關于PFI代數(shù)的MP濾子

劉春輝

（赤峰學院 教務處，內蒙古 赤峰 024000）

關于PFI代數(shù)的MP濾子

劉春輝

（赤峰學院 教務處，內蒙古 赤峰 024000）

在文[15]的基礎上,對Fuzzy蘊涵代數(shù)的濾子理論作進一步的研究,討論滿足條件(P)的Fuzzy蘊涵代數(shù)(簡稱PFI代數(shù))中MP濾子相關性質.獲得了PFI代數(shù)中MP的若干等價刻畫;證明由非空集合生成的MP濾子的一個新的表示定理.

模糊邏輯；Fuzzy蘊涵代數(shù)；PFI代數(shù)；MP濾子；生成MP濾子

1 引言和預備

非經(jīng)典數(shù)理邏輯[1]的一個重要的研究方向是對有關邏輯代數(shù)系統(tǒng)的研究.迄今為止,人們已基于不同的蘊涵算子提出了多種邏輯代數(shù)系統(tǒng)并詳細地研究了它們的性質[2-7].合適的代數(shù)方法在非經(jīng)典邏輯問題處理中發(fā)揮著重要作用.文獻[8]中引入的Fuzzy蘊涵代數(shù)(簡稱:FI-代數(shù))邏輯蘊涵連接詞的代數(shù)化,它揭示蘊涵算子的共同性質.非經(jīng)典邏輯中眾多的邏輯代數(shù)系統(tǒng),諸如MV-代數(shù),BL-代數(shù),格蘊涵代數(shù), R0-代數(shù)以及剩余格代數(shù)等,都可以看成FI代數(shù)的特例,因而對FI代數(shù)的研究具有廣泛而基本的重要意義,近年來,人們對這一代數(shù)結構已做了大量細致的研究工作[9-12].

在對各種邏輯代數(shù)的研究中,濾子和理想是兩個重要的概念和工具,它們在反映代數(shù)系統(tǒng)自身特性,尤其是在對代數(shù)系統(tǒng)完備性的討論中發(fā)揮著重要作用.各種代數(shù)系統(tǒng)中濾子的性質及其應用已得到廣泛的研究[13-16].為了進一步揭示FI代數(shù)特性,在文[15]的基礎上,討論滿足條件(P)的FI代數(shù)(簡稱PFI代數(shù))中MP濾子的性質,獲得了一些有意義的結果.

定義1.1[8]稱型代數(shù)（X，→,0)為Fuzzy蘊涵代數(shù),簡稱FI代數(shù),若?x,y,z∈X有

(I1)x→(y→z)=y→(x→z);

(I2)(x→y)→((y→z)→(x→z))=1;

(I3)x→y=1;

(I4)x→y=y→x=1?x=y;

(I5)0→x=1.其中1=0→0.

文獻[8],在FI代數(shù)中定義了一個偏序≤:x≤y?x→y=1.另外還定義了元素x的偽補x(x)=x→0.若(X,→,0)是FI代數(shù),且?x∈X,xx(x)=x,則稱是正則FI代數(shù).

定義1.2[10]稱FI代數(shù))X,→,0)具有性質(P),若?x,y∈X, A(x,y)的最小元minA(x,y)存在,其中A(x,y)={z∈X|x≤y→z}.并稱具有性質(P)的FI代數(shù)為PFI代數(shù).

為方便起見,記x⊙y=minA(x,y),顯然⊙定義了X上的一個適合交換律的二元運算.易知正則FI代數(shù)必為PFI代數(shù),下面的例子說明PFI代數(shù)不必是正則FI代數(shù),從而PFI代數(shù)是一類強于FI代數(shù)而又弱于正則FI代數(shù)的模糊代數(shù)結構.

例1.1設X={0,a,b,c,d,1},在X上定義二元運算→如表1所示,此時⊙的定義如表2:

表1 運算→的定義

表2 運算⊙的定義

則可以驗證(X,→,0)是一個PFI代數(shù),但它顯然不是正則FI代數(shù).

引理1.1[8,11]設(X,→,0)是一個FI代數(shù).則?x,y,x∈X有

(1)x≤1且1→x=→

(2)如果x≤y,則z→x≤z→y且y→z≤x→z;

(3)x≤(x→y)→y;

(4)如果x≤y且y≤z,則x≤z.

(5)c(0)=1,c(1)=0;

(6)x≤cc(x),ccc(x)=c(x);

(7)如果x≤y,則c(y)≤c(x);

(8)(y→z)→((x→y)→(x→z))=1.

