星載SAR-GMTI系統(tǒng)目標(biāo)定位誤差概率分析方法

胡瑞賢，王永達(dá)，張 昭

（中國電子科技集團(tuán)公司電子科學(xué)研究院，北京 100041）

0 引 言

基于合成孔徑雷達(dá)（Synthetic Aperture Radar,SAR）的地面運(yùn)動(dòng)目標(biāo)檢測（Ground Moving Target Indication，GMTI）一直是近年來雷達(dá)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)［1-4］。眾所周之，由于運(yùn)動(dòng)目標(biāo)存在目標(biāo)徑向速度，導(dǎo)致其在SAR 圖像中存在方位偏差［5］，運(yùn)動(dòng)目標(biāo)精確定位問題一直是一個(gè)重要問題。目標(biāo)定位誤差表示SAR 圖像上運(yùn)動(dòng)目標(biāo)測量位置與真實(shí)目標(biāo)位置之差。目標(biāo)定位誤差可以評估目標(biāo)徑向速度測量精度是否滿足要求，定位結(jié)果是否準(zhǔn)確。在多通道SAR-GMTI系統(tǒng)中，目標(biāo)定位精度主要受通道間干涉相位精度影響。一旦干涉相位中存在噪聲，必然會(huì)影響目標(biāo)定位精度。國內(nèi)外提出了多種方法［6-9］實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)精確定位。Ender 等［9］采用克拉美羅界（Cramér-Rao Bound，CRB）來分析SAR-GMTI 系統(tǒng)的定位誤差性能，但克拉美羅界只給出了定位誤差最小情況下的分析結(jié)果。Cerutti-Maori 等［10］應(yīng)用微分法及誤差傳遞模型來估計(jì)定位誤差，該方法缺乏在相位誤差、基線誤差等條件下對定位精度影響的深入分析。

本文從概率統(tǒng)計(jì)角度討論了目標(biāo)定位精度問題。假設(shè)定位性能主要受噪聲影響，推導(dǎo)了運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的干涉相位誤差的概率密度函數(shù)。這種采用概率密度函數(shù)描述定位誤差的一個(gè)突出優(yōu)點(diǎn)是可以在方案設(shè)計(jì)和參數(shù)評估階段預(yù)測估計(jì)星載SAR-GMTI的目標(biāo)定位性能，另外本文還為不同參數(shù)條件下的在軌SAR-GMTI系統(tǒng)性能比較提供了一種新的分析思路。

1 采用多通道技術(shù)抑制雜波

當(dāng)前大多數(shù)GMTI 系統(tǒng)均采用多通道技術(shù)［6-13］進(jìn)行雜波抑制，本文討論聚焦多通道SAR-GMTI系統(tǒng)。雜波抑制的一個(gè)重要步驟是根據(jù)實(shí)測數(shù)據(jù)來估計(jì)雜波向量。假設(shè)每個(gè)像素內(nèi)包含一個(gè)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，則N幅SAR圖像對應(yīng)像素的復(fù)信號(hào)A1,A2,…,AN可以表示為

式中，i表示第i個(gè)天線，S1,S2,…,SN分別為N幅圖像中對應(yīng)的運(yùn)動(dòng)目標(biāo)信號(hào)，且Si=S1exp(-jφt,i),λ為工作波長，Vr和V分別表示目標(biāo)徑向速度和平臺(tái)速度，d表示兩個(gè)接收天線相位中心之間的距離，ni表示第i個(gè)天線的噪聲信號(hào)，c表示雜波分量。理想情況下，各個(gè)天線接收的雜波信號(hào)應(yīng)完全相同。

