對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中抽象概括的思考

李國瑞

[摘 要] 從方法論和學(xué)習(xí)心理學(xué)的角度來看待我們的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，有助于我們的教學(xué)能夠超越經(jīng)驗層面，從實質(zhì)上對教學(xué)進行把握. 所以本文以抽象概括為例，談?wù)剬πW(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的思考.

[關(guān)鍵詞] 小學(xué)數(shù)學(xué)；抽象思維；思考

有人說，數(shù)學(xué)是思維的體操！筆者以為這句話非常有道理，因為數(shù)學(xué)在研究“數(shù)”與“形”的過程中，不是完全依靠經(jīng)驗，而是依靠思維.

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中我們常常發(fā)現(xiàn)，教學(xué)如果離開了對思維的分析，那有效的學(xué)習(xí)就難以真正發(fā)生，我們又注意到，有時不能完全局限于“學(xué)生的思維是形象思維”的認識，也就是說，我們不能完全將小學(xué)教學(xué)看做是建立在形象思維的基礎(chǔ)上，而應(yīng)該同時看到小學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中，充滿著大量的抽象思維. 在這些思維過程中，學(xué)生又會運用到多種思維方法，這些方法既屬于方法論，也屬于學(xué)習(xí)心理學(xué).

因此，筆者以為，從方法論和學(xué)習(xí)心理學(xué)的角度來看待我們的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，也有助于我們的教學(xué)能夠超越經(jīng)驗層面，從實質(zhì)上對教學(xué)進行把握. 現(xiàn)以抽象概括為例，談?wù)剬πW(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一點思考.

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中抽象概括的基本含義

根據(jù)有關(guān)專家的研究，抽象與概括是隸屬于思維過程和科學(xué)方法兩個維度的內(nèi)容，無論是小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，還是人們在生活中認識相關(guān)事物，如果缺少了抽象和概括兩個思維過程，那人們認識到的就只可能是事物的表面現(xiàn)象，而不可能把握到事物的實質(zhì). 也就是說，抽象與概括是數(shù)學(xué)思維的基本要素. 盡管在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多時候還要依靠學(xué)生的生活經(jīng)驗，但這并不意味著就應(yīng)忽視對抽象與概括的研究.

從定義上看，抽象是通過思維加工，透過事物表面現(xiàn)象尋找事物本質(zhì)的過程，是一個去除事物中無關(guān)因素，尋找本質(zhì)因素的過程；而概括則是將對個體事物抽象的結(jié)果進行綜合的過程，通過對多個個體抽象后的綜合，尋找同種性質(zhì)事物的共同屬性. 如果說抽象可以尋找到一個小范圍內(nèi)對象的事物本質(zhì)的話，那概括則可以尋求到一個大范圍內(nèi)的事物本質(zhì)，還有將概括的結(jié)果推理到其他事物的功能，這樣，客觀上就推進了人們認識事物的進程. 從而，抽象與概括也就成了人們認識事物過程的重要方法.

小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)作為整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的第一個重要階段，其研究對象是人們所共知的數(shù)量關(guān)系與空間形式，從最終的描述對象上來看，是十分抽象的內(nèi)容. 在實際教學(xué)中，我們經(jīng)?？吹綄W(xué)生因抽象和概括能力不夠出現(xiàn)學(xué)習(xí)困難的情形. 而縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，其從公理出發(fā)建立的一系列數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)規(guī)律均是邏輯推理的結(jié)果，因此邏輯推理是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一根極其明顯的主線. 而邏輯推理是建立在學(xué)生的邏輯思維能力基礎(chǔ)之上的，抽象概括能力又是邏輯思維能力的基礎(chǔ)與核心，這就說明小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)必須加強抽象與概括思維方法的教學(xué).

