小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“數(shù)學(xué)因子”的發(fā)現(xiàn)與體驗(yàn)之旅

吳慶銀

[摘 要] 為了讓學(xué)生感受“數(shù)學(xué)因子”的發(fā)現(xiàn)與體驗(yàn)，本文主要從三個(gè)方面進(jìn)行了詳細(xì)闡述，即簡(jiǎn)潔性（數(shù)學(xué)的基本因子）、邏輯性（數(shù)學(xué)的方法因子）、廣泛性（數(shù)學(xué)的優(yōu)雅因子）.

[關(guān)鍵詞] 小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)因子；發(fā)現(xiàn)；體驗(yàn)

回顧我們自己小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，看看現(xiàn)在的孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程，我們有必要思考一個(gè)問(wèn)題，那就是除了數(shù)學(xué)知識(shí)之外，我們還應(yīng)該在數(shù)學(xué)課堂上讓孩子們學(xué)到什么. 這里我們固然可以通過(guò)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）中新提出的“四基”（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）作為標(biāo)準(zhǔn)答案，但也可以通過(guò)我們自己與學(xué)生互動(dòng)過(guò)程中生成的、更為直接的認(rèn)識(shí)作為回答. 在筆者看來(lái)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)具有數(shù)學(xué)味的“數(shù)學(xué)因子”，是師生可以在數(shù)學(xué)旅途上共享的風(fēng)景.

我們所理解的“數(shù)學(xué)因子”，就是在與生活關(guān)系密切的現(xiàn)象中，能夠提取出來(lái)用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋的內(nèi)容，包括數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所創(chuàng)設(shè)的學(xué)習(xí)情境，所用到的各種思想方法，所涉及的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的各種思維等. 由于學(xué)生甚至是教師可以在數(shù)學(xué)知識(shí)生成的過(guò)程中感受到這些方法的魅力，因此將其稱為數(shù)學(xué)道路的“數(shù)學(xué)因子”是合適的. 從這個(gè)角度來(lái)看，我們的小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就可以看做是“數(shù)學(xué)因子”的發(fā)現(xiàn)與體驗(yàn)之旅.

數(shù)學(xué)的基本因子：簡(jiǎn)潔性

數(shù)學(xué)是公認(rèn)的最簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言，如何將這種簡(jiǎn)潔的認(rèn)識(shí)種植到學(xué)生的心田里，對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言是一個(gè)挑戰(zhàn). 因?yàn)楦鶕?jù)我們的學(xué)習(xí)和教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，這樣的簡(jiǎn)潔性給學(xué)生帶來(lái)的并不總是愉悅的享受，因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)往往會(huì)因?yàn)檫@樣的簡(jiǎn)潔甚至是抽象，而生成理解上的困難. 因此我們要想讓學(xué)生領(lǐng)略這種“數(shù)學(xué)因子”的味道，就必須讓學(xué)生能夠走一條從復(fù)雜到簡(jiǎn)潔的旅途，這樣才能親身體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美.

以蘇教版數(shù)學(xué)教材三年級(jí)上冊(cè)的“平移與旋轉(zhuǎn)”的教學(xué)為例，要想讓學(xué)生掌握平移的規(guī)律（規(guī)律是數(shù)學(xué)中的簡(jiǎn)潔語(yǔ)言），我們必須讓學(xué)生經(jīng)歷由形象到抽象、由復(fù)雜到簡(jiǎn)單的過(guò)程. 筆者設(shè)計(jì)的過(guò)程是這樣的：首先，讓學(xué)生到生活中尋找平移與旋轉(zhuǎn)的例子；其次，讓學(xué)生在方格紙上體驗(yàn)平移與旋轉(zhuǎn)，并且尋找其中的規(guī)律；最后，總結(jié)平移與旋轉(zhuǎn)的規(guī)律.

在具體的教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生能夠想到的平移和旋轉(zhuǎn)的例子相當(dāng)豐富，除了教材上的平移例子之外，學(xué)生還想到路上勻速行駛的汽車、超市門前的自動(dòng)移門、天上飛行的飛機(jī)等；旋轉(zhuǎn)的例子學(xué)生想到的一般是汽車的車輪、電風(fēng)扇等. 有了這些例子，我們可以讓學(xué)生總結(jié)平移物體和旋轉(zhuǎn)物體的特點(diǎn). 這個(gè)總結(jié)可以是顯性的，即讓學(xué)生通過(guò)語(yǔ)言去描述兩種運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，這對(duì)于表達(dá)能力強(qiáng)的學(xué)生比較適用；也可以采用隱性的方法，即學(xué)生雖然說(shuō)不出來(lái)，但可讓他用手或者手邊的物品去比劃平移和旋轉(zhuǎn)，這對(duì)于表達(dá)能力不強(qiáng)的學(xué)生而言比較適用. 值得強(qiáng)調(diào)的是，隱性的描述方法往往更適用于小學(xué)三年級(jí)的大部分學(xué)生，因?yàn)閺谋局R(shí)學(xué)習(xí)的目的來(lái)看，當(dāng)學(xué)生雖然不能用語(yǔ)言來(lái)描述，但能夠用手表示出平移的運(yùn)動(dòng)（如用手平著從一邊運(yùn)動(dòng)到另一邊），用手表示出旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)（如用手作扇狀運(yùn)動(dòng)）時(shí)，我們認(rèn)為他們已經(jīng)比較好地理解了平移和旋轉(zhuǎn).