引理1.2[10]設(X,→,0)是一個PFI代數(shù),則?x,y,z∈X有

(1)x≤y→x(x⊙y)且x⊙(x→y)≤y;

(2)(x→y)⊙(y→z)≤x→z;

(3)(x⊙y)→z=x→(y→z);

(4)x⊙y≤z?x≤b→c;

(5)x⊙1=x;

(6)a≤b?a⊙c≤b⊙c;

(7)(x⊙y)⊙z=x⊙(y⊙z).

2 PFI代數(shù)的MP濾子

定義2.1[15]設(X,→,0)是一個FI代數(shù),?≠F?X.如果?x,y∈X都有

(MF1)1∈F;

(MF2)x,x→y∈F?y∈F,

則稱F是X的MP濾子.

注2.1(1)設(X,→,0)是FI代數(shù),則易見{1}和F都是X的MP濾子;

(2)設(X,→,0)是FI代數(shù)且F是X的MP濾子,則?x,y∈X,當x∈F且x≤y時必有y∈F,即F是一個上集;

(3)設(X,→,0)是PFI代數(shù)且F是X的MP濾子,則?x, y∈F?x⊙y∈F,即F對⊙是封閉的.事實上,設x,y∈F,任取z∈A(x,y),則x≤y→z,于是由x∈F和(2)知y→z∈F,再由y∈F,便得z∈F,由z的任意性以及x⊙y∈A(x,y)便得x⊙y∈F.

下面給出PFI代數(shù)中MP濾子的一些特征定理.

定理2.1(MP濾子的特征定理1)設(X→,0),是一個PFI代數(shù)且?≠F?X,則F是X的MP濾子當且僅當F為上集且對⊙運算封閉.

證明“必要性”:由注2.1的(2)和(3)顯然.

“充分性”:?x,y∈X,設x∈F且x→y∈F,則由F對⊙封閉得x⊙(x→y)∈F.又

故x⊙(x→y)≤y,從而由F為上集得y∈F.所以(MF2)成立.再由F≠??X和F為上集又知1∈F,即(MF1)也成立.因此由定義2.1知F是X的MP濾子.

定理2.2(MP濾子的特征定理2)設(X→,0)是一個PFI代數(shù)且?≠F?X,則F是X的MP濾子當且僅當F滿足(MF1)和

(MF3)?x,y,z∈X,如果x→y∈F且x⊙z∈F,則y⊙z∈F.

證明“必要性”:設F是X的MP濾子,則(MF1)成立.現(xiàn)在設x→y∈F且x⊙z∈F,則由定理2.1知(x→y)x⊙z∈F.因為由引理1.2(1)知x⊙(x→y)≤y,故由引理1.2(6)及⊙滿足交換律可得(x→y)⊙x⊙z≤y⊙z,因此由F為上集便得y⊙z∈F,即(MF3)成立.

“充分性”:假設F滿足(MF1)和(MF3),則為證F是X的MP濾子,由定義2.1只需證F滿足(MF2)即可.事實上,設x∈F且x→y∈F,則由引理1.2(5)知x⊙1∈F且x→y∈F,因此由(MF3)和引理1.2(5)便得y=y⊙1∈F,因此(MF2)成立.

定理2.3(MP濾子的特征定理3)設(X,→,0)是一個PFI代數(shù)且?≠F?X,則F是X的MP濾子當且僅當?x,y∈F?↑(x⊙y)?F.其中↑(x⊙y)={z∈X|x⊙≤z}.

證明“必要性”:設F是X的MP濾子,則由定理2.1知F為上集且F對⊙封閉.于是如果x,y∈F,則x⊙y∈F.現(xiàn)在任取z∈↑(x⊙y),則(x⊙y)≤z,于是由F為上集便得z∈F.由z的任意性得↑(x⊙y)?F.

“充分性”:假設F滿足?x,y∈F?↑(x⊙y)?F,則顯然x⊙y∈F,即F對⊙封閉.故由定理2.1知要證F是X的MP濾子,只需說明F為上集.事實上,?x,y∈X,設x∈F且x≤y,而由已知條件顯然1∈F,所以有x∈F且x→y=1∈F,從而↑(x⊙(x→y))?F,而由引理1.2(1)知x⊙(x→y)=(x→y)⊙x≤y,所以y∈↑(x⊙(x→y))?F,即F為上集.

定理2.4(MP濾子的特征定理4)設(X,→,0)是一個PFI代數(shù)且?≠F?X,則F是X的MP濾子當且僅F滿足(MF1)和

(MF4)?x,y∈X,?k,l∈⊙+,若xk→(y→z)∈F且xl→y∈F,則xk+l→z∈F.其中x1=x,x2=x⊙x,xn+1=xn⊙x,n∈⊙+.