在確定了這一策略之后，教師必須意識到抽象與概括的關(guān)系：抽象是概括的基礎(chǔ)，概括是抽象的延伸. 因此，對于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，首先要根據(jù)小學(xué)生的認知特點選擇合適的數(shù)學(xué)材料，讓學(xué)生通過思維加工完成抽象的過程，然后選擇適合學(xué)生思維特點的內(nèi)容讓學(xué)生進行概括. 這一過程極其考驗教師的教學(xué)本領(lǐng)，因為要發(fā)掘數(shù)學(xué)思維材料并不難，難的是要判斷是否符合小學(xué)生的認知特點，也就是說，教師不但要有因材施教的意識，還要有因材施教的能力.

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生抽象與概括能力的實施

認識到抽象與概括能力培養(yǎng)的重要性，下面的問題就是如何實施的問題了. 我們注意到，有經(jīng)驗的教師擅長在課堂上恰到好處地讓學(xué)生進行抽象和概括. 通過分析這些教師的教學(xué)經(jīng)驗，結(jié)合對有關(guān)理論的學(xué)習(xí)，基于自身的實踐與探索，筆者提出如下一些思路供同行們批評指正.

首先，要讓學(xué)生的抽象和概括有據(jù)可依. 抽象和概括的本質(zhì)是學(xué)生的思維過程，而學(xué)生的思維卻需要實際的載體，從學(xué)習(xí)心理學(xué)的角度講，這種思維的載體必須來自于學(xué)生對數(shù)學(xué)思維材料的認識. 因此，要想培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，就必須給學(xué)生提供充足的數(shù)學(xué)材料.

例如，在乘法教學(xué)的過程中，我們可以通過向?qū)W生陳列數(shù)個看起來不同的問題，讓學(xué)生思考. 如：

小明到商店買本子，一本本子1元錢，買10本需要付多少錢？

小華的媽媽在工廠里上班，按小時結(jié)算工資，每小時7元，則一天工作8小時能得多少錢？

小芳乘長途汽車去外婆家，汽車每小時行駛60千米，則3小時汽車走了多少千米？

對于小學(xué)生而言，這樣的問題并不算太難，但由于小學(xué)生思維能力的限制，他們中的大部分有可能認為這是互不相干的問題，因此對這三個問題的解決只是本教學(xué)環(huán)節(jié)的基礎(chǔ). 在此基礎(chǔ)上，教師可以展開兩個重要過程.

一是讓學(xué)生基于三個問題進行分析進而抽象，認識到三個計算過程分別是：單價×數(shù)量=總額、每小時工資×小時數(shù)=日工資、速度×?xí)r間=路程. 這個過程是十分重要的，是將學(xué)生的思維由具體的事物引向抽象的公式. 事實證明，學(xué)生的抽象能力可以在類似的教學(xué)過程中逐步培養(yǎng). 也就是說，如果在實際教學(xué)中我們忽視了這一過程的話，學(xué)生的抽象思維能力將難以得到有效培養(yǎng).

二是讓學(xué)生在上述基礎(chǔ)上進行概括——認識到三者的計算思路都是：A×B=C. 顯然，這個概括的過程也是非常必要的，可引導(dǎo)學(xué)生將這三個看起來不同的問題概括成一個相同的實質(zhì)，這正是概括的魅力所在. 我們認為，這兩個過程是本學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)的核心，也是數(shù)學(xué)方法教學(xué)的關(guān)鍵所在.

其次，要注意抽象與概括的準(zhǔn)確性與合理性. 學(xué)生的抽象能力和概括能力是有限的，因而學(xué)生的自主抽象與概括往往會出現(xiàn)一些不準(zhǔn)確與不合理的地方，這時就需要教師及時進行適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo). 當(dāng)然，教師必須意識到這對于小學(xué)而言是一種正?，F(xiàn)象，我們要求的不是學(xué)生一下子就能抽象或概括出準(zhǔn)確的答案，而是讓學(xué)生形成一種內(nèi)在的抽象概括意識，形成一種初步的抽象和概括能力.