有了這樣的體驗(yàn)之后，再將具體的事物進(jìn)行抽象，讓它們變成一個(gè)三角形或者長(zhǎng)方形、正方形，再在方格紙上進(jìn)行平移. 這個(gè)過(guò)程我們認(rèn)為必須豐富，也就是說(shuō)在將具體的實(shí)物變成簡(jiǎn)單的圖形的過(guò)程中，不僅要向?qū)W生講清楚起點(diǎn)（實(shí)物）和終點(diǎn)（圖形），也要向?qū)W生講清楚這樣做的目的——通過(guò)抽象的方法使研究的問(wèn)題變得更加簡(jiǎn)單，也為了使規(guī)律更容易出現(xiàn)在我們面前. 在找出規(guī)律之后再與學(xué)生一同反思這一過(guò)程，就可以讓學(xué)生領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性，從而他們?cè)诤竺鏀?shù)學(xué)素材的處理中，就能讓今天種下的簡(jiǎn)潔意識(shí)開(kāi)出美麗的簡(jiǎn)潔之花.

數(shù)學(xué)的方法因子：邏輯性

數(shù)學(xué)有一個(gè)特點(diǎn)，叫嚴(yán)謹(jǐn)性！數(shù)學(xué)為什么會(huì)嚴(yán)謹(jǐn)呢？因?yàn)閿?shù)學(xué)有著其內(nèi)在的邏輯性. 這種邏輯性在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中往往隱含在數(shù)學(xué)知識(shí)背后. 在日常的教學(xué)中，為了幫學(xué)生打好基礎(chǔ)，我們所做的往往是知識(shí)的傳授，而不是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)存在的內(nèi)在邏輯關(guān)系. 從現(xiàn)實(shí)情況來(lái)看，這樣的教學(xué)策略有其必然性，因?yàn)樽鳛橐婚T基礎(chǔ)學(xué)科，知識(shí)的積淀是不能忽略的，離開(kāi)了知識(shí)的積累就談不上方法. 但我們也要看到，隨著今天小學(xué)生思維能力的日益發(fā)展，跟學(xué)生講清其中的邏輯性也是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)發(fā)展方向. 因此，我們可以嘗試在教學(xué)過(guò)程中讓學(xué)生去領(lǐng)略數(shù)學(xué)的邏輯之美——邏輯性是數(shù)學(xué)的另一種價(jià)值因子. 那么，如何讓學(xué)生領(lǐng)略小學(xué)數(shù)學(xué)的邏輯性呢？筆者以另一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)——“長(zhǎng)方形和正方形的面積”為例，談?wù)勛约旱乃伎寂c做法.

“長(zhǎng)方形和正方形的面積”是幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)生活中的平面及其面積計(jì)算規(guī)律的重要組成部分，從生活經(jīng)驗(yàn)到面積計(jì)算，都存在邏輯關(guān)系. 通過(guò)研究教材我們可以發(fā)現(xiàn)，這一知識(shí)點(diǎn)是從比較黑板的表面與課本封面大小關(guān)系引入的，根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生可以順利地說(shuō)出誰(shuí)大誰(shuí)小——這其實(shí)是為后面利用生活經(jīng)驗(yàn)以及邏輯關(guān)系進(jìn)行判斷打下基礎(chǔ)；在得出“表面的大小是面的面積”這一認(rèn)識(shí)之后，通過(guò)邏輯推理，研究的問(wèn)題就由比較“面”的大小轉(zhuǎn)換成比較“面積”的大小；當(dāng)學(xué)生熟悉了通過(guò)生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行比較之后，教師提出了新的問(wèn)題，即“如何比較兩個(gè)面的大小”（教材上的例子）. 面對(duì)這一新問(wèn)題，學(xué)生通過(guò)目測(cè)、重疊，借助于第三張紙即可比較……當(dāng)教學(xué)過(guò)渡到類似于“想想做做”中的第三題，即“比較四個(gè)圖形的面積大小”時(shí)，學(xué)生就需要借助邏輯關(guān)系去計(jì)算四個(gè)圖形所占正方形的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷；而當(dāng)學(xué)生在用課本和文具盒比較桌面大小時(shí)，其中蘊(yùn)涵的自然也是數(shù)的邏輯關(guān)系——也就是說(shuō)這里比較面積的大小實(shí)際上已經(jīng)通過(guò)邏輯轉(zhuǎn)換為書(shū)的本數(shù)與文具盒的個(gè)數(shù).

