淺析一次函數(shù)與一元一次方程和一元一次不等式的關(guān)系

馬方方

【摘要】根據(jù)初中數(shù)學(xué)教材的安排，在七年級(jí)學(xué)生需要了解一元一次方程及其解法，七年級(jí)下半學(xué)期學(xué)生還要學(xué)習(xí)一元一次不等式相關(guān)知識(shí)，而在八年級(jí)學(xué)生要學(xué)習(xí)一次函數(shù)的知識(shí)，并在此基礎(chǔ)上了解一次函數(shù)的圖像.初中生一般對(duì)于這三方面知識(shí)學(xué)習(xí)得比較透徹，但是對(duì)于三者之間的聯(lián)系，學(xué)生知之甚少，在這方面需要教師的指導(dǎo).教師應(yīng)該教會(huì)學(xué)生把這三方面的知識(shí)貫穿到一起，如果學(xué)生能夠通透地理解這三方面的知識(shí)，那么初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)將會(huì)容易許多.

【關(guān)鍵詞】一次函數(shù)；一元一次方程；一元一次不等式；關(guān)系

一、 一次函數(shù)的學(xué)習(xí)

初中數(shù)學(xué)教材對(duì)函數(shù)的定義是：在某一個(gè)變化的過程中，有變量x和y，當(dāng)給定一個(gè)x值時(shí)，就有相應(yīng)的y值與其對(duì)應(yīng)，y就被定義為x的函數(shù).在初中函數(shù)的定義中，只要有一個(gè)x值就能確定一個(gè)y值，有一個(gè)y值就能確定一個(gè)x值.一元函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式是y=kx+b（k非零），其中當(dāng)b為零時(shí)就是正比例函數(shù)，通過該公式更能明晰地看到x和y的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，只要確定了x（y），就能確定唯一的y（x）與之對(duì)應(yīng).在初中數(shù)學(xué)中x和y組成了一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì).

初中生還應(yīng)該學(xué)會(huì)描繪一次函數(shù)的圖像.通過求對(duì)應(yīng)值、連線、畫圖，學(xué)生知道了一次函數(shù)是一條直線.在坐標(biāo)軸上只要求出交點(diǎn)坐標(biāo)并連線，那么這條直線就是y=kx+b的圖像，其中正比例函數(shù)是過原點(diǎn)的直線.在此基礎(chǔ)上，初中生要知道一次函數(shù)圖像的性質(zhì)，例如，在k>0，b>0時(shí)圖像經(jīng)過第一象限、第二象限和第三象限；而在k>0，b<0時(shí)，圖像經(jīng)過第一象限、第三象限和第四象限，并且在k>0時(shí)，直線與x軸夾角為銳角，反之為鈍角.教師要給初中生灌輸這樣的觀念，凡是滿足y=kx+b的x與y的值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（x，y）一定在直線y=kx+b上.

以y=4x+8為例，學(xué)生在看到這個(gè)函數(shù)時(shí)應(yīng)該知道函數(shù)經(jīng)過第一、二、三象限，函數(shù)與x軸的交點(diǎn)是（-2，0），與y軸的交點(diǎn)是（0，8），函數(shù)圖像和x軸的夾角是銳角.