在目標(biāo)信噪比（Signal-to-Noise Ratio,SNR）足夠大的條件下（SNR＞20 dB），可以采用干涉儀（Along-Track Interferometry,ATI）技術(shù)［14-15］精確估計(jì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的徑向速度Vr。但是當(dāng)SCNR 相對較小時(shí)，干涉相位測量精度較低，導(dǎo)致徑向速度Vr的測量精度和目標(biāo)定位精度嚴(yán)重下降。因此，必須盡可能抑制雜波信號(hào)以便于獲得較高的SCNR。由式（1）可知，理想情況下，N幅復(fù)圖像中的雜波向量完全相同，該雜波向量C可以用原點(diǎn)指向點(diǎn)C(x,y)的向量表示。圖1 中，N個(gè)點(diǎn)A1(x1,y1)，A2(x2,y2)，…，AN(xN,yN)表示N幅復(fù)圖像a1,…,aN。這N個(gè)向量均勻分布在以點(diǎn)C(x,y)為圓心，半徑均為r的圓上，易得這N個(gè)向量的表達(dá)式為

圖1 采用ATI方法雜波相消時(shí)N幅配準(zhǔn)的SAR圖像之間的干涉相位關(guān)系

為求解運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的真實(shí)位置，需要對目標(biāo)重新定位。由于衛(wèi)星/飛機(jī)平臺(tái)快速運(yùn)動(dòng)，地面雜波的主瓣雜波譜會(huì)明顯展寬，位于主瓣雜波譜的慢速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)通常會(huì)被掩蓋，難以檢測；要完成對動(dòng)目標(biāo)角度的精確測量和定位至少需要3 個(gè)子孔徑［6］（通道）。此處結(jié)合圖1，對該原理進(jìn)行簡單說明。圓上任意兩個(gè)向量OA1和OA2表達(dá)式分別為

OA1和OA2分別表示兩個(gè)通道復(fù)信號(hào)，雜波相消就是同時(shí)減去相同的雜波分量OC。但由圖1可知到點(diǎn)A1和A2距離相同的點(diǎn)C和C′有無窮個(gè)，式（3）也可表示為

雜波抑制后沒有多余的空域自由度進(jìn)行目標(biāo)定位了。因此，至少需要3 個(gè)孔徑，即3 個(gè)向量OA1、OA2和OA3，依據(jù)三點(diǎn)共圓原理，可以唯一確定圓心，即先準(zhǔn)確估計(jì)雜波分量C再進(jìn)行抑制。

典型的方法是將沿航向均勻排列的3 個(gè)天線子孔徑分成1、2 和2、3 兩組完成雜波相消，利用相消后的兩個(gè)相位進(jìn)行干涉測向，按照測得的目標(biāo)距離和目標(biāo)所在的多普勒通道，對目標(biāo)的徑向速度進(jìn)行估計(jì)并對運(yùn)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行重新定位。

基于上述分析，假設(shè)在下文的討論中雜波被充分抑制。雜波抑制后，目標(biāo)矢量的起始點(diǎn)就變成原點(diǎn)。

2 定位誤差的概率密度函數(shù)

本節(jié)重點(diǎn)分析噪聲對運(yùn)動(dòng)目標(biāo)定位的影響。假設(shè)雜波信號(hào)被完全抑制，則目標(biāo)定位精度主要受噪聲的影響。以一個(gè)包含3部天線的SAR-GMTI系統(tǒng)為例，“通道1和通道2”以及“通道2和通道3”兩兩雜波相消后，目標(biāo)信號(hào)與噪聲信號(hào)構(gòu)成的兩個(gè)復(fù)向量I1和I2的表達(dá)式如下:

與式（1）不同的是，式（3）中不包含雜波向量（假設(shè)采用DPCA 及STAP 等技術(shù)已經(jīng)將雜波完全抑制），則I1和I2的干涉相位可以表示為