例如，我們生活中常說的“以偏概全”所指的錯誤，與小學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常犯的錯誤就非常類似. 如，對于偶數(shù)與合數(shù)的關(guān)系，學(xué)生在初學(xué)階段往往會認為所有的偶數(shù)都是合數(shù). 對于學(xué)生的這一概括，我們首先應(yīng)該表揚，表揚其中的合理成分. 說實話，如果學(xué)生能夠自主概括出這一結(jié)論，應(yīng)當(dāng)說學(xué)生已經(jīng)具有一定的概括能力. 但其中的不合理之處就是因為“2”這個特例，事實上，當(dāng)我們將這個特例提供給學(xué)生時，自主概括出上述結(jié)論的學(xué)生往往會有一種恍然大悟的感覺，這在我們看來就是學(xué)習(xí)中的一種高峰體驗. 在這種體驗當(dāng)中，積極思考的學(xué)生往往能夠擴充自己的思維范圍，增加對知識掌握的精確性.

再次，要注意抽象和概括能力培養(yǎng)的契機. 教學(xué)契機的把握非常重要，同樣一個教學(xué)內(nèi)容，同樣一個教學(xué)環(huán)節(jié)，如果學(xué)生的接受能力較強，對于基本知識的理解就非常輕松，此時對于這個班的學(xué)生而言，教師就有可能將其提升到方法教學(xué)的高度；而如果學(xué)生的接受能力較弱，對于基本知識的理解比較吃力或者說已經(jīng)付出了相當(dāng)?shù)呐?，這個時候就不宜從知識層面提升到方法層面. 抽象與概括能力的教學(xué)也是如此. 在實際教學(xué)中，我們要注意觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，看學(xué)生的努力程度如何，然后進行教學(xué)選擇.

另外，對于能夠?qū)嵤┌ǔ橄?、概括、方法在?nèi)的教學(xué)而言，也要注意火候的把握. 我國的教學(xué)強調(diào)“不憤不啟，不悱不發(fā)”，實際上就是強調(diào)教學(xué)實施的時機. 根據(jù)我們的教學(xué)經(jīng)驗，抽象概括的教學(xué)時機往往出現(xiàn)在學(xué)生對教師提供的數(shù)學(xué)材料有了充足加工的基礎(chǔ)上，出現(xiàn)在學(xué)生思維中已有朦朧或隱約的抽象意識基礎(chǔ)上，當(dāng)教師觀察到學(xué)生欲言又止、欲罷不能，眼中充滿渴望但口頭卻不能表達時，教師就可以將學(xué)生的思維由知識引向方法，先建立抽象感覺，再進行適度概括. 于是，一個抽象概括的教學(xué)過程就產(chǎn)生了.

對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中抽象概括能力培養(yǎng)的淺思

作為一種對思維要求較高的能力培養(yǎng)，抽象概括在傳統(tǒng)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，在教材編寫和練習(xí)中往往都是滲透在學(xué)習(xí)過程中的，這種隱性的教學(xué)方式可以讓學(xué)生形成抽象概括的初步能力，但不利于形成良好的意識. 因此，適度進行顯性的教學(xué)，尤其是選擇相對簡單的知識點進行顯性教學(xué)，有助于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識形成的過程，有助于后面較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí).

需要強調(diào)的是，包括抽象與概括在內(nèi)的思維能力的培養(yǎng)，離不開具體的數(shù)學(xué)案例，而案例往往又存在優(yōu)劣之分，因此教師選擇適合小學(xué)生思維實際的材料來培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，本身就是一件相當(dāng)有挑戰(zhàn)性的事情. 這就需要我們在日常教學(xué)中以判斷性、批判性的心理去看待教材和有關(guān)資料，而不是照搬照用. 尤其是對于教材上的材料，更多的需要判斷性，即思考編者為什么會做出這樣的安排，其中的道理在哪里. 只有這樣，才能促進我們教學(xué)水平的不斷提高.