“數(shù)學(xué)思維”與“數(shù)學(xué)思想”的教學(xué)

薛文輝

數(shù)學(xué)思想是指“將具體的數(shù)學(xué)知識忘掉后剩下的東西”，它形成于學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識、方法解決問題的過程中，是對數(shù)學(xué)知識和基礎(chǔ)知識和基本技能的一種本質(zhì)的認(rèn)識.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》把數(shù)學(xué)思想作為“四基”之一，很多教師在講評數(shù)學(xué)習(xí)題時，只顧基礎(chǔ)知識、基本方法、基本技能的講解而忽視數(shù)學(xué)最重要的數(shù)學(xué)思想方法的滲透，這與鄭敏信教授在《“數(shù)學(xué)思想”面面觀》中所提倡數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)“不應(yīng)求全，而應(yīng)求用”的觀點(diǎn)一致.教師在課堂教學(xué)中通過學(xué)生認(rèn)識具體的知識內(nèi)容及解決問題的思維過程“由顯及隱”揭示其中蘊(yùn)含的“數(shù)學(xué)思想”.下面通過筆者的教學(xué)片斷，揭示“數(shù)學(xué)思想”與“數(shù)學(xué)思維”的教學(xué).

例1：在△ABC中，AB=AC，AD是中線，△ABC的周長為34cm，△ABD的周長為30cm，求AD的長.

師：這條題目沒有圖形，可以首先畫出圖形幫助理解.

生1：動手畫出如下的圖形.

師：你們?nèi)绾嗡伎歼@個問題？

生1：34÷2=17，30-17=13.

師追問：你是如何思考的？

生1：由AD是△ABC的中線得BD=CD，又由已知得AB=AC.

由于△ABC的周長為34cm，因此AB+BD=AC+CD=34÷2=17.

又由于△ABD的周長為30cm，因此AD=30-17=13.

師：你是如何想到用這種方法解決這個問題的？

生1：我將△ABD的周長作為整體來考慮，AB+AD的長也整體考慮.

生2：受生1的啟發(fā)，我也可以這樣解決問題.

師：說說你的解決問題的途徑.

生2：因?yàn)椤鰽BD的周長為30cm，可得△ACD的周長也為30cm，30+30=60就為△ABC的周長再加2個AD的長，所以60-34=26就為兩個AD的長，就可以得AD的長為13cm.

生3：將以上兩個同學(xué)的方法總結(jié)一下得到如下解法：由AB=AC，BD=CD，AB+BD=AC+CD=34÷2=17cm，可得AD=△ABD的周長-（AB+BD）=30-17=13cm

師：你總結(jié)得非常好！老師接著講評下一條作業(yè)中的問題.

例2：如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰的中線BD將這個等腰三角形的周長分成15和6兩部分，求這個三角形的腰長及底邊長.

生1：受上面的啟發(fā)，我是這樣思考的：由AB=AC，BD是AC的中線得AD=DC，運(yùn)用分類討論的思想方法：當(dāng)△ABD的周長是15時，則△BCD的周長是6，設(shè)AD為1份，則AB為2份，易得AD=DC=5，AB=10，BC=1；當(dāng)△ABD的周長是6，則△BCD是15，同樣的方法可得AD=DC=2，AB=4，BC=13，由于4+4<13，故這樣的三角形不存在.

師：你這種解法主要是運(yùn)用小學(xué)算術(shù)按比例分配的方法.

生2：我運(yùn)用方程與分類討論的思想方法可以解決這個問題，當(dāng)△ABD的周長是15時，則△BCD的周長是6，設(shè)AD=CD=x，則AB=2x，由AB+AD=15，解得x=5，易得AD=DC=5，AB=10，由BC+CD=6，得BC=1；當(dāng)△ABD的周長是6時，則△BCD是15，用同樣的方法可得AD=DC=2，AB=4，BC=13，由于4+4<13，故這樣的三角形不存在.

生3：我運(yùn)用分類討論的思想方法：當(dāng)△ABD的周長是15時，則△BCD的周長是6，故AB-BC=15-6=9，AB+AC+BC+BD=21，可得3AB=30，AB=10，BC=1.當(dāng)△ABD的周長是6，則△BCD是15，得BC-AB=9，AB+AC+BC=21，易得AB=4，BC=13，但考慮到4+4<13，故這種情況不成立.

師：上面三種解決你們最易理解和接受哪種方法？

生：第2種方法.

師：說明方程的解題思想比算術(shù)的方法更易讓人接受和理解，希望同學(xué)們好好體會同，并把它運(yùn)用到解決數(shù)學(xué)問題中.再來一題，等腰三角形的兩邊長是2cm和4cm，則這個等腰三角形的周長為多少？

生1：我利用分類討論的思想方法：當(dāng)2cm為腰時，等腰三角形的三邊長為2cm、2cm，4cm，則周長為8cm，當(dāng)4cm為腰時，等腰三角形的三邊長為2cm、4cm、4cm，則周長為10cm.

生2：第一種情況不成立，不滿足三角形的兩邊之和大于第三邊，故只有第二種情況成立.

師：你說得很好.

師：若改為：等腰三角形的兩邊長分別為3㎝和4㎝呢？

生3：則兩種情況都成立.

老師將題目變一變，有一個內(nèi)角為30°的等腰三角形，它的另外2個內(nèi)角的度數(shù)分別為多少？你們會解答嗎？

生1：我利用分類討論的思想方法.若30°做頂角，則另外兩個內(nèi)角的度數(shù)分別為75°、75°；若30°做底角，則另外兩個角的度數(shù)是30°、120°.

師：你答得非常好.若改為有一個內(nèi)角為120°，則另外兩個角的度數(shù)是多少？

生2：由于三角形的內(nèi)角和為180°，故120°只能做頂角，另外兩個角的度數(shù)是30°、30°.

師：你回答得很好！

老師再將題目變一變：有一個外角為45°的等腰三角形，它的三個內(nèi)角的度數(shù)分別為多少？

生1：我運(yùn)用分?jǐn)?shù)討論的思想方法，當(dāng)45°為底角的外角時，這種情況不可能.當(dāng)45°為頂角的外角時，則頂角是135°，另外兩個角的度數(shù)是22.5°.

師：你回答得很好.我們再來研究一個問題：在一條直線上，有一點(diǎn)O，線段OA的長為，它與這條直線的夾角為45°，試在這條直線上找一點(diǎn)P，使△APO為等腰三角形，這樣的點(diǎn)P共有多少個？

生：我運(yùn)用分類討論的思想方法并結(jié)合畫圖可以找到三個點(diǎn)：當(dāng)OA為腰有2種情況，當(dāng)OA為底有1種情況.

師：這個問題我們運(yùn)用分類討論有及畫圖的“無字的說明”簡單的解法充分體現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”之“以形助數(shù)”的優(yōu)越性.希望同學(xué)們好好體會.

“數(shù)學(xué)基本思想方法的形成是長期過程，并且是一個潛移默化的過程”，不同認(rèn)知特點(diǎn)的學(xué)生理解上時有迷糊，也有深淺不同的認(rèn)知，教師對數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)要遵循一個原則，即循序漸進(jìn)、螺旋上升，并且要善于抓住時機(jī)引導(dǎo)、點(diǎn)撥、強(qiáng)化.