式中，angle(·)表示復(fù)向量的輻角，[·]*表示取共軛。

式（4）中值得注意的是，只有在不存在噪聲背景下，雜波抑制后兩個(gè)復(fù)向量的干涉相位才等于運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的真實(shí)干涉相位。只要存在噪聲，I1和I2的干涉相位必然與真實(shí)目標(biāo)的干涉相位存在偏差。假設(shè)干涉相位主要是受白噪聲N1和N2影響，且N1和N2的數(shù)學(xué)期望為0，方差為σ2，則可以推導(dǎo)出干涉相位誤差的概率密度函數(shù)。根據(jù)文獻(xiàn)［16］，白噪聲N1和N2的相位在區(qū)間上服從均勻分布，很容易得出N1和N2相位差θ的概率密度函數(shù)

假設(shè)目標(biāo)信號(hào)與噪聲信號(hào)之間滿足獨(dú)立同分布，可得

式中，φt為式（1）中運(yùn)動(dòng)目標(biāo)干涉相位，E[·] 為數(shù)學(xué)期望，且

令R=|S|，則式（8）可以變換為

式中，r=σ2/R2，且r的數(shù)學(xué)期望E[r] 與信噪比SNR成反比，令

式（8）中復(fù)向量的相位Ψ與運(yùn)動(dòng)目標(biāo)干涉相位φt之差為Δφ，且Δφ正切值由下式給出:

令α=θ-φt，對式（8）兩側(cè)變量α求偏導(dǎo)，可知當(dāng)cosα=-r時(shí)，求得tan(Δφ) 極值為因此，當(dāng)Δφ范圍是時(shí)，tan(Δφ)的值域?yàn)閏osα=-r在區(qū)間[-π,π]上有兩個(gè)根，分別是α1=-arccos(-r)和α2=arccos(-r)。當(dāng)α∈(α1,α2)時(shí)，函數(shù)tan(Δφ)是單調(diào)遞增的；當(dāng)α∈(-π,α1)及α∈(α2,π)時(shí)，函數(shù)tan(Δφ)是單調(diào)遞減的。

將cosα看作未知變量，則由式（11）可得:

式中，α的值域?yàn)閇0,2π]。

根據(jù)一元二次方程求根公式可得

Δφ的概率密度函數(shù)fΔφ(Δφ) 是變量Δφ的分段函數(shù)，因此我們可以分別在兩個(gè)區(qū)間上推導(dǎo)fΔφ(Δφ) 的表達(dá)式。為便于進(jìn)一步推導(dǎo)，令A(yù)=

分段函數(shù)fΔφ(Δφ)，當(dāng)時(shí)，

式（13）兩側(cè)同時(shí)對變量Δφ求偏微分，可以得到

注意，式（15）中用α′1和α′2，以便與式（13）中α1和α2進(jìn)行區(qū)分。

則微分系數(shù)表達(dá)式為

根據(jù)概率密度函數(shù)（PDF）的非負(fù)性，相位誤差Δφ的概率密度函數(shù)表達(dá)式如下:

采用圖2對上述結(jié)果進(jìn)行解釋，假設(shè)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)位于復(fù)平面的第一象限，其幅度大小為R，運(yùn)動(dòng)目標(biāo)干涉相位為φt。上文提及噪聲信號(hào)可以被認(rèn)為是幅度為σ2，相位θ服從均勻分布的復(fù)向量。考慮到噪聲矢量具有隨機(jī)性，不論噪聲位于哪個(gè)象限（例如圖2 中噪聲位于第一象限，其他象限結(jié)論類似），相位差Δφ均表示目標(biāo)和噪聲和矢量與目標(biāo)矢量之間的夾角，即目標(biāo)定位問題實(shí)質(zhì)上是目標(biāo)矢量與噪聲矢量競爭的結(jié)果。

