定積分問(wèn)題中的“一、二、三”

李永強(qiáng)

【關(guān)鍵詞】定積分 微積分 數(shù)形結(jié)合法

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2013）07B-0085-02

與傳統(tǒng)教材相比，高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)教材中定積分的內(nèi)容更突出其概念的本質(zhì)，重視它的幾何意義與物理意義，強(qiáng)調(diào)幾何直觀，淡化形式化的運(yùn)算。縱觀近幾年高考中對(duì)定積分知識(shí)考察的內(nèi)容與形式，都較好地體現(xiàn)了這一點(diǎn)，這也與高考數(shù)學(xué)考綱中“考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，注重考查能力”的原則一致。定積分知識(shí)是學(xué)生進(jìn)入高等學(xué)校繼續(xù)學(xué)習(xí)時(shí)將面對(duì)的重要知識(shí)，所以在高考試題中不斷出現(xiàn)，命題的形式也不斷變化，在知識(shí)交匯點(diǎn)上與方程、函數(shù)、不等式、二項(xiàng)式定理、概率、線性規(guī)劃、數(shù)列、圓錐曲線等知識(shí)組合而形成各種形式的高考題。學(xué)生在高考復(fù)習(xí)與考試中，面對(duì)這么多形式多樣、方法靈活的題目，該如何去提高復(fù)習(xí)效率和解答的準(zhǔn)確性呢？筆者分析近幾年出現(xiàn)的一些高考題目發(fā)現(xiàn)，定積分內(nèi)容的復(fù)習(xí)和題目的解答只要抓住了“一、二、三”，就能有效解決。所謂“一”就是定積分問(wèn)題常用的數(shù)學(xué)方法——數(shù)形結(jié)合思想；“二”就是兩種應(yīng)用：微積分基本定理和定積分運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用；“三”就是三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)： 一是找被積函數(shù)的原函數(shù)，二是確定積分上下限，三是確定定積分的區(qū)域。

一、解決定積分問(wèn)題的主要思想方法是數(shù)形結(jié)合法

定積分的幾何意義確定了它是求曲邊梯形的面積問(wèn)題，這為數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。所以說(shuō)，高考中涉及定積分的問(wèn)題幾乎都可用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)處理。

例1.（2013海寧沖刺卷）已知a=[∫][1][-1]（1+）dx，則[（a-）x-]6的展開式中常數(shù)項(xiàng)為 。

解析：本題的考查目標(biāo)是定積分的幾何意義及二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題的基礎(chǔ)是定積分的運(yùn)算。其中被積函數(shù)f（x）=1+較復(fù)雜，利用微積分基本定理求被積函數(shù)的原函數(shù)在高中階段無(wú)法得出。可把曲線f（x）=1+化為x2+（y-1）2

=1，且x∈[-1，1]，f（x）∈[1，2]，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法，得出定積分表示上半圓x2+（y-1）2=1與直線x=-1，x=1和x軸圍成的區(qū)域的面積（如圖1所示）。

所以a=[∫][1][-1]（1+）dx=+2。

然后代入二項(xiàng)式中輕松可得常數(shù)項(xiàng)為-160。

實(shí)際上，對(duì)于定積分問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合法的身影可說(shuō)無(wú)處不在，不論定積分與哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)組合，以什么方式出現(xiàn)，都離不開曲邊梯形這一實(shí)質(zhì)；抓住了這一點(diǎn)，在用數(shù)形結(jié)合的方法時(shí)就容易多了。

二、微積分基本定理和定積分運(yùn)算的基本性質(zhì)是求定積分的根本方法

定積分的計(jì)算一般是把較復(fù)雜的式子先用定積分運(yùn)算的性質(zhì)化為較簡(jiǎn)單的定積分問(wèn)題，然后利用微積分基本定理或幾何意義（數(shù)形結(jié)合的思想）來(lái)解決。