證明“必要性”:假設F是X的MP濾子,則(MF1)成立.?x,y,z∈X,?k,l∈⊙+,設xk→(y→z)∈F且xl→y∈F.因為引理1.2(1)和(6)有

(xl→y)⊙xk+l=(xl→y)⊙xk⊙xl=(xl→y)⊙xl⊙xk≤y⊙xk,

于是再由引理1.1(2)便得y⊙xk→z≤(xl→y)⊙xk+l→z,進而有

(y⊙xk→z)→((xl→y)⊙xk+l→z)=1,

因此利用引理1.2(3)得

(xk→(y→z))→((xl→)→(xk+l→z))=(y⊙xk→z)→((xl→y)⊙xk+l→z)

=1∈F,

所以由xk→(y→z)∈F和F是X的MP濾子得(xl→y)→(xk+l→z)∈F,xl→y∈F再由便得xk+l→z∈F,即(MF4)成立.

“充分性”:假設滿足(MF1)和(MF4),則為證F是X的MP濾子,由定義2.1只需證F滿足(MF2)即可.事實上,設x∈F且x→y∈F,則由引理1.1(1)知1→(x→y)=x→y∈F且1→x=x∈F,于是由(MF4)得11+1→y∈F.故y=1→y=1⊙1→y=12→y∈F,這說明滿足(MF2),從而F是X的MP濾子.

設(X,→,0)是PFI代數(shù),一般情況下,偏序集(X,≤)不構成格,但當它構成∧-半格時有:

定理2.5(MP濾子的特征定理5)設(X,→,0)是一個PFI代數(shù),(X,≤)構成∧-半格且?≠F?X,則F是X的MP濾子當且僅當F對⊙封閉且滿足

(MF5)?x,y∈X,如果x∧y∈F,則x∈F且y∈F.

證明“必要性”:設F是X的MP濾子,則由定理2.1知F對⊙封閉且F為上集.又因為(X,≤)構成∧-半格,所以?x, y∈X,x∧y都存在,故由F為上集知當x∧y∈F時必有x∈F且y∈F,因此必要性成立.

“充分性”:假設F對⊙封閉且滿足(MF5),則由定理2.1知為證F是X的MP濾子,只需證明F為上集即可.事實上,?x,y∈X,由(X,≤)構成∧-半格知x∧y存在,故如果x∈F且x≤y,則x∧y=x∈F,從而由(MF5)得y∈F,即F為上集.

利用體視顯微鏡或金相顯微鏡觀察分析剪切破壞后的焊接連接面的表面狀態(tài)，以評估焊接質量，分析強度值形成原因。

3 PFI代數(shù)的生成MP濾子

定義3.1[15]設(X,→,0)是FI代數(shù)且?≠A?X.稱X的包含A的最小MP濾子為由集合A生成的MP濾子,記為.

引理3.1[15]設(X,→,0)是FI代數(shù)且?≠A?X.則

={x∈X|?a1,a2,…,an∈A,n∈⊙，使a1→(a2→(…→(an→x)…))=1}.

定理3.1設(X,→,0)是PFI代數(shù)且?≠A?X.則

證明 為了敘述方便,記(3-1)右端的表達式為F.

首先證明F是X的MP濾子且A?F.?x∈A?X,由于x≤1,所以由引理1.2(6)可知x⊙x≤1⊙x=x,從而x∈F,進而由x的任意性知A?F.又?a∈A?X,a⊙1=a≤1,因此1∈F.?x,y∈X,假設x∈F且x→y∈F,則由F的定義可知存在a1,

于是由(3-3)式可得b1⊙b2⊙…⊙bm⊙x≤y,從而由引理1.2(6)和(3-2)式得

b1⊙b2⊙…⊙bm⊙a1⊙a2⊙…⊙an≤b1⊙b2⊙…⊙bm⊙x≤y.

因此y∈F,故F是X的MP濾子且?F.

其次,任取z∈F,則存在c1,x2,…,ck∈A使c1⊙c2⊙…⊙ck≤z,因為為上集且對⊙封閉,注意到c1,x2,…,ck∈A?便得z∈,從而F?.

綜合上述兩個方面便得=F,這即為所需.

以上我們在PFI代數(shù)這一相對較寬泛的代數(shù)框架之下引入了MP濾子的概念并詳細地討論了它們的性質,獲得了一些有意義的新結果.這些結果不僅豐富了非經(jīng)典數(shù)理邏輯代數(shù)的濾子理論的內容,而且進一步推廣了文獻[15]中的相關結論,為進一步研究非經(jīng)典數(shù)理邏輯理論提供參考.

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O141.1；O153.1

A

：1673-260X（2013）01-0001-03

國家自然科學基金資助項目(60774073)