參數(shù)分離的過程中，要在不等式兩邊同時除以x才能實(shí)現(xiàn)參數(shù)的分離，若x的取值范圍在正數(shù)區(qū)間上，可以避免討論；若x的取值范圍中包含零或者負(fù)數(shù)，則需要進(jìn)行分類討論.

五、函數(shù)最值的存在性決定參數(shù)取值區(qū)間的開或閉

A.［-1，+∞）B.（-1，+∞）C.（-∞，-1］D.（-∞，-1）

函數(shù)g（x）=x（x+2）在區(qū)間（-1，+∞）上的值域?yàn)椋?1，+∞），不存在最小值-1，故b的值可以為-1，即b≤-1，答案為C.

例6 已知函數(shù)f（x）=x2-3x，當(dāng)x∈（0，+∞）時，不等式f（x）＞ax-1恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________.

點(diǎn)評：參數(shù)的取值范圍必然涉及區(qū)間的開或閉，起決定因素的是不等號以及函數(shù)最值的存在性.比如a≤f（x），f（x）的最小值是fmin（x），則a≤fmin（x）；當(dāng)f（x）沒有最小值，但接近一個常數(shù)m，則a≤m.又如a＜f（x），f（x）的最小值是fmin（x），則a＜fmin（x）；當(dāng)f（x）沒有最小值，但接近一個常數(shù)m，則a≤m.

綜上所述，本文簡述了解不等式恒成立問題中“分離參數(shù)”法的應(yīng)用，此法是求解不等式“恒成立”問題的基本應(yīng)對策略.教師在實(shí)際教學(xué)中還應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生對解題方法的提煉，經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生梳理知識，形成知識板塊和方法體系，真正提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.