圖2 相位誤差產(chǎn)生原因說明（圖中目標(biāo)和噪聲向量均位于第一象限）

換言之，相位誤差主要受目標(biāo)信噪比的影響。事實(shí)上，SNR 遠(yuǎn)大于1的情況對于探測運(yùn)動(dòng)目標(biāo)是非常有利的，反之SNR遠(yuǎn)小于1的情況表明目標(biāo)被噪聲遮擋難以探測。此處，有三種情況需要解釋。第一種情況，當(dāng)Δφ=0時(shí)，目標(biāo)向量和噪聲向量矢量方向相同，則目標(biāo)信號(hào)被增強(qiáng)，有利于獲得較高的定位精度；第二種情況，當(dāng)Δφ=π 時(shí)，即目標(biāo)信號(hào)矢量和噪聲矢量方向相反，則目標(biāo)信號(hào)被抵消，目標(biāo)定位精度由剩余信號(hào)能量與噪聲比值（SNR）決定；第三種情況，當(dāng)目標(biāo)矢量與噪聲矢量相互垂直，相位誤差Δφ最大，此時(shí)目標(biāo)定位誤差也最大。

3 定位性能分析

本節(jié)從兩個(gè)方面針對上面的分析進(jìn)行性能分析仿真。一方面，采用推導(dǎo)的概率密度函數(shù)（PDF）來分析運(yùn)動(dòng)目標(biāo)定位誤差。另一方面，分析信噪比對目標(biāo)定位性能的影響。假設(shè)星載SAR 下視角為50°，表1 給出了3 個(gè)國外典型的單基星載SAR/GMTI 系統(tǒng)［17］的主要參數(shù)，這三個(gè)SAR/GMTI 系統(tǒng)分別為TerraSAR-X、RADARSAT-II 和Cosmo-Skymed，它們都有雙通道GMTI 試驗(yàn)?zāi)Ｊ?，相鄰天線通道（或相位中心）的間距分別為2.39 m，7.5 m 和3 m。注意，每個(gè)衛(wèi)星都具有M個(gè)天線通道，例如TerraSAR-X（M=12）,RADARSAT-II（M=16）以及Cosmo-Skymed（M=5），這樣有助于采用空時(shí)自適應(yīng)處理技術(shù)抑制雜波。

表1 國外3個(gè)典型星載SAR-GMTI系統(tǒng)的雷達(dá)參數(shù)

根據(jù)文獻(xiàn)［18］，目標(biāo)徑向速度Vr的表達(dá)式如下:

值得注意的是式（18）中的Vr，d和Δφ是不考慮基線誤差時(shí)的理想值。

定位誤差是干涉相位誤差Δφ的函數(shù):

式中，Rs表示衛(wèi)星平臺(tái)到運(yùn)動(dòng)目標(biāo)間的中心斜距。

由圖3 可知，當(dāng)信噪比（SNR）為10 dB 時(shí)，TerraSAR-X、RADARSAT-II和Cosmo-Skymed 3個(gè)星載SAR-GMTI 系統(tǒng)的最大定位誤差分別為158.74 m，136.37 m和150.38 m，它們對應(yīng)的概率值為1，表明上述3 個(gè)SAR-GMTI 系統(tǒng)定位精度大于該取值概率較大。對這三個(gè)星載SAR-GMTI系統(tǒng)進(jìn)行比較，從圖3 可以看出目標(biāo)定位誤差落入[]0,100 m 區(qū)間的概率分別是0.442，0.472 和0.533。事實(shí)上，目標(biāo)定位誤差與不同天線參數(shù)密切相關(guān)。圖3 中，TerraSAR-X 的目標(biāo)定位誤差比其他兩個(gè)系統(tǒng)要大，這主要是由于TerraSAR-X 的方位口徑小于另外兩個(gè)星載SAR-GMTI系統(tǒng)，其基線較短。

