不同版本“周期函數(shù)”定義的比較與思考

☉安徽省樅陽(yáng)縣會(huì)宮中學(xué) 朱賢良

“周期性”是研究函數(shù)時(shí)重點(diǎn)考查的性質(zhì)之一，利用函數(shù)的周期性使我們對(duì)函數(shù)圖像與其他性質(zhì)的認(rèn)識(shí)更加簡(jiǎn)潔、有效.近日閱讀文［1］時(shí)，對(duì)其中提出的問(wèn)題進(jìn)行了深入的思考，現(xiàn)整理成文.

一、問(wèn)題呈現(xiàn)

摘錄文［1］提出的問(wèn)題如下：

問(wèn)題 函數(shù)g（x）=sinx（x≥0）是不是周期函數(shù)？

對(duì)于函數(shù)周期性的概念，人教A版必修4第34頁(yè)是這樣寫的：

“對(duì)于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)非零實(shí)數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f（x+T）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零實(shí)數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

周期函數(shù)的周期不止一個(gè)，例如2π，4π，6π，…以及-2π，-4π，-6π，…都是正弦函數(shù)的周期.事實(shí)上，任何一個(gè)常數(shù)2kπ（k∈Z且k≠0）都是它的周期.

如果在周期函數(shù)f（x）的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f（x）的最小正周期.例如，正弦函數(shù)的最小正周期是2π.

觀點(diǎn)1：由周期性的定義，存在一個(gè)非零常數(shù)2π，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有g(shù)（x+2π）=g（x），因此，函數(shù)g（x）是周期函數(shù).

觀點(diǎn)2：若g（x）是周期函數(shù)，2π是周期，那么任何一個(gè)常數(shù)2kπ（k∈Z且k≠0）都是它的周期，即-2π也是函數(shù)g（x）的周期.但是當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，x-2π未必在定義域內(nèi)，因而不滿足周期函數(shù)的定義，故函數(shù)g（x）不是周期函數(shù).

兩種觀點(diǎn)，孰對(duì)孰錯(cuò)？

應(yīng)該說(shuō)，文［1］中提出的這個(gè)問(wèn)題表明對(duì)課本的研讀還是比較細(xì)致的，能從閱讀課本中提出問(wèn)題，這比解決一個(gè)問(wèn)題更可貴！

二、依據(jù)教材與教師教學(xué)用書辨析兩種觀點(diǎn)

觀點(diǎn)2中認(rèn)為，“若g（x）是周期函數(shù)，2π是周期，那么任何一個(gè)常數(shù)2kπ（k∈Z且k≠0）都是它的周期，即-2π也是函數(shù)g（x）的周期.”這是沒(méi)有依據(jù)的，因?yàn)榻滩闹兄皇钦f(shuō)2π，4π，6π，…以及-2π，-4π，-6π…，包括2kπ（k∈Z且k≠0），都是正弦函數(shù)的周期，這并不意味著“若T是一個(gè)函數(shù)的周期，則kT（k∈Z且k≠0）都是它的周期”，最起碼教材上的定義沒(méi)有這樣說(shuō)明.也就是說(shuō)，從教材的角度看，觀點(diǎn)2的推理過(guò)程犯了以偏概全的錯(cuò)誤.

這是否意味著觀點(diǎn)1是正確的？從教材中給出的周期函數(shù)的定義出發(fā)，由演繹推理得出結(jié)論，無(wú)懈可擊！

筆者翻閱了配套的教師教學(xué)用書，書中指出：“在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)周期性概念時(shí)，可以強(qiáng)調(diào)以下幾點(diǎn)……②周期函數(shù)的周期不唯一.例如2kπ（k∈Z且k≠0）都是正弦函數(shù)的周期.這點(diǎn)可以從周期函數(shù)的圖像上得到反映，也可以從代數(shù)上證明：設(shè)T是函數(shù)f（x）的周期，那么對(duì)于任意的k∈Z且k≠0，kT也是函數(shù)f（x）的周期……”按照這種說(shuō)法，觀點(diǎn)2正確，觀點(diǎn)1中的演繹推理頓失大前提.

