高職微積分概念教學(xué)方法淺析

張 穎孫旭春

（1.山東水利職業(yè)學(xué)院山東日照276826；2.曲阜師范大學(xué)日照校區(qū)山東日照276826)

高職微積分概念教學(xué)方法淺析

張 穎1孫旭春2

（1.山東水利職業(yè)學(xué)院山東日照276826；2.曲阜師范大學(xué)日照校區(qū)山東日照276826)

微積分概念的掌握對(duì)高職學(xué)生后續(xù)數(shù)學(xué)知識(shí)和相關(guān)專業(yè)課程的理解起著重要作用。對(duì)如何做好微積分概念的教學(xué)進(jìn)行了不同教學(xué)方法的探討，旨在提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加強(qiáng)概念的理解。

高職；微積分概念；教學(xué)方法

微積分是高職院校公共基礎(chǔ)課《高等數(shù)學(xué)》的核心內(nèi)容之一，是研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。在微積分的學(xué)習(xí)中概念是學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)，是掌握基本理論和運(yùn)用基本方法解決實(shí)際問題的關(guān)鍵。然而高職學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱、抽象思維能力差、學(xué)習(xí)積極性不高等特點(diǎn)成為了理解抽象數(shù)學(xué)概念的障礙。筆者根據(jù)高職生學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，在微積分主要概念的教學(xué)中運(yùn)用了不同的教學(xué)方法。

案例導(dǎo)入復(fù)習(xí)函數(shù)概念

函數(shù)是微積分研究的主要對(duì)象。這個(gè)概念學(xué)生在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)已經(jīng)非常熟悉，若依然按照傳統(tǒng)的定義介紹，學(xué)生必然沒有積極性。為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)在各領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用，函數(shù)的回顧復(fù)習(xí)中采用案例教學(xué)法。案例教學(xué)法是指在教師的指導(dǎo)下，根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和內(nèi)容的需要，采用案例來組織學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)、分析、研究，以提高能力的方法。

案例1:灌溉渠道問題

農(nóng)田灌溉中渠道的橫斷面一般為等腰梯形，已知渠坡長(zhǎng)l=3m，傾斜角α=45°，渠底寬b=2m，如圖1所示。ABCD叫做過水?dāng)嗝妫创怪劣谒鞯臄嗝妫?，X=AB+BC+CD叫做濕周。試建立梯形渠道過水?dāng)嗝婷娣eA、濕周X分別與水深h的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域。

案例2:出租車費(fèi)問題

圖1 農(nóng)田灌溉渠道的橫斷面示意圖

早5∶00～晚10∶59，起步價(jià)為7元（3km以內(nèi)），超出（含）3～15km以內(nèi)的千米數(shù)每千米按1.2元計(jì)費(fèi)，超出（含）15km以外的千米數(shù)（每千米加收50%空駛費(fèi)）按1.8元計(jì)費(fèi)，每客運(yùn)車次加收1元燃油附加稅。

晚11∶00～早4∶59，起步價(jià)為7元（3km以內(nèi)）其他計(jì)費(fèi)方式同上，但每千米另加收20%的夜間費(fèi)用（不含起步價(jià)7元），每客運(yùn)車次加收1元燃油附加稅。按此標(biāo)準(zhǔn)，求出租車費(fèi)與行駛公里數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系。

兩個(gè)案例分別選取了高職生的相關(guān)專業(yè)和日常生活中的常見問題。利用函數(shù)知識(shí)加以解決，使學(xué)生既掌握了函數(shù)概念，又培養(yǎng)了學(xué)生解決專業(yè)問題和生活中數(shù)學(xué)的思維習(xí)慣及能力，讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)來源于實(shí)際又是解決實(shí)際問題的基本工具。

幾何直觀理解極限定義

微積分的學(xué)習(xí)中，極限方法貫穿始終，微積分基本問題的解決及主要概念的建立都依賴于此。對(duì)高職極限的教學(xué)，以必需、夠用為度的原則，掌握函數(shù)極限的描述性定義，一些簡(jiǎn)單的初等函數(shù)的極限能做到“看圖說話”即可，教學(xué)方法上采取幾何直觀教學(xué)法。幾何直觀教學(xué)法借助見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺，達(dá)到理解概念的目的。