圖3 3種星載SAR-GMTI系統(tǒng)的目標(biāo)定位概率密度函數(shù)曲線（圖中設(shè)定目標(biāo)信噪比為10 dB）

影響定位精度的另外一個(gè)重要因素是目標(biāo)信噪比。表2給出3種星載SAR-GMTI系統(tǒng)在不同信噪比條件下的最大定位誤差。

表2 不同星載SAR-GMTI系統(tǒng)不同信噪比條件下的最大目標(biāo)定位誤差

以TerraSAR-X 為例，圖4 分別給出了信噪比10，15和20 dB 條件下的目標(biāo)定位誤差概率密度函數(shù)。由圖4 可知，SNR 較低時(shí)目標(biāo)定位誤差較大，反之當(dāng)SNR 較高時(shí)，出現(xiàn)較小的目標(biāo)定位誤差的概率顯著增加。當(dāng)信噪比分別為10，15 和20 dB時(shí)，定位誤差為9 m 的概率分別為0.037，0.114 和0.384，表明目標(biāo)信噪比在定位性能上起著重要作用，提高目標(biāo)定位精度的首要因素就是提高目標(biāo)信噪比。換言之，要達(dá)到一定目標(biāo)定位精度，目標(biāo)信噪比必須要達(dá)到某個(gè)門限值。例如，為了將定位誤差控制到10 m 以內(nèi)，要求目標(biāo)信噪比不小于22 dB。

圖4 目標(biāo)信噪比分別為10，15和20 dB時(shí)TerraSAR-X對應(yīng)的定位誤差概率密度函數(shù)

事實(shí)上，星載SAR 斜距可達(dá)幾百公里甚至上千公里，即使較小的相位誤差從衛(wèi)星傳導(dǎo)到地面也會(huì)造成明顯的定位誤差。為了獲得較高目標(biāo)定位精度，需要提高雷達(dá)系統(tǒng)功率孔徑積，進(jìn)而提高目標(biāo)信噪比。注意，上述推導(dǎo)及分析結(jié)果是在理想條件下得到的，實(shí)際情況中可能不一定完全滿足，但上述分析結(jié)果也是有意義的，可以為星載SAR-GMTI 系統(tǒng)理論分析和參數(shù)設(shè)計(jì)提供重要分析工具。

4 基線誤差對定位性能的影響

上一節(jié)，我們分析了噪聲對定位誤差的影響。事實(shí)上，星載SAR-GMTI系統(tǒng)定位誤差還受一些非理想因素（例如地球自轉(zhuǎn)、大氣擾動(dòng)、軌道誤差等）影響。這些非理想因素在文獻(xiàn)［19-20］進(jìn)行了深入討論，此處就不作詳細(xì)討論。本文只考慮由于熱脹冷縮現(xiàn)象引起的基線變化對目標(biāo)定位的影響。根據(jù)式（18），可以得出當(dāng)基線誤差存在時(shí)，定位誤差和徑向速度表達(dá)式分別為

式中，dmeasure表示測量基線值，d表示兩通道之間的實(shí)際基線值。二者之差用δd=|dmeasure-d|表示。

由于基線測量值dmeasure存在誤差，實(shí)際中即使Δφ是準(zhǔn)確的，用dmeasure估計(jì)得到的目標(biāo)徑向速度也是存在誤差的。由基線誤差導(dǎo)致的速度估計(jì)誤差由下式給出:

由式（22）容易推導(dǎo)得出基線引起的額外定位誤差δRreloca表達(dá)式如下:

式中，δdrel=δd/d為δd和d的比值，此處命名為相對基線誤差。當(dāng)δdrel?1，δRreloca≈·Rc·δdrel。

當(dāng)徑向速度為常數(shù)時(shí)，定位誤差與相對基線誤差成正比。本文以TerraSAR-X 為例來研究基線誤差對定位誤差的影響。仿真中假設(shè)基線誤差δd均值為0，方差σ2為（δd）2，即δd值域?yàn)椋?Δd,Δd）。圖5給出定位誤差δRreloca隨徑向速度Vr和相對基線誤差δdrel的變化關(guān)系。垂直坐標(biāo)表示徑向速度Vr，其變化范圍從0～50 m/s，水平坐標(biāo)δdrel表示相對基線誤差，其變化范圍從0%～5%，顏色表示不同定位誤差（m）。以定位誤差15 m 為門限，黑線上方區(qū)域表示定位誤差小于15 m的情況。例如，圖5中，當(dāng)δdrel=1% 和Vr=10 m/s 時(shí)，定位誤差為9.94 m。