到底“周期函數(shù)”應(yīng)該如何定義？

三、不同版本的“周期函數(shù)”定義

教材與教師教學(xué)用書中對(duì)“周期函數(shù)”的不同描述著實(shí)讓人費(fèi)解，其分歧的根源在于對(duì)“周而復(fù)始”現(xiàn)象的不同理解.根據(jù)教材中的定義，如果T＞0，函數(shù)圖像只需向y軸右側(cè)無(wú)限延伸（可以不連續(xù)）、“周而復(fù)始”，這是周期函數(shù)；如果T＜0，函數(shù)圖像只需向y軸左側(cè)無(wú)限延伸（可以不連續(xù)）、“周而復(fù)始”，這也是周期函數(shù).比如函數(shù)y=sinx（x≥0）、y=sinx（x＜0）與y=sinx都是周期函數(shù)，但三者存在明顯的區(qū)別：函數(shù)y=sinx（x≥0）圖像只能向x→+∞一側(cè)“周而復(fù)始”，而不能向x→-∞一側(cè)“周而復(fù)始”，周期為正數(shù)；函數(shù)y=sinx（x＜0）恰恰相反，其圖像只能向x→-∞一側(cè)“周而復(fù)始”，周期為負(fù)數(shù)；函數(shù)y=sinx的圖像可以向x→+∞與x→-∞這兩側(cè)“周而復(fù)始”.而根據(jù)教師教學(xué)用書的描述，“設(shè)T是函數(shù)f（x）的周期，那么對(duì)于任意的k∈Z且k≠0，kT也是函數(shù)f（x）的周期”，這表明周期函數(shù)圖像必須能夠向x→+∞與x→-∞雙側(cè)“周而復(fù)始”，只向單側(cè)“周而復(fù)始”的函數(shù)不是周期函數(shù).

哪種“周而復(fù)始”更準(zhǔn)確？哪個(gè)“周期函數(shù)”定義更合理？

筆者隨即查找了相關(guān)文獻(xiàn)，人民教育出版社的教材從上個(gè)世紀(jì)八九十年代的甲版本教材、九十年代中后期的代數(shù)課本，到2003年出版的全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書（即大綱版教材），直至普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書A版數(shù)學(xué)4（即新課標(biāo)教材），其說(shuō)法大同小異.筆者又查看了江蘇教育出版社、北京師范大學(xué)出版社這兩個(gè)版本的教材，盡管“周期函數(shù)”定義的引入時(shí)間與人教版教材有出入，但其內(nèi)容并無(wú)實(shí)質(zhì)差異，不一一摘錄（讀者可查看本文參考文獻(xiàn)中相關(guān)著作）.這不僅讓筆者大為不解，為什么人教版教材與教師教學(xué)用書不一致，但眾多版本的中學(xué)教材說(shuō)法幾乎都一致……

筆者又努力從幾種比較權(quán)威的大學(xué)數(shù)學(xué)分析教材（文［9］、［10］）中去尋找答案，卻發(fā)現(xiàn)兩者對(duì)“周期函數(shù)”的定義與前述的教師教學(xué)用書說(shuō)法一致，僅摘錄文［9］的定義如下：

設(shè)函數(shù)f（x）定義在數(shù)集A.若?l>0，?x∈A，有x±l∈A且f（x±l）=f（x），則稱f（x）是周期函數(shù)，l稱為函數(shù)f（x）的一個(gè)周期.

“若l是函數(shù)f（x）的周期，則2l也是它的周期.事實(shí)上，f（x+2l）=f（x+l+l）=f（x+l）=f（x）=f（x-l）=f（x-l-l）=f（xl）.不難用歸納法證明，若l是函數(shù)f（x）的周期，則nl（n是正整數(shù)）也是它的周期……描繪周期函數(shù)的圖像，只要在一個(gè)周期內(nèi)描出函數(shù)的圖像，然后將此圖像以一個(gè)周期為單位向左、右平移，就得到了整個(gè)周期函數(shù)的圖像.”