初中生剛剛從小學(xué)階段上來，在學(xué)習(xí)方式和學(xué)習(xí)方法上還很不適應(yīng)，教師在教授一元一次函數(shù)時(shí)，不能僅僅依靠課本的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)，這樣容易導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生膩煩情緒，喪失學(xué)習(xí)一元函數(shù)的興趣.教師在實(shí)際教學(xué)中可以采取多媒體教學(xué)方式進(jìn)行教學(xué)，多媒體教學(xué)方式可以直觀地反映出教學(xué)的內(nèi)容，給學(xué)生一目了然之感，讓學(xué)生在初步理解一元函數(shù)的內(nèi)容時(shí)省時(shí)省力，這樣就可以克服學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的恐懼感，讓學(xué)生以輕松愉悅的心情去面對(duì)初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).另外，初中數(shù)學(xué)老師在設(shè)置教學(xué)情境時(shí)要選取學(xué)生熟悉的生活場(chǎng)景，利用學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)可以讓數(shù)學(xué)知識(shí)更容易被學(xué)生接受.例如，教師可以選取生活中購(gòu)物或者消費(fèi)的情境設(shè)置一元函數(shù)習(xí)題，讓學(xué)生深刻地記憶一元函數(shù)相關(guān)知識(shí).最后，教師還要鼓勵(lì)學(xué)生多動(dòng)手做題，一元函數(shù)涉及畫圖像、識(shí)象限等方面的問題，初中生在剛剛學(xué)習(xí)這方面的知識(shí)時(shí)，如果不能動(dòng)手練習(xí)而只靠自己想象，很難真正理解一元一次函數(shù)的本質(zhì).教師可以組織學(xué)生進(jìn)行小組互助學(xué)習(xí)，在小組中教師要鼓勵(lì)對(duì)一元函數(shù)知識(shí)掌握好的同學(xué)幫助其他學(xué)生進(jìn)步，鼓勵(lì)性格開朗的學(xué)生擔(dān)任小組長(zhǎng)和其他小組的成員溝通和接洽，經(jīng)過一段時(shí)間的小組學(xué)習(xí)，教師還可以組織小組競(jìng)賽，給學(xué)生一個(gè)積極競(jìng)爭(zhēng)、健康向上的學(xué)習(xí)氛圍，同時(shí)也能夠讓同學(xué)之間了解到自己學(xué)習(xí)的不足，給自己一個(gè)客觀的評(píng)價(jià).

二、 一次函數(shù)與一元一次方程和一元一次不等式之間的關(guān)系

從數(shù)學(xué)表達(dá)式上看，一元函數(shù)的表達(dá)式是y=kx+b，一元一次方程的表達(dá)式是kx+b=0，一元一次不等式的表達(dá)式是kx+b>（<）0.由此可見，一元一次方程式表達(dá)的是函數(shù)y=0時(shí)x的數(shù)值，而一元一次不等式解決的是y>0或者y<0時(shí)x的取值范圍.以下舉例說明：

以y=3x+6為例，該函數(shù)過第一象限、第二象限和第三象限，與x軸和y軸的交點(diǎn)分別是（-3，0），（0，6）.當(dāng)y=0時(shí)，該函數(shù)變?yōu)橐辉淮畏匠?，其解為x=-3；當(dāng)y>0時(shí)，該函數(shù)變?yōu)橐辉淮尾坏仁?，x的取值氛圍是大于-3.通過圖像觀察可知，一元一次方程的解是一元一次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；而一元一次不等式在k>0時(shí)，y>0在交點(diǎn)的右邊，y<0在交點(diǎn)的左邊，當(dāng)k<0時(shí)結(jié)論相反.

由以上論述可知，一元一次函數(shù)與一元一次方程和一元一次不等式之間是相互聯(lián)系的，它們?cè)诒举|(zhì)上相互滲透，一元一次方程和一元一次不等式在解法上都可以通過觀察一元一次函數(shù)得到，所以，當(dāng)學(xué)生熟悉了一元一次函數(shù)的性質(zhì)和圖像特征時(shí)，一元一次方程和一元一次不等式的問題就迎刃而解了.一次函數(shù)和一元一次方程以及一元一次不等式均反映了客觀事物變化規(guī)律，函數(shù)描述的是事物變化的過程，方程描述的事物在某一點(diǎn)的狀態(tài)，即事物變化過程中的某一瞬間的情況，而不等式則反應(yīng)了在變化過程中的某一方面或者某一側(cè)面，是范圍和片段的概念.通過函數(shù)、方程和不等式之間的聯(lián)系和理解，教師要把數(shù)形結(jié)合的概念深入到學(xué)生的思維中去.

總之，教師在教學(xué)中應(yīng)該有意識(shí)地把這三方面的知識(shí)串聯(lián)在一起，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)完一元一次函數(shù)之后，能夠迅速地理解一元一次方程和一元一次不等式的相關(guān)知識(shí)，做到融會(huì)貫通、舉一反三，這樣學(xué)生才能真正掌握初中數(shù)學(xué)這三方面的重要知識(shí).

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