高中數(shù)學建模淺議

俞菊華

摘 要：從減輕學生的學習負擔，提升學生的數(shù)學能力，提高高中數(shù)學教學效率等角度來看，數(shù)學建模也擔負著相當重要的作用. 本文從三個方面探討了在高中數(shù)學教學中如何實施數(shù)學建模.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學；建模；思考

數(shù)學建模被認為是數(shù)學區(qū)別于其他學科的重要特征之一，對數(shù)學及其教學有點研究的人基本都知道數(shù)學建模這個概念. 在課程改革之前，數(shù)學建模就受到高中數(shù)學教學界的普遍重視，包括數(shù)學建模在內(nèi)的學科建模叢書成為當時教師的熱門選擇. 進入課程改革之后，盡管課程標準中仍然保留著數(shù)學建模的教學要求，但由于人們更熱衷于討論教學方式的轉(zhuǎn)變、教學理念的更新等，數(shù)學建模相對顯得有些被冷落了. 但事實上，作為數(shù)學教學的核心內(nèi)容，數(shù)學建模是數(shù)學教學中的重要基礎(chǔ)，也是學生提升數(shù)學學習能力和數(shù)學素養(yǎng)的重要方式. 一言以蔽之，“凡是有數(shù)學的地方就有數(shù)學建?！?

在高中數(shù)學教學中，由于數(shù)學內(nèi)容的循序漸進性，很多數(shù)學概念、定理、法則的形成都具有一些共同點，也就是說不同的數(shù)學概念的得出有時仿佛是走的同一條道路，因此“歷史總是驚人地相似”這句話有時竟也非常適用于數(shù)學概念、定理或法則的形成；又由于不同數(shù)學知識之間的相互聯(lián)系性，很多數(shù)學問題又都具有類似的解題思路，也就是說看起來不是同一領(lǐng)域的數(shù)學問題，但在分析解決的思路上卻又是相同的，看似殊途，實則同歸.

事實上，正是因為這些共同點的存在，才形成了高中數(shù)學教學中進行數(shù)學建模的內(nèi)容基礎(chǔ)和方法基礎(chǔ).同時從減輕學生的學習負擔，提升學生的數(shù)學能力，提高高中數(shù)學教學效率等角度來看，數(shù)學建模也擔負著相當重要的作用. 因為一個數(shù)學模型的建立，用到大量的數(shù)學知識和數(shù)學思想，它具有極強的綜合性. 在教學實際中，筆者根據(jù)自身的觀點，認為要想成功地建立、理解、運用數(shù)學模型，可以從以下幾個方面來進行.

[?] 什么是數(shù)學建模

從字面上來看，建模就是建立模型.只是數(shù)學建模與一般意義上的建立模型不同，因為其一般不是建立實際的模型，如長方形、立方體等，而是指基于數(shù)學特質(zhì)，建立一套適合于數(shù)學思考的思維模型，這種模型既然是思維的結(jié)果，自然也就以一種抽象的形態(tài)存在于數(shù)學研究者的思維當中，至于具體的實物模型一般是沒有的，就算是有，也是數(shù)學研究者思維結(jié)果的物質(zhì)體現(xiàn).

具體地說，就是數(shù)學研究者通過思維活動，將生活中的事物進行抽象——去掉其中非關(guān)鍵的要素，保留其中關(guān)鍵的要素，最終建立起一套利用數(shù)學語言描述現(xiàn)實中的數(shù)量關(guān)系與空間形式的過程. 這個過程中，由于抽象思維的參與，因此與數(shù)學無關(guān)的因素都被忽略，而與數(shù)學有關(guān)的因素都被保留了下來. 而這樣的抽象結(jié)果在得到了驗證之后，就可以得到一個穩(wěn)定的數(shù)學結(jié)構(gòu). 又因為這個數(shù)學結(jié)構(gòu)在一定范圍內(nèi)具有較強的代表性，所以其將成為其他數(shù)學問題解決的重要載體. 我們有時候說數(shù)學具有簡潔的特點，就是因為眾多數(shù)學現(xiàn)象背后有著共同的數(shù)學模型.