很明顯，與中學(xué)教材中定義相比，大學(xué)教材“周期函數(shù)”的定義不僅要求f（x+T）=f（x），還要求f（x-T）=f（x），這就保證了周期函數(shù)的圖像必須向x→+∞和x→-∞這兩側(cè)都“周而復(fù)始”.

順便指出，當(dāng)函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R時(shí)，中學(xué)教材與大學(xué)教材中對(duì)“周期函數(shù)”的定義是統(tǒng)一的.

四、雙側(cè)“周而復(fù)始”的“周期函數(shù)”定義的合理簡(jiǎn)化

仔細(xì)思考上述雙側(cè)“周而復(fù)始”的“周期函數(shù)”的定義，不難發(fā)現(xiàn)其中“l(fā)>0”與“f（x±l）=f（x）”稍嫌重復(fù)：既然f（x±l）=f（x），何須要l>0！頗有代表性的同濟(jì)版《高等數(shù)學(xué)》（文［11］）與湖南教育出版社新課標(biāo)數(shù)學(xué)教材（文［12］）對(duì)“周期函數(shù)”的定義更為簡(jiǎn)潔，兩者異曲同工，摘錄如下（分別記為同濟(jì)版與湘教版），以饗讀者：

同濟(jì)版：設(shè)函數(shù)f（x）定義在數(shù)集D，如果存在一個(gè)正數(shù)l，使得對(duì)于任一x∈D，有x±l∈D且f（x+l）=f（x）恒成立，則稱f（x）為周期函數(shù)，l為函數(shù)f（x）的周期.

湘教版：一般地，對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果存在非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，x±T都有定義，并且f（x±T）=f（x），則這個(gè)函數(shù)y=f（x）稱為周期函數(shù)，T稱為這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期.

如果T是函數(shù)y=f（x）的周期，則由f（x）=f（x+T）=f（（x+T）+T）=f（x+2T）知道2T也是它的周期，同理可知T的所有非零整數(shù)倍都是y=f（x）的周期.

筆者以為，湘教版的“周期函數(shù)”定義更容易為中學(xué)生所理解.

五、對(duì)“周期函數(shù)”定義的一點(diǎn)思考

筆者以為，作為中學(xué)兩本重要的數(shù)學(xué)教學(xué)用書，不應(yīng)該對(duì)同一概念出現(xiàn)不同的說(shuō)法，這只是人為地給中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)增添煩惱.由此，筆者認(rèn)為應(yīng)該統(tǒng)一兩種不同的定義：不妨稱單側(cè)“周而復(fù)始”的函數(shù)具有弱周期性，稱雙側(cè)“周而復(fù)始”的函數(shù)具有強(qiáng)周期性.

正是：本來(lái)和諧事，何故亂平添.

1.郝明泉.爭(zhēng)鳴·問(wèn)題223［J］.數(shù)學(xué)通訊（教師刊），2013（3）.

2.人民教育出版社，等.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書A版數(shù)學(xué)4（必修）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

3.人民教育出版社，等.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書A版數(shù)學(xué)4（必修）教師教學(xué)用書［M］.北京：人民教育出版社，2007.

4.單墫，主編.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)4（必修）［M］.南京：江蘇教育出版社，2005.

5.北京師范大學(xué)出版社.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)4（必修）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2010.

6.人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室.全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書數(shù)學(xué)第一冊(cè) （下）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

7.人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室.高級(jí)中學(xué)課本代數(shù)上冊(cè)（必修）［M］.北京：人民教育出版社，1995.

8.人民教育出版社中小學(xué)數(shù)學(xué)編輯室.高級(jí)中學(xué)課本（試用）代數(shù)第一冊(cè)（甲種本）［M］.北京：人民教育出版社，1983.

9.劉玉璉，等.數(shù)學(xué)分析講義（第五版）上冊(cè)［M］.北京：高等教育出版社，2008.

10.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析 （第三版上冊(cè)）［M］.北京：高等教育出版社，2001.

11.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版上冊(cè)）［M］.北京：高等教育出版社，2007.

12.張景中，主編.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（必修）數(shù)學(xué)第二冊(cè)［M］.長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，2005.