例2.（2012江西卷）計(jì)算定積分[∫][1][-1]（x2+sinx）dx= 。

這道題中包含了三個(gè)方面的信息：微積分基本定理的應(yīng)用，定積分運(yùn)算的基本性質(zhì)，定積分的幾何意義。

解法一：微積分基本定理的應(yīng)用。

[∫][1][-1]（x2+sinx）dx=（-cosx）[|][1][-1]=。

解法二：定積分運(yùn)算的基本性質(zhì)的應(yīng)用：先轉(zhuǎn)化為兩個(gè)定積分的和，考慮到正弦函數(shù)y=sinx是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其與x=-1，x=1和x軸圍成的面積為0，所以可得：

[∫][1][-1]（x2+sinx）dx=[∫][1][-1]x2dx+[∫][1][-1]sinxdx=[∫][1][-1]x2dx

=[|][1][-1]=。

例3.計(jì)算[∫][2][-2]（-x3）dx的值。

解析：本題很明顯可用定積分運(yùn)算的基本性質(zhì)化為兩個(gè)定積分之差，然后再對(duì)第一個(gè)定積分利用其幾何意義化為半圓的面積，三次函數(shù)曲線的定積分用微積分基本定理計(jì)算即可。也可以化為兩個(gè)定積分的差后，都利用數(shù)形結(jié)合的方法計(jì)算面積，第一個(gè)是半圓面積，第二個(gè)三次曲線y=x3與x軸和x=-2，x=2所圍成面積由圖形的對(duì)稱可得為0，從而求得結(jié)果。實(shí)際上不管采用哪種方法，微積分基本定理和定積分運(yùn)算的基本性質(zhì)是必不可少的，其中始終包含了數(shù)形結(jié)合的思想。

三、把握好三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是求解定積分的根本

1.找被積函數(shù)的原函數(shù)：首先利用微積分基本定理，由導(dǎo)數(shù)與積分運(yùn)算互逆的關(guān)系，結(jié)合求導(dǎo)公式，得出原函數(shù)。這是求定積分最有效也最常用的方法。當(dāng)被積函數(shù)較復(fù)雜不易找出原函數(shù)時(shí)，主要是利用轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，把被積函數(shù)化為較易得出圖象的形式，然后利用幾何意義結(jié)合圖形直接求出面積即可。如上述例3中半圓面積的求解。

2.確定定積分的上下限也是關(guān)鍵：當(dāng)曲邊梯形由幾條曲線圍成時(shí)，要明確各曲線之間的交點(diǎn)，從而確定定積分的上下限；有時(shí)被積函數(shù)是分段函數(shù)，求定積分時(shí)，被積函數(shù)的選擇不同，積分上下限也隨之發(fā)生變化，要分別對(duì)待。

例5.（2002天津卷）求由三條曲線y=x2，4y=x2，y=1所圍成圖形的面積。

分析：根據(jù)對(duì)稱性，只需算出y軸右邊圖形的面積再2倍即可。求出y=1與y=x2，4y=x2的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用定積分表示出陰影部分面積，由微積分基本定理求出面積即可。

解答：如圖2，因y=x2與4y=x2為偶函數(shù)，由對(duì)稱性，只算出y軸右側(cè)圖形面積再兩倍即可。解方程組

所以，由三條曲線y=x2，4y=x2，y=1所圍成圖形的面積為。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)稱性的應(yīng)用和被積函數(shù)、積分上下限的選取都影響計(jì)算過(guò)程的繁簡(jiǎn)，運(yùn)用微積分基本定理求定積分的關(guān)鍵是找被積函數(shù)的原函數(shù)與積分上下限。

3.積分區(qū)域的確定是解決定積分的又一關(guān)鍵點(diǎn)。積分區(qū)域的確定非常直觀地確定了被積函數(shù)和積分上下限。

例6.（2012上海卷）已知函數(shù)y=f（x）的圖象是折線段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C（1，0），函數(shù)y=xf（x）（0≤x≤1）的圖象與x軸所圍成的圖形的面積為 。

定積分知識(shí)在高考中，不論是在幾何還是物理中的應(yīng)用，不論與哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)組合交匯來(lái)命題，其實(shí)質(zhì)的思想方法與解題依據(jù)始終不變。只要我們牢牢把握了定積分問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，合理靈活地應(yīng)用方法，就可快速準(zhǔn)確地解決定積分問(wèn)題。

（責(zé)編 林 劍）