數(shù)學建模作為思維的結(jié)果，其一般存在于學生的思維當中，存在形式就是思維表象，或者說是某種數(shù)學圖景. 那么，這個數(shù)學圖景的形成需要經(jīng)歷怎樣的抽象過程呢？研究相關(guān)理論我們可以發(fā)現(xiàn)，作為一種數(shù)學學習方法，高中數(shù)學建模的過程應(yīng)當包括這樣幾個方面：一是學生根據(jù)學習內(nèi)容和建模需要，分析其中的主要數(shù)學因素與非數(shù)學因素并進行取舍，在頭腦中初步構(gòu)建模型，這是模型構(gòu)思階段；二是根據(jù)初步構(gòu)建的數(shù)學模型，選擇適當?shù)臄?shù)學工具在選擇出來的數(shù)學因素之間建立起數(shù)學關(guān)系，并通過關(guān)系的梳理建構(gòu)數(shù)學結(jié)構(gòu)，這是模型的建立階段；三是將模型初步應(yīng)用于新的情境當中，看建立的模型能否接受新的數(shù)學問題的檢驗，如果有問題則需要經(jīng)歷前面一個循環(huán)過程，如果沒有問題則說明模型建立得相對成功.這是模型的驗證階段；四是將模型正式遷移到其他數(shù)學問題當中，用于對新問題進行解釋，這是模型的應(yīng)用階段.

值得注意的是，不同領(lǐng)域的數(shù)學知識需要建立不同的數(shù)學模型，建立模型的方法也不盡相同，但大體思路一致. 且嚴格來說，任何一個數(shù)學模型都有異于其他數(shù)學模型的地方，因此在數(shù)學建模當中要具有現(xiàn)象學的觀點，因材而異. 有人說，數(shù)學模型的獨立性與一致性是一個問題的兩個方面，相當于一個硬幣具有的正面與反面.

[?] 高中數(shù)學建模對學生數(shù)學能力發(fā)展的思考

數(shù)學建模的意義是不言而喻的，在高中數(shù)學教學中建立模型自然也是必要的. 筆者這兩年對數(shù)學建模有所思考并不斷地將自己的想法通過教學實施來驗證，應(yīng)該說帶給我們的思考還是非常多的，具體說來有這樣幾個方面.

首先，數(shù)學建模能夠有效地培養(yǎng)學生的應(yīng)用意識. 應(yīng)用意識是高中數(shù)學的一個重要目標指向，也是數(shù)學學以致用的價值體現(xiàn). 具有應(yīng)用意識與能力的學生，往往能夠在實際問題與數(shù)學知識之間迅速地建立一種聯(lián)系，有助于學生鞏固所學數(shù)學知識，有助于提高學生的數(shù)學問題解決能力. 在這種意識形成過程中，數(shù)學建模能夠起到非常明顯的作用. 例如，大家所熟知的最短路徑問題，包括兩個位置之間最短距離的問題（具體的實際問題情境一般高中數(shù)學同行都是爛熟于心的，這里就不贅述了，下同；可以建立成兩點之間直線最短的模型），三個位置之間的最短距離問題（可以建立成三點之間距離之和最短的模型），兩個位置到一條道路或河流的距離之和最短的問題（可以建立成兩點到一線的距離模型），螞蟻爬圓柱問題（可以建立成尋找圓柱上下底面兩點間的最短距離問題），淋雨多少與速度是否有關(guān)問題（可以建立成矢量三角形模型）……通過將這些實際問題或類實際問題進行抽象加工，使之成為數(shù)學模型. 通過這一個過程深化與豐富，可以有效地培養(yǎng)學生數(shù)學建模的能力，而在這個能力形成的過程中，當然也就培養(yǎng)了學生的數(shù)學應(yīng)用意識和問題解決能力.

