淺談配方法的應(yīng)用

何明輝

配方法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一種重要工具。它除了在課本中用于推導(dǎo)一元一次方程的求根公式和拋物線的頂點坐標(biāo)公式外，在數(shù)學(xué)中的其他方面都有廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)略舉例如下：

一、解方程

例1.解方程：x2+2mx-n2=0

解：移項，得x2+2mx=n2

配方，得x2+2mx+m2=n2+m2

即（x+m）2=n2+m2

∴x1=-m+■，x2=-m-■

設(shè)計意圖：將含有未知數(shù)的項移到左邊，常數(shù)項移到右邊，進行配方，配方時兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方。

例2.在實數(shù)范圍內(nèi)解方程：2（■+■+■）=x+y+z

解：將原方程變形得：（x-2■+1）+（y-1-2■+1）+（z-2-

2■+1）=0

即（■-1）+（■-1）+（■-1）=0

由非負(fù)數(shù)和的性質(zhì)：■-1=0，■-1=0，■-1=0解得：x=2，y=2，z=3

經(jīng)檢驗x=1，y=2，z=3是原方程的解。

設(shè)計意圖：配方法常與非負(fù)數(shù)的性質(zhì)結(jié)合起來使用，若a，b，c為常數(shù)，由配方得a2+b2+c2=0則a=b=c=0，從而求出問題的解。

二、求代數(shù)式的值

例1.已知a2-4a+b2-■+■=0，求a2-4■的值。

解：將原式進行配方，得：（a2-4a+4）+（b2-■+■）=0

∴（a-2）2+（b-■）2=0

∴a-2=0，且b-■=0即a=2，b=■

∴a2-4■=22-4■=2

設(shè)計意圖：通過配方，利用非負(fù)數(shù)和為0的性質(zhì)，進而求出問題的解。

例2.已知■=a（a≠0），求■的值。

解：∵■=a

∴■=■，即x+■+1=■

∴x+■=■-1

∴■=x2+■+1=（x+■）2-1=（■-1）2-1=■

故■=■

設(shè)計意圖：本例綜合運用了倒數(shù)法和配方法，從而使問題簡化。

三、分解因式

例：分解因式a4+4。

解：原式=a4+4a2+4-4a2=（a2+2）2-（2a）2=（a2+2a+2）（a2-2a+2）

設(shè)計意圖：由配方法知a4+4中差一項，而這個項正好是某式的平方，從而將原式配方后再利用平方差公式，進而可進行因式分解。

四、恒等變形

例1.用配方法證明：-10x2+7x-4的值恒小于0。

證明：-10x2+7x-4=-10（x2-■x）-4=-10[（x-■）2-■]-4=

-10（-■）2-■

∵-10（-■）2≤0

故-10（-■）2-■<0

即-10x2+7x-4的值恒小于0。

設(shè)計意圖：證明一個代數(shù)式的值大于0或小于0，常用方法就是利用配方法得到一個含完全平方式和一個常數(shù)的式子來證明。

例2：△ABC中，三邊BC=a，AC=b，AB=c，且滿足a4+b4+■c4=a2c2+b2c2，試判定△ABC的形狀。

解：由a4+b4+■c4=a2c2+b2c2得

（a2-■c2）2+（b2-■c2）2=0

∴a2-■c2=0且b2-■c2=0

即a=b且a2+b2=c2

所以△ABC為等腰直角三角形。

設(shè)計意圖：本例綜合利用配方法和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定a，b，c之間的關(guān)系，從而判定三角形的形狀。

五、求最值

例1.已知x是實數(shù)，求代數(shù)式x2-4x+5的最小值。

解：x2-4x+5=（x-2）2+1

因為x是實數(shù)，所以（x-2）2≥0，所以當(dāng)x-2=0，即x=2時，代數(shù)式x2-4x+4有最小值為0。所以x2-4x+5的最小值為1。

設(shè)計意圖：由配方法配出完全平方式，知其是非負(fù)數(shù)，從而得出結(jié)果。

例2.求y=x+■+2012（x<0）的最大值。

解：y=-（-x-■）+2012=-（■-■）2+2010

所以當(dāng)■-■=0即x=-1時，y有最大值，最大值是2010。

設(shè)計意圖：這里根據(jù)分式函數(shù)y的結(jié)構(gòu)特征，將含x的式子x+■進行整體配方，[不能配成-（■+■）2+2014的形式]則y可以看成關(guān)于y的二次函數(shù)，根據(jù)圖象特點，求出最大值。

參考文獻：

[1]韓生祥.科學(xué)編題培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2008（6）.

[2]王愛琴.合作交流是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.魅力中國，2011（21）.

（作者單位 湖北省十堰市房縣萬峪中學(xué)）