圖2～圖4為x→∞時(shí)函數(shù)的極限討論示意圖。

圖2

圖3

圖4

圖5～圖9為x→x0時(shí)函數(shù)極限的討論示意圖。

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

借助函數(shù)圖像引導(dǎo)學(xué)生觀察分析函數(shù)的極限，可以更為形象和直觀地理解函數(shù)極限的定義，符合高職學(xué)生的認(rèn)知過程，教學(xué)效果明顯。直觀教學(xué)法對(duì)高職學(xué)生觀察能力的培養(yǎng)，學(xué)習(xí)興趣與學(xué)習(xí)能力的提高，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信心的增強(qiáng)起著重要作用。

探究發(fā)現(xiàn)函數(shù)連續(xù)性質(zhì)

函數(shù)的連續(xù)性是在學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)、極限的概念、性質(zhì)以及計(jì)算的基礎(chǔ)上，對(duì)函數(shù)性質(zhì)的進(jìn)一步討論。對(duì)高職學(xué)生的要求不應(yīng)太高，主要是要求學(xué)生正確理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義，從而能討論初等函數(shù)、分段函數(shù)的連續(xù)性。教學(xué)中采用發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法。

先引導(dǎo)學(xué)生分析“連續(xù)”一詞的中文含義，在對(duì)連續(xù)感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，借助給定的幾何圖形啟發(fā)學(xué)生考慮函數(shù)的連續(xù)性，并利用剛學(xué)習(xí)過的極限工具觀察討論。

圖10～圖14為介紹函數(shù)連續(xù)性定義所用引例圖。

圖10

圖11

圖12

圖13

圖14

討論問題:

1.哪些函數(shù)圖像在x0點(diǎn)斷開？

2.在x0點(diǎn)斷開的表現(xiàn)是什么？

3.斷開的函數(shù)圖像在x0點(diǎn)的極限情況是什么？

4.對(duì)比在x0點(diǎn)斷開和連續(xù)的函數(shù)圖像，極限又有什么不同？

5.綜合以上問題要保證函數(shù)圖像在x0點(diǎn)連續(xù)，在x0點(diǎn)的極限有什么要求？

在層層深入的問題的啟發(fā)下，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，發(fā)表自己的觀點(diǎn)并不斷相互補(bǔ)充。最后教師就討論結(jié)果作一定總結(jié)，高職學(xué)生即可比較輕松的歸納出函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的定義式:

發(fā)現(xiàn)式教學(xué)結(jié)合問題展開，在教師的啟發(fā)下從學(xué)生已經(jīng)掌握的極限知識(shí)入手，由淺入深循序漸進(jìn)展開發(fā)現(xiàn)連續(xù)的定義，使每個(gè)學(xué)生都參與到過程中，經(jīng)過個(gè)人的思索和努力獲得收獲，如同自己發(fā)現(xiàn)了知識(shí)一樣。這些知識(shí)在探索中被發(fā)現(xiàn)，提高了學(xué)生探索的技巧、解決問題的能力，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的結(jié)果，也更有利于學(xué)生記憶的保持。

數(shù)形結(jié)合展現(xiàn)微分思想

高職微積分教材中微分的內(nèi)容普遍較少，但微分“以直代曲”或者“微元法”的思想不但貫穿微積分始終，更在高職生眾多的專業(yè)學(xué)習(xí)中應(yīng)用廣泛。由于微分的計(jì)算與導(dǎo)數(shù)密切相連，使得許多學(xué)生對(duì)微分的認(rèn)識(shí)很模糊，僅僅停留在微分計(jì)算的表面，更談不上理解微分的思想。教學(xué)中為了加深微元思想，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用性，在概念的引入上采用數(shù)形結(jié)合法。借助圖形，把函數(shù)的微分直接描述為“當(dāng)自變量發(fā)生微小變化時(shí)，函數(shù)的圖形中相應(yīng)點(diǎn)處切線上的縱坐標(biāo)的增量”。

圖15 微分定義的幾何直觀圖

圖15直觀地告訴學(xué)生，當(dāng)Δx很小時(shí)，曲線y=f（x）在自變量由x變到x+Δx時(shí)所對(duì)應(yīng)的因變量y的改變量Δy，可近似看作dy=f'（x）Δx，其依據(jù)是“以直線代替曲線”，即自變量變化很小時(shí)，函數(shù)y的相應(yīng)曲線段P0P可近似看作是相應(yīng)點(diǎn)處所對(duì)應(yīng)的切線線段P0T。若曲線y=f（x）變成直線y=x，其中任一點(diǎn)的切線仍是直線y=x，故其切線上的增量dy=dx=x'·Δx=Δx，也就是dx=Δx，從而又得到微分是導(dǎo)數(shù)和自變量的微分的乘積dy=f'（x）dx。

