隨風(fēng)潛入夜，潤物細(xì)無聲——例談參數(shù)方程在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

☉江蘇省沭陽高級中學(xué) 韓小艷

在高考數(shù)學(xué)中，以橢圓為載體的解析幾何壓軸題，重點(diǎn)考查推理運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)綜合素質(zhì).其解答一般有“設(shè)直線法”、“設(shè)點(diǎn)法”，其中涉及對直線AB的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為斜截式，與橢圓方程聯(lián)立組成方程組，以及利用根與系數(shù)關(guān)系、弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解等，該解法易操作但運(yùn)算量較大，解答煩瑣費(fèi)時耗力，大多考生因運(yùn)算能力差而半途而廢，本文通過參數(shù)方程來解決這類問題若干例，以期拋磚引玉.

（1）求橢圓C的方程.

因?yàn)镋為線段AB的中點(diǎn)，

評注：本題先用設(shè)點(diǎn)法求三角形的面積，再用橢圓參數(shù)設(shè)點(diǎn)求定值，解法靈活簡便.橢圓參數(shù)設(shè)點(diǎn)法，將橢圓方程化整為零，它們既相互獨(dú)立又相互聯(lián)系，將點(diǎn)在橢圓上的條件應(yīng)用在橢圓的參數(shù)方程中，最后只要進(jìn)行三角函數(shù)的化簡、運(yùn)算即可.

（2）、（3）略.

評注：本題利用橢圓的參數(shù)方程設(shè)點(diǎn)，避免了煩瑣的運(yùn)算，通過三角函數(shù)的運(yùn)算來證明定值.

例3（2013年陜西卷理科第20題）已知動圓過定點(diǎn)A（4，0），且在y軸上截得弦MN的長為8.

（1）求動圓圓心的軌跡C的方程；

（2）已知點(diǎn)B（-1，0），設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線l過定點(diǎn).

解析：（1）略.

由x軸是∠PBQ的角平分線可知，kPB+kQB=0.

即t1sin θ（a+t2cosθ+1）+t2sin θ（a+t1cosθ+1）=0.

即（a+1）（t1+t2）+2t1t2cosθ=0.

故直線l過定點(diǎn)（1，0）.

評注：直線的參數(shù)方程使得方程的聯(lián)立簡便易得．

評注：借助拋物線的參數(shù)方程來設(shè)點(diǎn)，避免了方程的聯(lián)立，充分利用t1、t2的意義，簡化了運(yùn)算.

（1）當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn)，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積；

（2）當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由.

解析：（1）（略）.

（2）首先，假設(shè)四邊形OABC是菱形.

解法1：設(shè)OB與AC交于點(diǎn)P（m，n），則B（2m，2n）.

將其代入橢圓方程得：

因?yàn)锳，C兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P（m，n）對稱，故上述關(guān)于t的方程兩根分別為t0，-t0（A，C兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別t0，-t0），

將B（2m，2n）代入橢圓方程，得到m2+4n2-4=0，因此t0=0.

這樣的話，A，C兩點(diǎn)重合，與已知條件不符.

因此，若B不是W的頂點(diǎn)時，四邊形OABC不可能是菱形.

評注：利用直線AC的參數(shù)方程，充分考慮A，C兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)具有的數(shù)量特征，找出關(guān)系，解決問題.

解法2：設(shè)A（2cosα，sin α），B（2cosβ，sin β），C（2cosγ，sin γ）.由于四邊形OABC是菱形，則OA2=OC2，即4cos2α+sin2α=4cos2γ+sin2γ.所以，cosγ=cosα或cosγ=-cosα.所以C（2cosα，-sinα）或C（-2cosα，sinα）或C（-2cosα，-sinα）.

若C（2cosα，-sin α），則AC垂直于x軸，故B點(diǎn)在x軸上，與題意不符；

若C（-2cosα，sin α），則AC垂直于y軸，故B點(diǎn)在y軸上，與題意不符；

若C（-2cosα，-sinα），則AC過坐標(biāo)原點(diǎn)O，此時OABC不能構(gòu)成四邊形，與題意不符.

因此，若B不是W的頂點(diǎn)時，四邊形OABC不可能是菱形.

評注：橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用是解決橢圓和直線的位置關(guān)系常用的辦法，再通過應(yīng)用已知條件，得到想要的結(jié)果.

應(yīng)用參數(shù)方程解決問題，有效地簡化了運(yùn)算，開闊了學(xué)生的視野，有種“隨風(fēng)潛入夜，潤物細(xì)無聲”的意境和情懷，在平時的教學(xué)中應(yīng)有意識地培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用參數(shù)方程解決問題的能力.