其次，數(shù)學建模能夠培養(yǎng)學生的數(shù)學語言運用能力. 數(shù)學本身是一個符號世界，其抽象性也就體現(xiàn)在這個方面. 而數(shù)學建模的過程一般都是一個比較復雜的思維過程，在建模過程中往往靠個體的力量不容易成功，這個時候就需要學生之間進行合作學習，而合作學習的基礎(chǔ)就是學生間的有效交流. 在數(shù)學建模過程中，為了將自己的思考表述出來，就需要通過語言組織將自己的數(shù)學思考與他人分享，在這個過程中學生會經(jīng)歷一個即時、迅速、復雜的數(shù)學思維語言化的過程. 根據(jù)我們的教學經(jīng)驗，學生在這個過程中往往會表現(xiàn)出非常復雜的思維過程，這里所說的復雜主要是指學生的表達總是從生疏走向熟練、從不準確走向準確，而這個過程又是小組內(nèi)學生共同促進的結(jié)果. 同時，對于數(shù)學模型的解釋、解讀，以及運用過程中必然也會涉及表述等問題，因此數(shù)學語言將是圍繞數(shù)學模型展開的一個重要內(nèi)容，因此筆者總體感覺到這樣的過程能夠促進學生對數(shù)學語言掌握的熟練化.

再次，數(shù)學建模能夠培養(yǎng)學生良好的直覺思維能力. 思維能力是數(shù)學教學的核心，我們的數(shù)學教學如果說超越知識層面來培養(yǎng)學生的話，那就是培養(yǎng)學生的思維能力. 而根據(jù)對心理學的相關(guān)知識的學習，我們可以說人的思維可以分為形象思維（小學、初中階段的主要思維方式）、抽象思維（高中階段的主要思維方式）和直覺思維三種階段與形式. 其中直覺思維被認為是最高形式的思維方式，其具體表現(xiàn)是學生能夠在即時狀態(tài)下對新事物迅速做出反應(yīng)——反應(yīng)速度越快，說明這位學生的直覺思維能力越強. 在高中數(shù)學教學中，培養(yǎng)學生良好的直覺思維是必需的任務(wù)，而我們認為數(shù)學建模是能夠發(fā)揮這樣的作用的. 翻開數(shù)學史，我們可以看到很多經(jīng)典的數(shù)學發(fā)現(xiàn)，如笛卡兒坐標系等，都是直覺思維的產(chǎn)物. 而在教學實踐中，我們也發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在的高中學生能夠依托抽象思維建立出比較理想的數(shù)學模型，而經(jīng)過堅持不懈的訓練之后，就有可能形成良好的數(shù)學直覺.

[?] 高中數(shù)學建模的實施細節(jié)注意點

數(shù)學建模作為一項數(shù)學思維高度參與的活動，在具體的教學中要想真正做得很好是一件不容易的事情. 除了對于數(shù)學建模的四個階段要比較熟悉之外，在具體的實施中還有一些細節(jié)需要注意.

一是要充分運用好問題驅(qū)動. 根據(jù)皮亞杰發(fā)生認識論的有關(guān)觀點，只有在學生的認知平衡被打破時學生才會產(chǎn)生強烈的學習內(nèi)驅(qū)力，而數(shù)學建模由于思維量大，因此必須以問題驅(qū)動才能保證整個過程的順利實施. 值得注意的是，這個問題必須是符合學生需要的問題，不一定是學生自己提出來的，但一定要保證提出之后學生是感興趣的.

二是要充分增強學生的體驗感. 數(shù)學建模本質(zhì)上是對實際事物或?qū)嶋H問題的抽象，而這就需要學生有充分的經(jīng)驗作為基礎(chǔ)，經(jīng)驗來源于生活和體驗，對于高中數(shù)學學習而言，更多的經(jīng)驗可以通過體驗來生成. 而這就需要我們在課堂上多創(chuàng)設(shè)能夠讓學生體驗的情境，以生成相應(yīng)的經(jīng)驗供數(shù)學建模中使用.

三是要注意數(shù)學建模的實施時機. 作為一項規(guī)模較大（思維量大）的工程，數(shù)學建模在日常教學中頻繁實施是不現(xiàn)實的，因此就需要我們尋找良好的教學契機，恰到好處地落實數(shù)學建模的思想. 在應(yīng)試壓力仍然存在的現(xiàn)階段，這是對高中數(shù)學教師的一個考驗.

以上是筆者對高中數(shù)學建模的一點淺顯思考，由于水平有限其中可能存在一些不甚恰當?shù)牡胤剑€請同行們批評并提出寶貴意見.