通過數(shù)形結(jié)合，給微分概念賦予圖形信息，使學(xué)生對(duì)概念不僅僅流于表面公式的理解、記憶，更重要的是加深了對(duì)微分“以直代曲”的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，對(duì)后繼定積分內(nèi)容及相關(guān)的專業(yè)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，也體現(xiàn)了高職教學(xué)的時(shí)效性原則，學(xué)生可接受程度高一些。

多媒體演示豐富定積分教學(xué)

定積分概念是微積分教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)，同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)。概念抽象、內(nèi)容多、信息量大、圖表復(fù)雜，常規(guī)教學(xué)中需要在黑板上進(jìn)行大量的文字書寫和簡(jiǎn)易的圖形演示，既費(fèi)時(shí)費(fèi)力，又不宜激發(fā)高職學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，教學(xué)效果不好。利用多媒體教學(xué)可在課前將大部分的教學(xué)內(nèi)容事先精心設(shè)計(jì)并制作于課件之中，配以動(dòng)態(tài)圖形，將文字、圖片、聲音、色彩、動(dòng)畫充分結(jié)合，給學(xué)生留下深刻印象。

例如求曲邊梯形面積時(shí)的“分割、取近似、求和、取極限”這四個(gè)過程，可以借助動(dòng)畫，讓學(xué)生清楚地看到每增加若干個(gè)點(diǎn)，小矩形的面積和就與曲線下的曲邊梯形面積越來越接近，為學(xué)生理解以直代曲的思想提供了直觀印象，明確曲邊梯形面積通過極限如何達(dá)到無限細(xì)分、無限求和的過程。這就使定積分這個(gè)生疏的名詞、抽象的符號(hào)變得具體而又生動(dòng)。教育心理學(xué)家研究指出:多種感官并用時(shí)學(xué)習(xí)效率最高，視聽并用的理解記憶率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于只看、只聽的記憶率。多媒體教學(xué)給學(xué)生以視覺、聽覺上的多重認(rèn)識(shí)，學(xué)習(xí)內(nèi)容記憶深刻。

總之，微積分概念的教學(xué)方法有很多，教師要根據(jù)高職生學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，創(chuàng)立一套符合實(shí)際的教學(xué)方法，以激發(fā)高職生學(xué)習(xí)微積分概念的興趣，提高教學(xué)質(zhì)量。

[1]侯風(fēng)波，潘曉偉.高等數(shù)學(xué)[M].上海：上海大學(xué)出版社，2009.

[2]王雅麗，徐秋麗.高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法探究[J].教育與職業(yè)，2009（35).

[3]李其勝，梁莉菁.談高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法改革[J].中國(guó)成人教育，2008（8).

[4]莫蘭英.論微積分課程教學(xué)中學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)[J].高等函授學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版)，2011（2).

[5]程友元.高職數(shù)學(xué)微分教學(xué)新方案的探討[J].黃岡師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2006（8).

湖北職業(yè)教育發(fā)展研究院在湖北工業(yè)大學(xué)成立

湖北職業(yè)教育發(fā)展研究院日前在湖北工業(yè)大學(xué)掛牌成立，研究院第一屆學(xué)術(shù)委員會(huì)第一次會(huì)議同時(shí)舉行。

據(jù)該研究院院長(zhǎng)李夢(mèng)卿介紹，研究院將根據(jù)國(guó)家和湖北省職業(yè)教育改革發(fā)展的現(xiàn)實(shí)需要，瞄準(zhǔn)職業(yè)教育學(xué)術(shù)前沿和重大理論與現(xiàn)實(shí)問題，積極開展調(diào)研與理論創(chuàng)新研究，尋找解決問題的對(duì)策，努力使研究院成為湖北省職業(yè)教育科學(xué)發(fā)展的助推器，成為服務(wù)經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展和職業(yè)教育研究領(lǐng)域的“思想庫(kù)”、“信息庫(kù)”、“人才庫(kù)”。研究院聘請(qǐng)了石偉平等13位國(guó)內(nèi)職業(yè)教育領(lǐng)域?qū)＜医M成學(xué)術(shù)委員會(huì)，負(fù)責(zé)研究院學(xué)術(shù)研究的重大決策。

《中國(guó)教育報(bào)》

G712

A

1672-5727（2013）09-0112-03

張穎（1981—)，女，山東濰坊人，碩士，山東水利職業(yè)學(xué)院講師，研究方向?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)教學(xué)、隨機(jī)過程。

孫旭春（1978—)，男，山東萊州人，碩士，曲阜師范大學(xué)輔導(dǎo)員，研究方向?yàn)榇髮W(xué)生思想政治教育。