圖5 目標(biāo)定位誤差隨徑向速度和相對基線誤差的變化曲線

最后，我們同時(shí)考慮噪聲和基線誤差影響，并分析給出目標(biāo)定位誤差的概率密度曲線。圖6中，綠色、紅色和黑色曲線分別對應(yīng)d-Δd，d和d+Δd三種情況。換言之，目標(biāo)定位誤差的PDF 是一類介于d-Δd和d+Δd之間的PDF曲線簇。

圖6 當(dāng)相對基線誤差分別為1%，5%和25%時(shí)對應(yīng)的目標(biāo)定位精度

如圖6（a）所示，當(dāng)基線誤差δdrel只有1%時(shí)（Δd=0.023 9 m），3條概率密度函數(shù)曲線幾乎完全重合，表明該基線誤差對定位影響相對較小。當(dāng)基線誤差δdrel達(dá)到5%的時(shí)候（Δd=0.119 6 m），概率密度函數(shù)曲線簇出現(xiàn)了分化，此時(shí)基線誤差對定位精度影響比較明顯。為了分析基線誤差的影響，仿真計(jì)算了一種更極端的情況，但δdrel大于25%（Δd=0.598 0 m）時(shí)，黑色和綠色概率密度函數(shù)曲線出現(xiàn)了明顯差異。注意δdrel=25%為較極端情況，實(shí)際系統(tǒng)中不常見。事實(shí)上，由于黑色和綠色曲線分別表示誤差上界和下界，隨著d的變化可以得到一束分布介于綠色和黑色曲線為邊界的概率密度函數(shù)曲線簇。對于RADARSAT-II 和Cosmo-Skymed系統(tǒng)，也可從仿真計(jì)算中得出類似結(jié)論，此處不再贅述。

5 結(jié)束語

本文首先針對GMTI系統(tǒng)中至少需要3個(gè)子孔徑同時(shí)實(shí)現(xiàn)雜波抑制和目標(biāo)精確定位的基本原理提出了全新的幾何解釋。在此基礎(chǔ)上，本文指出目標(biāo)理論位置和實(shí)際位置偏離主要是由于復(fù)噪聲影響，導(dǎo)致ATI方法測得的目標(biāo)干涉相位與實(shí)際干涉相位存在誤差。受概率統(tǒng)計(jì)思想啟發(fā)，基于高斯白噪聲模型假設(shè)推導(dǎo)了一種新的運(yùn)動(dòng)目標(biāo)定位誤差的概率密度函數(shù)模型，該統(tǒng)計(jì)模型充分發(fā)掘多通道技術(shù)探測目標(biāo)時(shí)的相位差異。本文提出的概率分析對星載和機(jī)載SAR-GMTI 系統(tǒng)以及分布式衛(wèi)星GMTI 系統(tǒng)［21-23］均適用，拓展后可推廣分析分布式衛(wèi)星系統(tǒng)的目標(biāo)檢測性能。

注意本文研究目標(biāo)主要是針對地面慢速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，未來需要深入研究快速或高機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的定位誤差的統(tǒng)計(jì)特性。另外，對于星載SARGMTI 系統(tǒng)，由于衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)大于地面目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)速度，運(yùn)動(dòng)目標(biāo)方位向速度引起的散焦問題可以忽略。但是對于高機(jī)動(dòng)空中目標(biāo)或者臨空高速飛行器，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)精確定位難度較大，作為開放性研究領(lǐng)域，后續(xù)需要深入研究，一些新技術(shù)［24］可能作為有益探索解決此類問題。