此外，本知識(shí)中還有一個(gè)更為重要的邏輯推理，那就是在得出長(zhǎng)方形的面積公式“S=a×b”之后，可以讓學(xué)生自主推理正方形的面積公式，在學(xué)生的思維中有了長(zhǎng)方形的面積公式，有了“正方形的長(zhǎng)和寬相等”，就可以推理出正方形的面積公式為“S=a×a”. 當(dāng)然，教材中也是如此安排的，問(wèn)題在于當(dāng)我們看到教材上空著的那根橫線時(shí)，我們想到的是答案，還是學(xué)生的邏輯推理過(guò)程呢？如果是后者，并且引導(dǎo)學(xué)生在反思的過(guò)程中體驗(yàn)方法，那數(shù)學(xué)的邏輯因子便可以為學(xué)生所深深體會(huì)了.

數(shù)學(xué)的優(yōu)雅因子：廣泛性

數(shù)學(xué)既具有基礎(chǔ)性，又具有應(yīng)用性，這是其他學(xué)科難以企及的. 我們說(shuō)數(shù)學(xué)在生活中的每個(gè)領(lǐng)域均有應(yīng)用，是因?yàn)槲覀兛吹搅松钪械臄?shù)據(jù)無(wú)處不在，而這些數(shù)據(jù)正是來(lái)自于數(shù)學(xué)思維，這種無(wú)處不在的性質(zhì)我們可以稱之為廣泛性. 當(dāng)我們透過(guò)學(xué)科教學(xué)的數(shù)學(xué)，看到經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的數(shù)據(jù)乃至諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)背后的數(shù)學(xué)時(shí)，當(dāng)我們看到文化領(lǐng)域背后的數(shù)學(xué)支撐時(shí)，我們不得不感嘆數(shù)學(xué)的這一魅力，對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，我們的一個(gè)重要任務(wù)顯然是帶領(lǐng)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的這種廣泛性——數(shù)學(xué)在生活中是如此優(yōu)雅地存在！

以“統(tǒng)計(jì)”知識(shí)的教學(xué)為例，筆者常常思考，在小學(xué)階段進(jìn)行統(tǒng)計(jì)知識(shí)的啟蒙，其目的是什么？作為一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)，顯然沒(méi)有必要在小學(xué)階段就實(shí)施教學(xué)，也就是說(shuō)這有著超越知識(shí)層面的另一種目的. 除卻課程標(biāo)準(zhǔn)或其他參考資料上的介紹之外，我們認(rèn)為還必須向?qū)W生傳遞數(shù)學(xué)的廣泛性，因?yàn)檫@是數(shù)學(xué)的一種優(yōu)雅因子——它在生活中如此廣泛地存在，但有時(shí)卻不以數(shù)學(xué)的面目出現(xiàn)，這難道不是一種優(yōu)雅嗎？

據(jù)此，在介紹教材中的“套圈”游戲時(shí)，產(chǎn)生了一定量的人套中的圈的個(gè)數(shù)，產(chǎn)生了表示套圈成績(jī)的統(tǒng)計(jì)圖. 于是過(guò)渡到生活中的每一種統(tǒng)計(jì)，如考試之后全班同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)，以及每個(gè)學(xué)生的平均成績(jī)；又如體檢之后全班學(xué)生的身高，以及班上同學(xué)的平均身高……進(jìn)而過(guò)渡到教材上“賣出蘋果數(shù)量統(tǒng)計(jì)圖”——這是一個(gè)星期內(nèi)每天賣出蘋果數(shù)量的統(tǒng)計(jì)圖，由其不僅能看出哪兩天賣的蘋果一樣多，還能知道平均每天賣了多少蘋果（如果呈現(xiàn)多個(gè)星期的統(tǒng)計(jì)圖，還可以看出不同星期賣出蘋果的數(shù)量），因而可以通過(guò)統(tǒng)計(jì)判斷、比較，以給賣蘋果的人提供影響因素的分析.

一點(diǎn)思考

在新課程改革的背景下，數(shù)學(xué)教學(xué)毫無(wú)疑問(wèn)已超越經(jīng)驗(yàn)層面，數(shù)學(xué)教師的價(jià)值不再是當(dāng)知識(shí)的搬運(yùn)工，而在于傳遞一種數(shù)學(xué)思想，在于營(yíng)造一個(gè)合適的土壤，讓學(xué)生去生成一種數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí). 在這樣的一個(gè)系統(tǒng)工程中，數(shù)學(xué)因子充當(dāng)著以點(diǎn)促面的作用. 我們期待著在數(shù)學(xué)教學(xué)中，結(jié)合小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，尋找出孩子們感興趣的數(shù)學(xué)因子，這樣的數(shù)學(xué)因子尋找得越多，那我們?cè)趯W(xué)生的數(shù)學(xué)成長(zhǎng)道路上樹(shù)立的路標(biāo)就越多. 我們想，當(dāng)學(xué)生經(jīng)過(guò)六年的小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之后，這一個(gè)個(gè)路標(biāo)能夠組成學(xué)生在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)之旅，每個(gè)數(shù)學(xué)因子也能給孩子們留下一個(gè)美好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷.